7/Maio/2018 Aula Movimento periódico 16.1 Movimento harmónico simples (MHS) 16.2 Conservação da energia no MHS. 9/Maio/2018 Aula 17

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1 7/Maio/2018 Aula Movimento periódico 16.1 Movimento harmónico simples (MHS) 16.2 Conservação da energia no MHS 9/Maio/2018 Aula Movimentos oscilatórios, amortecidos e forçados 17.1 Movimento na vertical 17.2 Pêndulo simples 17.3 Pêndulo físico 17.4 Oscilações amortecidas 17.5 Oscilações forçadas 1

2 Aula anterior 16. Movimento periódico Um objeto que esteja ligado a uma mola, por eemplo, e que seja desviado da sua posição de equilíbrio, tende a voltar a essa posição: a mola eerce uma força de restituição, o que causa um movimento periódico (oscilação).. 0: glider displaced to the right from the equilibrium position. (b) F y F, 0, so a, 0: stretched spring pulls glider toward equilibrium position. y F a n mg 5 0: The relaed spring eerts no force on the glider, so the glider has zero acceleration. y y O n mg Massa-mola (c), 0: glider displaced to the left from the equilibrium position. y F. 0, so a. 0: compressed spring pushes glider toward equilibrium position. a y simulação F n mg F 2

3 Aula anterior 16.1 Movimento harmónico simples Quando a força de restituição é diretamente proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio, como no caso de molas ideais, tem-se um movimento harmónico simples (MHS).! F = k! Restoring force F! F m =! a = d 2! dt 2 d 2! dt 2 = k m!, 0 F. 0 O Displacement. 0 F, 0 Ideal case: The restoring force obeys Hooke s law (F 52k), so the graph of F versus is a straight line. Restoring force F Typical real case: The restoring force deviates from Hooke s law... O Displacement The restoring force eerted by an idealized spring is directly proportional to the displacement (Hooke s law, F 52k): the graph of F versus is a straight line.... but F 52k can be a good approimation to the force if the displacement is sufficiently small. 3

4 Aula anterior 16.1 Movimento harmónico simples Solução da equação diferencial de 2ª ordem d 2 dt 2 = k m = Acos( ω t +δ) δ é a fase do movimento e ω = k m ma 5 A 1 2 T 1 2 T O T 2T t 2 ma 52A Massa-mola simulação T = 1 f = 2π ω 4

5 Aula anterior 16.1 Movimento harmónico simples Velocidade e aceleração no movimento harmónico simples: ( ) = Acosωt ( ) = Aω senωt ( ) = Aω 2 cosωt t v t a t a ( t) = ω 2 5

6 Aula anterior 16.2 Energia do movimento harmónico simples A energia mecânica total conserva-se no movimento harmónico simples: W nc = ΔU + ΔE cin = ΔE = 0 E cin +U = constante Energia MHS simulação a 5 a ma 1 a 5 a ma a a a ma 1 a 52a ma v 5 0 v 5 6 v 56v ma v Å v 5 0 Å 3 4 v 4 ma v ma 2A A O 1 A 2 A zero E 5 K 1 U E 5 K 1 U E 5 K 1 U E 5 K 1 U E 5 K 1 U E is all potential energy. E is partly potential, partly kinetic energy. zero E is all kinetic energy. E is partly potential, partly kinetic energy. zero E is all potential energy. 6

7 Aula anterior 16.2 Energia do movimento harmónico simples A energia mecânica total conserva-se no movimento harmónico simples: E = E cin +U = constante ( t) = Acos( ωt +δ) v ( t) = Aω sen( ωt +δ) 1 2 mv k 2 = constante 1 2 mv 2 = 1 2 m A2 ω 2 sen 2 ωt +δ ( ) 1 2 k 2 = 1 2 k A2 cos 2 ωt +δ ( ) ω = k m E = E cin +U = 1 2 k A2 7

8 Eemplo O bloco da figura é afastado 0,2 m da posição de equilíbrio e largado, no instante t = 0. Efetua 15 oscilações completas em 10 s. Determine: a) o período T ; b) a velocidade máima; c) a posição e a velocidade em t = 0,8s. a) T = 1 f = 2π ω f = 15oscil 10s =1,5 Hz T =1/ f = 0,667 s b) v ( t) = Aω senωt v,ma senωt = 1 v,ma = Aω v,ma = A( 2π f ) = (0,2 m) ( 2π )( 1,5s 1 ) =1,88 m/s ( ) = Acos ω t +δ c) t=0,8s ( δ = 0) ( ) v ( t) = Aω senωt v ( t=0,8s ) = (0,2 m)cos 2π (0,8 s) (0,667 s) = 0,062 m = (1,88 m/s)sen 2π (0,8 s) (0,667 s) = 1,79 m/s 8

9 17.1 Movimento oscilatório na vertical Quando um objeto se encontra pendurado na etremidade de uma mola vertical, fica sujeito ao seu peso, para além da força de restituição da mola. Se o sistema estiver em equilíbrio: F y = k y + mg = 0 Se se deslocar o sistema ligeiramente para fora do equilíbrio: y' = y y 0 d 2 y' dt 2 = k m y' y' = Acos( ωt +δ), ω = k m U = 1 2 k ( y' ) 2 +U 0 9

10 17.2 Pêndulo simples O chamado pêndulo simples (ou matemático) consiste numa massa m, de dimensões desprezáveis, suspensa na etremidade de uma corda ou de uma barra, de comprimento L e massa desprezável. O ângulo θ que o pêndulo faz com a vertical varia, no tempo, como um seno ou um cosseno. L u T String is assumed to be massless and unstretchable. Bob is modeled as a point mass. m mg sin u Pêndulo simples simulação The restoring force on the bob is proportional to sin u, not to u. However, for small u, sin u ^ u, so the motion is approimately simple harmonic. mg u mg cos u 10

11 17.2 Pêndulo simples No pêndulo simples, a força de restituição é proporcional a sen θ, enquanto no sistema massa-mola essa força é proporcional ao deslocamento (θ, neste caso): F = mg senθ mgθ F = ma mg senθ = m d 2 dt 2, = Lθ Para ângulos θ suficientemente pequenos, o seno é aproimadamente igual ao próprio ângulo: senθ θ L u T String is assumed to be massless and unstretchable. Bob is modeled as a point mass. senθ =θ θ 3 3! + θ5 5!! θ se θ <<1 The restoring force on the bob is proportional to sin u, not to u. However, for small u, sin u ^ u, so the motion is approimately simple harmonic. mg mg sin u m u mg cos u 11

12 17.2 Pêndulo simples Na aproimação dos ângulos pequenos, senθ θ, tem-se F = mg senθ mgθ = mg L Nestas condições, a força de restituição é proporcional ao deslocamento, pelo que ω = k m = mg L m = g L Pêndulo vs M.Mola simulação L u T String is assumed to be massless and unstretchable. Bob is modeled as a point mass. m T = 2π ω = 2π m k = 2π L g Note-se que o período T não depende da massa m do pêndulo. mg sin u The restoring force on the bob is proportional to sin u, not to u. However, for small u, sin u ^ u, so the motion is approimately simple harmonic. mg u mg cos u 12

13 17.2 Pêndulo simples Para ângulos de oscilação grandes, o período já depende do ângulo inicial: T = T θ 2 2 sen sen 4 θ 0 2 +! T 0 = 2π L g θ 0, L The restoring force on the bob is proportional to sin u, not to u. However, for small u, sin u ^ u, so the motion is approimately simple harmonic. mg u T mg sin u String is assumed to be massless and unstretchable. Bob is modeled as a point mass. m u mg cos u 13

14 17.3 Pêndulo físico O pêndulo físico consiste num objeto que pode rodar em torno de um eio que não passa pelo centro de massa. No eemplo da figura, o momento da força gravítica, em relação ao eio de rotação, é τ = Lsenθ Mg Lθ Mg (na aproimação dos ângulos pequenos) O período de oscilação depende do momento de inércia I e da distância L entre o eio de rotação e o centro de massa: L senθ θ L T = 2π I Mg L 14

15 17.4 Oscilações amortecidas Na maior parte dos sistemas físicos reais, eistem forças não-conservativas que tendem a dissipar a energia. No caso dos movimentos oscilatórios, a presença dessas forças é visível na diminuição da amplitude das oscilações. Por eemplo, no caso de atrito viscoso, essas forças (ditas de arrastamento), são proporcionais à velocidade:! D = b! v Então, a força total sobre o objeto será a soma da força de restituição com a força de arrastamento:! F = k! b! v = k! b d! dt M.Mola amortecida simulação d 2! dt 2 = k m! b m d! dt 15

16 17.4 Oscilações amortecidas A resolução desta equação diferencial conduz a uma solução do tipo k m! + b m d! dt + d 2! dt 2 = 0 = A 0 ep b 2m t cos ω 't +δ ( ) com ω ' = ω 0 b 1 2mω 0 ω 0 = k m 16

17 17.4 Oscilações amortecidas A amplitude das oscilações diminui eponencialmente com o tempo: = A 0 ep b 2m t cos ω 't +δ ( ) A b 0.1 km (weak damping force) b 0.4 km (stronger damping force) Ae 2(b/2m)t e a energia mecânica (total) também: E = E 0 ep b m t M.Mola amortecida simulação O 2A T 0 2T 0 3T 0 4T 0 5T 0 With stronger damping (larger b): The amplitude (shown by the dashed curves) decreases more rapidly. The period T increases (T 0 period with zero damping). t 17

18 17.4 Oscilações amortecidas A amplitude das oscilações diminui eponencialmente com o tempo: = A 0 ep b 2m t cos ω 't +δ ( ) Upper cylinder attached to car s frame; moves little. Piston Viscous fluid Valor crítico da constante de amortecimento: b c = 2mω 0 = 2 km Pushed down Lower cylinder attached to ale; moves up and down. Pushed up 18

19 17.4 Oscilações amortecidas A amplitude das oscilações diminui eponencialmente com o tempo: 19

20 17.5 Oscilações forçadas Para se manter um sistema amortecido em oscilação, é necessário forçar o movimento, imprimindo uma força eterior, no sentido do movimento. Essa força deve oscilar com uma frequência próima da frequência própria do sistema (ω 0 ):! F et =! F 0 cosωt ω 0 = k m 20

21 17.5 Oscilações forçadas Para se manter um sistema amortecido em oscilação, é necessário forçar o movimento, imprimindo uma força eterior, no sentido do movimento. Essa força deve oscilar com uma frequência próima da frequência própria do sistema (ω 0 ):! F et =! F 0 cosωt Então, a força total sobre o objeto será a soma da força de restituição com a força de arrastamento, com a força que obriga a que o movimento se mantenha:! F = k! b d! dt + F 0 cosωt ω 0 = g L ω 0 = k m 21

22 17.5 Oscilações forçadas Equação diferencial do movimento: k! + b d! dt + m d 2! dt 2 = F 0 cosωt Amplitude das oscilações: 5F ma/k A Each curve shows the amplitude A for an oscillator subjected to a driving force at various angular frequencies v d. Successive curves from blue to gold represent successively greater damping. b km A = F 0 m 2 ( 2 ω 0 ω 2) 2 + b 2 ω 2 4F ma/k 3F ma/k 2F ma/k b km b km A lightly damped oscillator ehibits a sharp resonance peak when v d is close to v (the natural angular frequency of an undamped oscillator). Stronger damping reduces and broadens the peak and shifts it to lower frequencies. F ma/k b km If b $ 2km, the peak disappears completely. 0 b km v d/v Driving frequency v d equals natural angular frequency v of an undamped oscillator. 22

23 17.5 Oscilações forçadas Na ressonância, a frequência de oscilação é igual (ou muito próima) da frequência própria do sistema: ω = ω 0 A = F 0 m 2 ( 2 ω 0 ω 2) 2 + b 2 ω 2 Tacoma Bridge filme In November, 1940, the newly completed Tacoma Narrows Bridge, opened barely four months before, swayed and collapsed in a 42 mile-per-hour wind. 23