MODOS NORMAIS de vibração. mola e peso barbante

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1 MODOS NORMAIS de vibração mola e peso barbante

2 MODOS NORMAIS de vibração de uma corda (aula Ondas3 de Fis. 2) f/2 3f/2 5f/2 7f/2 f 2f 3f 4f

3 A matemática... y nessa corda: ω n = k n v = nπv L v = τ/μ 0 L x y 1 x, t = A sin π L x cos(ω 1t + φ) y 2 x, t = A sin 2π L x cos(ω 2t + φ ) y n x, t = A sin k n x cos(ω n t + φ) x = a k n = nπ L, n = {1,2,3, }

4 Em um MODO NORMAL, todos os elementos do sistema OSCILAM HARMONICAMENTE com a MESMA FREQUÊNCIA f = 0,49 x Hz f = 1,15 x Hz f = 1,18 x Hz

5 Modos normais de uma membrana circular f 0 2,30 f 0 3,60 f 0 1,59 f 0 2,14 f 0 2,92 f 0

6 Isso é um dos modos normais? Não, é uma SOMA de vários modos normais.

7 Vibração mais geral possível da corda com extremos fixos: y x, t = n=1 (fixos pela condição inicial) A n cos ω n t + φ n sin nπx L ω n = nπv L É solução da Eq. de Newton da corda (v = τ/μ ): μ 2 y t 2 = τ 2 y x 2 mostre isso

y x, t = A energia da corda (aula Ondas1

8 y x, t = A energia da corda (aula Ondas1 de Fis. 2) n=1 A n cos ω n t + φ n sin nπx L E = 0 L 1 2 (μdx) y(x, t) t (τdx) y(x, t) x 2 E = n=1 μl 4 ω n 2 A n 2 E = mv(t)2 + mω2 x(t) x t = A cos(ωt + φ) = m 2 ω2 A 2 Desafio: obtenha essa expressão

9 Applet loadedstring (selecionar DISPLAY MODES) SEM damping: 1. PLUCK com mouse em 3L/4 A n, φ n = const Cada modo executa uma OHS COM damping: 1. STOPPED 2. PLUCK com mouse esquerdo em 3L/4 3. UNSTOPPED A n 0 Cada modo executa uma OH amortecida

10 L/3 n = 6 Antecipando problemas com modos normais de n 1 L/40 n = 80 x/l

11 Mecânica Estatística em 6 slides

12 1. Sistemas físicos de interesse prático geralmente contém um número enorme de partículas Au 1 cm átomos 2. Sistemas físicos de interesse prático geralmente trocam energia com o ambiente (vibrações do suporte, colisões do ar, radiação absorvida/emitida,...)

13 Equilíbrio Térmico 3. Após algum tempo se observa que a TEMPERATURA do sistema para de variar (se iguala à do ambiente) 4. Mesmo em equilíbrio o MICRO-ESTADO do sistema continua se alterando com o tempo

14 Visualizando a permanente alteração de microestados de um gás em equilíbrio Applet gas-falstaad (Heater On, Slow Simulation, Poucas Partículas)

15 Micro-estado de um sistema de N partículas (r 1, r 2,, r N ; v 1, v 2,, v N )

16 5. Em equilíbrio, a fração do tempo, i.e. a probabilidade, associada a cada micro-estado μ (de energia E μ ) é p μ = exp( E μ/k B T) Z k B = 1, J/K

17 Aplicação 1: Oscilador Harmônico em Equilíbrio Térmico

18 Dinâmica do OHS isolado (A e φ imutáveis) v/ω Caso: φ = 0 ωt = 3π 2 Em qualquer instante t: x(t) = A cos(ωt + φ) ωt = π A ωt = 02π x v(t) = Aω sin(ωt + φ) ωt = π 2

19 Dinâmica do OHS em equilíbrio térmico v/ω (A e φ mudam a cada colisão) v/ω x x Qual é a probabilidade de observar uma certa amplitude A?

20 Microestado no instante t: (x, v) A e φ no instante t: x = A cos(ωt + φ) v = Aω sin(ωt + φ) Energia do microestado no instante t: E = mv2 2 + mω2 x 2 2 = mω2 A 2 2 p(a) = exp( mω2 A 2 /2k B T) Z Z = 0 exp mω 2 A 2 /2k B T (2π A da) Obtenha Z um detalhe técnico: micro estados = dx dv 0 2π 0 A da dφ

21 Qual é a amplitude média de oscilação no equilíbrio à temperatura T? A = 0 A p A (2πAdA) = πk BT 2mω 2 Constante da mola A vibração da ligação OH pode ser representada por um oscilador com m = m H e f = Hz 0,96 A ± 0,03 A A 300K = 0,03 A

22 Calcule a amplitude média de oscilação de uma mola comum (C = 200 N/m) a T = 300 K Estica 1 cm quando 200 g são pendurados eq. ~ A 300K = 0,06 A 300 K experimento damped.jar

23 Qual é a energia média de um oscilador (qualquer) em equilíbrio à temperatura T? E = 0 mω 2 A 2 /2 p A (2πAdA) = k B T Desafio: mostre isso k B 300 K = 4, J

24 Aplicação 2: Corda com extremos fixos em Equilíbrio Térmico

25 Corda em equilíbrio térmico y x, t = n=1 A n cos ω n t + φ n (todos os A n e φ n mudam a cada colisão) sin nπx L, ω n = nπv L E(A 1,, A N ) = n=1 μl 4 ω n 2 A n 2 Corda = infinitos osciladores harmônicos de massa μl/2 e frequência nπv/l, com n = {1,2,3, }.

26 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 Cada modo normal se equilibra E o.h. = k B T independentemente... E = n=1 μl 4 ω n 2 A n 2 ω n = nπv L E n E n = k B T E = n=1 k B T experimento

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0 = 4,0 cm cos(φ) 4,0 cm = 4,0 cm cos( π 2 +φ) (20 cm) 4,0 cm 2π. (10 s)

± π 2 y(0, t) 0 = 4,0 cm cos(φ) 4,0 cm = 4,0 cm cos( π 2 +φ) + π 2 y x, t = A cos(kx ωt + φ) y 0, t = A cos( ωt + φ) 2π (20 cm) 4,0 cm 2π (10 s) y x, t = (4,0 cm) cos 2π 2π x (20 cm) (10 s) t + π 2 v =