Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 24 de julho de 2018

Transcrição

1 OSCILAÇÕES Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 24 de julho de 2018 MHS,

2 Roteiro 1 Organização do curso Motivação Definições Gerais 2 Formulação geral Sistema Massa-Mola 3 Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico 4 Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio MHS,

3 Roteiro Organização do curso Motivação Definições Gerais 1 Organização do curso Motivação Definições Gerais MHS,

4 Divisão do curso de FIS-26 Organização do curso Motivação Definições Gerais 1 Corpo rígido 2 Oscilações 3 Ondas 4 Mecânica Analítica e Gravitação. MHS,

5 Ementa Organização do curso Motivação Definições Gerais Requisito: FIS-14. Horas Semanais: Dinâmica do corpo rígido: centro de massa, momento de inércia, energia, equação do movimento de rotação, rolamento, movimento giroscópico. Movimento oscilatório: dinâmica do movimento harmônico simples; pêndulos, osciladores acoplados, oscilações harmônicas, oscilações amortecidas, oscilações forçadas e ressonância. Movimento ondulatório: ondas em cordas, ondas estacionárias, ressonância, ondas sonoras, batimento, efeito Doppler. Gravitação. à Mecânica Analítica: trabalho virtual, equação de D Alembert, equações de Lagrange, princípio de Hamilton e equações de Hamilton. MHS,

6 Organização do curso Motivação Definições Gerais Organização do conteúdo: visão geral Semana Conteúdo 5 Movimento oscilatório: dinâmica do MHS. Oscilações harmônicas.. 6 Avaliação (conteúdo da semana 5) Oscilações amortecidas. 7 Avaliação (conteúdo da semana 6) Oscilações forçadas e ressonância. 8 Avaliação (conteúdo da semana 7) Osciladores acoplados. MHS,

7 Avaliação nas semanas 5 a 8 Organização do curso Motivação Definições Gerais 3 avaliações e 3 séries de exercícios Nota do 2o mês (teoria): N = (3N a + N l )/4 N a é a média das 3 avaliações N l é a média das 3 séries de exercícios Avaliações Duração de 20 min (das 08:00 às 08:20, às segundas-feiras) Sem consulta, sem uso de calculadora Em caso de ausência e de justificativa documentada: avaliação diferente A ausência no exame deve ser justificada junto à DAE (com documentação comprobatória) Listas: não serão aceitas com atraso (exceto com justificativa documentada) MHS,

8 Por que estudar vibrações? Organização do curso Motivação Definições Gerais Eng. Aeroespacial Eng. Aeronáutica Eng. Mecânica Eng. Civil Vibrações Física Eng. Eletrônica Eng. Computação Biologia MHS,

9 Aplicações Organização do curso Motivação Definições Gerais Biologia: coração (oscilações com frequência controlada), movimento sincronizado de pássaros MHS,

10 Aplicações Organização do curso Motivação Definições Gerais Eng. Mecânica: carros vibram devido ao motor e à superfície da estrada, máquinas desbalanceadas MHS,

11 Aplicações Organização do curso Motivação Definições Gerais Eng. Computação: leitura de dados nos discos, acionamento do braço de um robô MHS,

12 Aplicações Organização do curso Motivação Definições Gerais Eng. Eletrônica: linhas de transmissão (vibração induzida pelo vento), oscilações elétricas (de corrente, tensão) num circuito ou numa antena MHS,

13 Introduc a o Oscilac o es Harmo nicas Pe ndulos Organizac a o do curso Motivac a o Definic o es Gerais Aplicac o es Eng. Aerona utica: asas de avio es ( flutter ) R.R.Pela MHS, Pe ndulos

14 Introduc a o Oscilac o es Harmo nicas Pe ndulos Organizac a o do curso Motivac a o Definic o es Gerais Aplicac o es Eng. Civil: estruturas de edifı cios (sujeitas a terremotos), pontes sujeitas ao vento, GRUA usada em construc o es R.R.Pela MHS, Pe ndulos

15 Aplicações Organização do curso Motivação Definições Gerais Eng. Aeroespacial: Satélite usando propulsão pulsada MHS,

16 Aplicações Organização do curso Motivação Definições Gerais Física: oscilador quântico, fônons em cristais. MHS,

17 Conceitos básicos Organização do curso Motivação Definições Gerais Vibração ou oscilação Movimento que se repete em períodos regulares de tempo. Classificação das oscilações Presença de F ext Amortecimento Linearidade Aleatoriedade MHS, Livre (F ext = 0) Forçada (F ext 0) Não-amortecida Amortecida Linear Não-linear Determinística Aleatória

18 Conceitos básicos Organização do curso Motivação Definições Gerais oscilação/vibração oscilador oscilação periódica oscilação harmônica: x(t) = A cos(ωt + φ) Série de Fourier x(t) = a n cos(ω n t + φ n ) n=0 MHS,

19 Roteiro Formulação geral Sistema Massa-Mola 1 2 Formulação geral Sistema Massa-Mola 3 4 MHS,

20 Energia potencial Formulação geral Sistema Massa-Mola Eq. instável Ponto de equilíbrio: V (x 0 ) = 0 V (x) Expansão da En. Potencial em torno do ponto de equilíbrio estável Eq. estável Em torno do ponto de equilíbrio estável V (x 0 + x) = V (x 0 )+ +V (x 0 )x V (x 0 )x 2 x V (x 0 + x) = V (x 0 ) V (x 0 )x 2 Em torno do ponto de equilíbrio estável, o sistema se comporta como se fosse uma mola de k = V (x 0 ) > 0 MHS,

21 Modelo Formulação geral Sistema Massa-Mola M x Modelagem alternativa: conservação da energia 2a. Lei de Newton: Mẍ = kx Eq. de movimento ẍ + k x = 0 (EDOLH de 2a. ordem) M Mẋ kx2 2 = E mec derivando em relação a t Mẍ + kx = 0 MHS,

22 Solução Formulação geral Sistema Massa-Mola Solução Solução geral: x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt), ω = x(t) = A cos(ωt + ϕ) = A sin(ωt + φ), ω = O período é: T = 2π M ω = 2π, ao passo que a k frequência é f = 1 T = ω 2π = 1 k 2π M. k M. k M MHS,

23 Definição das Constantes Formulação geral Sistema Massa-Mola As constantes A e φ dependem das condições iniciais x(0) = x 0, ẋ(0) = v 0 ( A = x v0 ) 2 ω φ é tal que sin φ = x 0 A e cos φ = v 0 ωa. A constante A fornece a amplitude de oscilação do MHS. Por outro lado, o termo ωt + φ é chamado de fase do MHS. Em t = 0, a fase é o próprio φ (que pode, por isso, ser chamado de fase inicial) MHS,

24 Energia Formulação geral Sistema Massa-Mola Energia cinética: E c = Mv2 2 Energia potencial: = MA2 ω 2 2 cos 2 (ωt + φ) E p = kx2 2 = ka2 2 sin2 (ωt + φ) = MA2 ω 2 sin 2 (ωt + φ) 2 Energia mecânica: E mec = MA2 ω 2 2 MHS,

25 Valor médio Formulação geral Sistema Massa-Mola Valor médio da energia cinética e potencial: Ē c = Ēp = MA2 ω 2 4 = E mec 2 Valor médio de uma grandeza periódica f(t) f = f = 1 T t0 +T t 0 f(t)dt MHS,

26 Roteiro Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico 4 MHS,

27 Pêndulo de Torção Barra horizontal suspensa por um fio vertical ϕ Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico Se defletimos a barra no plano horizontal de um ângulo ϕ, o fio reage com um torque restaurador τ = kϕ. k é o módulo de torção do fio, que depende do seu comprimento, diâmetro e material. Para fios cilíndricos, temos k = L/(Gπr 4 /2), em que G é o módulo de rigidez MHS,

28 Pêndulo de Torção Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico Se I é o momento de inércia da barra em relação ao eixo vertical, a equação de movimento é: kϕ = I ϕ Equação de movimento ϕ + k I ϕ = 0, ω = k I Sistemas deste tipo são empregados em instrumentos de laboratório muito sensíveis, como o galvanômetro e a balança de torção utilizada na experiência de Cavendish. MHS,

29 Pêndulo Simples Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico θ x Infelizmente, não há solução analítica para esta equação (a EDO é não-linear). Para ângulos pequenos: sin θ = θ. θ + g L θ = 0, ω = g L y Mg sin θ = ML θ θ + g L sin θ = 0 Período de pequenas amplitudes L T = 2π g MHS,

30 Pêndulo Simples Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico No caso de grandes amplitudes, o movimento não é harmônico. Vamos obter o período nesses casos. Suponhamos que o pêndulo é abandonado (do repouso) de um ângulo θ 0. Usando conservação de energia, temos: MgL cos θ 0 = MgL cos θ + ML2 θ2 2 Até T 4, podemos dizer que θ 2g = L (cos θ cos θ 0) 1 2. T 4 0 L dt = 2g θ 0 0 dθ (cos θ cos θ 0 ) 1 2 = 2 L g θ 0 0 dθ (sin 2 ( θ 0 2 ) sin 2 ( θ 2 )) 1 2 MHS,

31 Pêndulo Simples sendo sin α = sin( θ 2 ) sin( θ 0 2 ) Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico = sin( θ 2 ), T = 4 k L g π 2 0 dα (1 k 2 sin 2 α) 1 2 como (1 k 2 sin 2 α) 1 2 = k2 sin 2 α k4 sin 4 α +... substituindo na integral, temos: Período do pêndulo simples T = 2π L g [ θ 4 sin θ ] 64 sin OBS.: Para um pêndulo cicloidal, o período não depende da amplitude. MHS,

32 Pêndulo Físico Pêndulo de Torção Pêndulo Simples Pêndulo Físico s F G α F Eq. dos torques: τ = Mg sin θs = I θ θ + Mgs sin θ = 0 I Note que o pêndulo composto equivale a um pêndulo simples de comprimento l = I Ms. Por isso, o ponto C (distando l de O e alinhado com o CM e O) é chamado de centro de oscilação do pêndulo físico. MHS,

33 Roteiro Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio MHS,

34 Enunciado Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio A energia de uma molécula diatômica é dada por (potencial de Lennard-Jones) U(r) = A r 12 B r 6, U(r) m r m sendo r a separação entre as moléculas. Encontre a frequência (angular) de vibração desta molécula. r MHS,

35 Solução Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Posição de equilíbrio: du/dr( r) = 0 12 Ā + 6 = 0, r13 B r 7 r = 6 2A B. Para pequenos deslocamentos x em torno da posição de equilíbrio r U( r + x) = U( r) + U ( r)x U ( r)x 2. U ( r) = 156 Ā 42 = (26 r14 B r 8 6 r Ār ) ( ) B 7/ B = 72A 2A MHS,

36 Solução Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Energia total E = 2 1 (ẋ ) 2 2 m + U( r) U ( r)x 2 = 1 4 mẋ2 + U( r) U ( r)x 2. Derivando em relação a t: 1 2 mẋẍ + U ( r)xẋ = 0. ẍ + 2U ( r) m x = 0. A frequência angular de vibração é 2U ω = ( r) m = [ ( ) ] 144A B 7/3 1/2. m 2A MHS,

37 Enunciado Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo k a a M MHS,

38 Solução Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Considerando um deslocamento angular pequeno de θ: (4Ma 2 ) θ = Mg(2a) sin θ ka 2 sin θ Para pequenos valores de θ, podemos aproximar sin θ = θ, ( g θ + 2a + k ) = 0. 4M Logo o período é ( g T = 2π 2a + k ) 1 2 4M MHS,

39 Enunciado Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Um bloco de 10,0kg está suspenso por uma corda enrolada em torno de um disco de massa 5,00 kg e raio 150 mm. Se a mola tem uma rigidez k = 200 N/m, determine o período natural de vibração do sistema. k M MHS,

40 Solução Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Assumindo um deslocamento x para baixo: E c = Mẋ2 2 E = ẋ2 2 + I 0 2 E c = ẋ2 2 (ẋ r ) 2 I 0 = mr2 2 ( M + m ) 2 E p = 1 2 k(x + x 0) 2 Mgx ( M + m ) k(x + x 0) 2 Mgx MHS,

41 Solução Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Derivando em relação a t: ( 0 = ẋẍ M + m 2 ( M + m 2 Fazendo a mudança y = x + x 0 Mg ) + k(x + x 0 )ẋ Mgẋ ) ẍ + k(x + x 0 ) Mg = 0 k ( M + m ) ÿ + ky = 0 2 Portanto: ω 0 = k M + m 2 = 4,00 rad/s T = 2π ω 0 = 1,57 s MHS,

42 Enunciado Potencial de Lennard-Jones Período de um pêndulo simples Período de um pêndulo composto Desafio Considere uma barra delgada de massa M e comprimento L que se encontra sobre um hemisfério fixo de raio r. Determine o periodo de pequenas oscilações da barra. MHS,