7Maio/2018 Aula Movimento periódico 16.1 Movimento harmónico simples (MHS) 16.2 Conservação da energia no MHS. 2/Maio/2018 Aula 15

Transcrição

1 2/Maio/208 Aula 5 5 Movimento de planetas 5. Leis de Keppler 5.2 Conservação da energia 5.3 Velocidade de escape 5.4 Movimento de satélites 7Maio/208 Aula 6 6 Movimento periódico 6. Movimento harmónico simples (MH) 6.2 Conservação da energia no MH

2 Aula anterior 5. Leis de Kepler. Cada planeta descreve uma órbita elíptica, em que o ol está num dos focos. P+ ' P= 2a = constante Ecentricidade: e = P ' P P+ ' P < Eio maior: 2a Distância mínima ao ol = a (-e) : periélio A planet P follows an elliptical orbit. The sun is at one focus of the ellipse. Perihelion a ea y ea a P Aphelion Distância máima ao ol = a (+e) : afélio Elipse simulação There is nothing at the other focus. 2

3 Aula anterior 5. Leis de Kepler 2. Definindo uma linha desde o ol até um dado planeta, verifica-se que esta linha varre a mesma área, no mesmo intervalo de tempo. da = ( 2 rdθ )r = 2 r2 dθ da dt = 2 r2 dθ dt = 2 r v = 2 r vsenφ Como r vsenφ =! r! v Como d! L dt =! τ =! r! F = 0 da dt = 2 du v r f! r! v = 2m! L = constante v ' 5 v sin f P r du da 5 area swept out by the line P in a time dt! r! p = 2m Velocidade orbital! L simulação 3

4 Aula anterior 5. Leis de Kepler 3. s períodos dos planetas são proporcionais ao comprimento do maior eio das suas órbitas, elevado a 3/2. T a 3 2 T = 2π G M a 3 2 AU =,5 0 m 4

5 Aula anterior 5.2 Conservação da energia A energia mecânica total de um objeto com massa m, que esteja à distância r do centro da Terra, é igual à soma das energias cinética e potencial: e o objeto tiver energia mecânica inicial igual a zero e for capturado pela atração da Terra, à medida que se for aproimando, a sua velocidade aumenta. E = E cin +U = 2 mv2 G M T m r 5

6 Aula anterior 5.3 Velocidade de escape Para poder escapar à atração da Terra, um objeto tem de ter uma velocidade superior à velocidade de escape. ΔE = ΔE cin + ΔU = 0 0 G M T m = 2 mv i 2 G M T m R T v e v i = 2G M T R T M T R T v e =90 m/s,2 km/s 6

7 Aula anterior 5.4 Movimento de satélites e a ecentricidade da órbita elíptica for pequena, a órbita é aproimadamente circular. A única força a atuar num satélite, que percorra uma órbita circular, é a força gravítica da Terra, dirigida para o centro desta. Neste caso, a velocidade do satélite é constante e é a suficiente para manter a trajetória circular. r v! F = m! a G M T m r 2 = mv 2 r v a F g a F g v = G M T r Nota: v é independente da massa m. T = 2πr v = 2πr3 2 G M T F g R E a v 7

8 Aula anterior 5.4 Movimento de satélites A energia do satélite em órbita é a soma das energias cinética e potencial: E órb = E cin,órb +U órb = 2 mv2 + = 2 m G M T r 2 + G M T m r G M T m r v a F g r a F g v E cin,órb = 2 U órb R E E órb circ = 2 U órb = G M T m 2r F g a v 8

9 6. Movimento periódico Um objeto que esteja ligado a uma mola, por eemplo, e que seja desviado da sua posição de equilíbrio, tende a voltar a essa posição: a mola eerce uma força de restituição, o que causa um movimento periódico (oscilação).. 0: glider displaced to the right from the equilibrium position. (b) F y F, 0, so a, 0: stretched spring pulls glider toward equilibrium position. y F a n mg 5 0: The relaed spring eerts no force on the glider, so the glider has zero acceleration. y y n mg Massa-mola (c), 0: glider displaced to the left from the equilibrium position. y F. 0, so a. 0: compressed spring pushes glider toward equilibrium position. a y simulação F n mg F 9

10 6. Movimento periódico Características do movimento periódico:. o movimento é realizado em torno de uma posição de equilíbrio; 2. o movimento repete-se em cada ciclo. Amplitude ( A ): valor mais afastado da posição de equilíbrio. Período ( T ): tempo necessário para completar um ciclo. Frequência ( f ): número de oscilações (ciclos) por unidade de tempo. Frequência angular ( ω ): ω = 2π f. T = f = 2π ω f = ciclo/s = Hz ω = rad/s 0

11 6. Movimento harmónico simples Quando a força de restituição é diretamente proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio, como no caso de molas ideais, tem-se um movimento harmónico simples (MH).! F = k! Restoring force F! F m =! a = d 2! dt 2 d 2! dt 2 = k m!, 0 F. 0 Displacement. 0 F, 0 Ideal case: The restoring force obeys Hooke s law (F 52k), so the graph of F versus is a straight line. Restoring force F Typical real case: The restoring force deviates from Hooke s law... Displacement The restoring force eerted by an idealized spring is directly proportional to the displacement (Hooke s law, F 52k): the graph of F versus is a straight line.... but F 52k can be a good approimation to the force if the displacement is sufficiently small.

12 6. Movimento harmónico simples olução da equação diferencial de 2ª ordem d 2 dt 2 = k m = Acos( ω t +δ) δ é a fase do movimento e ω = k m ma 5 A 2 T 2 T T 2T t 2 ma 52A Massa-mola simulação T = f = 2π ω 2

13 6. Movimento harmónico simples olução da equação diferencial de 2ª ordem d 2 dt 2 = k m = Acos( ω t +δ) δ é a fase do movimento: A 2A These three curves show HM with the same period T and amplitude A but with different phase angles f. f δ 5 0 p f δ 5 4 f δ 5 p 2 t Massa-mola simulação T 4 T 2 3T 4 T 3

14 6. Movimento harmónico simples A A = Acos( ω t +δ) ω = k m e se mudar os valores de m, A ou k, a posição (t) também muda: (a) Increasing m; same A and k Mass m increases from curve to 2 to 3. Increasing m alone increases the period. 2 3 (b) Increasing k; same A and m Force constant k increases from curve to 2 to 3. Increasing k alone decreases the period. 3 2 (c) Increasing A; same k and m Amplitude A increases from curve to 2 to 3. Changing A alone has no effect on the period. t t t 2 3 4

15 6. Movimento harmónico simples = Acos( ω t +δ) ω = k m T = f = 2π ω e se mudar os valores de m ou k, o período T também muda: T = 2π m k 5

16 6. Movimento harmónico simples = Acos( ω t +δ) ω = k m T = f = 2π ω Mas se se mudar o valor da amplitude A, o período T não muda: T = 2π m k Massa-mola dupla simulação 6

17 6. Movimento harmónico simples Um objeto em movimento harmónico simples tem o mesmo movimento de uma das componentes de um objeto com movimento circular uniforme: Uma partícula roda no sentido anti-horário, com o ângulo φ a aumentar linearmente com o tempo: = Acosθ y Ball moves in uniform circular motion. A u Q P A cos u hadow moves back and forth on -ais in HM. Como ω = dθ dt θ = ωt, se θ = 0 para t = 0 ( t) = Acosωt Linear vs Angular simulação 7

18 6. Movimento harmónico simples Velocidade e aceleração no movimento harmónico simples: 52A 5 0 5A 2A 2A/2 0 A/2 A ( t) = Acosωt (a) Using the reference circle to determine the -velocity of point P y u v Q Q a 5 0 v 52v ma a v a 2a ma v 5 0 a v v ( t) = d dt = Aω senωt v u P 52v Q sin u (b) Using the reference circle to determine the -acceleration of point P a 5 a ma v 5 0 a v a 5 0 v 5 v ma a v a ( t) = d 2 dt 2 = Aω2 cosωt y u a u a Q Q P 52a Q cos u a 52a ma v 5 0 8

19 6. Movimento harmónico simples Velocidade e aceleração no movimento harmónico simples: ( ) = Acosωt ( ) = Aω senωt ( ) = Aω 2 cosωt t v t a t a ( t) = ω 2 9

20 6. Movimento harmónico simples E se o ângulo inicial (t = 0) não for igual a zero? t v t a t φ = ωt +φ 0 ( ) = Acos( ωt +φ 0 ) ( ) = Aω sen( ωt +φ 0 ) ( ) = Aω 2 cos( ωt +φ 0 ) No instante t = 0: 0 (0) = Acosφ 0 v 0 v (0) = ωasenφ 0 a 0 a (0) = ω 2 Acosφ 0 = ω

21 6.2 Energia do movimento harmónico simples A energia mecânica total conserva-se no movimento harmónico simples: W nc = ΔU + ΔE cin = ΔE = 0 E cin +U = constante Energia MH simulação a 5 a ma a 5 a ma a a a ma a 52a ma v 5 0 v 5 6 v 56v ma v Å v 5 0 Å 3 4 v 4 ma v ma 2A 2 2 A A 2 A zero E 5 K U E 5 K U E 5 K U E 5 K U E 5 K U E is all potential energy. E is partly potential, partly kinetic energy. zero E is all kinetic energy. E is partly potential, partly kinetic energy. zero E is all potential energy. 2

22 6.2 Energia do movimento harmónico simples A A energia mecânica total conserva-se no movimento harmónico simples: > E cin +U = constante 2 mv k 2 = constante displacement The total mechanical energy E is constant. Energy 2 U 5 k 2 E K At 56A the energy is all potential; the kinetic energy is zero. At 5 0 the energy is all kinetic; the potential energy is zero. Energy E 5 K U 2A U A U K 2A A At these points the energy is half kinetic and half potential. 22

23 6.2 Energia do movimento harmónico simples A energia mecânica total conserva-se no movimento harmónico simples: E cin +U = constante ( t) = Acos( ωt +δ) v ( t) = Aω sen( ωt +δ) 2 mv k 2 = constante 2 mv 2 = 2 m A2 ω 2 sen 2 ωt +δ ( ) 2 k 2 = 2 k A2 cos 2 ωt +δ ( ) ω = k m E = E cin +U = 2 k A2 23

24 Eemplo bloco da figura tem massa m = 2 kg e a constante da mola é k = 96 N/m. bloco é afastado 0,05 m da posição de equilíbrio e largado, no instante t = 0. a) Determine a frequência angular ω, a frequência f e o período T. b) Escreva a equação (t). a) ω = k m ω = (96 N/m) (2 kg) = 9,9 rad/s f = ω 2π f = (9,9 rad/s) 2π =,58 Hz T = f = 2π ω T = (,58 Hz) = 2π (9,9 rad/s) = 0,635 s b) = Acos ω t +δ ( ) = (0,05 m)cos (9,9 rad/s)t ( δ = 0) 24