Física 2. Guia de Estudos P1

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1 Física 2 Guia de Estudos P1

2 1. Movimento Harmônico Simples (MHS) Vamos analisar inicialmente a situação em que há um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K que realiza oscilações em torno de seu ponto de equilíbrio em x = 0, sem a ação de qualquer agente externo ou atrito. Para pequenas perturbações em torno da origem ( A x A) a força que age sobre o corpo é linear e dada pela Lei de Hooke ( kx) e tal força tem caráter restaurador, ou seja, tenda a fazer com que o corpo retorne para a posição de equilíbrio. Na imagem, A representa a amplitude das oscilações do movimento, sendo que essa grandeza representa o maior deslocamento possível a partir da posição de equilíbrio. Em geral, o MHS ocorre quando pode-se chegar na equação diferencial descrita nos próximos itens. 2. Cinemática do MHS Equação diferencial do movimento (2ª Lei de Newton): Ainda usando o sistema massa mola como exemplo, a equação diferencial do movimento pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton: ma = kx mx = kx 1

3 m x = kx x + ω 0 1 x = 0 Sendo que ω 0 = 2 3 A grandeza física ω 0 representa a frequência angular de oscilação, sendo: Onde: ω 0 = 2πf = 2π T T (s) = período de oscilação do movimento, ou seja, tempo para completar 1 ciclo, caso o movimento se inicie em A deve retornar a A para completar 1 ciclo. f Hz = número de ciclos por unidade de tempo que o movimento executa 1 Hz = 1 ciclo segundo ω = frequência angular, dada em rad/s. Equação diferencial do movimento (Conservação de energia): Pode-se usar a conservação de energia para se chegar na mesma equação diferencial. A ideia vêm do fato da variação da energia ao longo do tempo ser nula, por se tratar de um sistema conservativo (E = 0). Dessa forma, a energia mecânica (E 3 ) é dada pela cinética (k) somada com a potencial (U) E 3 = k + U A energia Cinética é dada por k = 3JK = 3LK e a Potencial é a elástica U = 2LK Derivando os dois lados da igualdade no tempo (lembre-se da regra da cadeia!): 2

4 de d dt = mx kx1 2 dt mxx + kxx = 0 1 mx x + ω 0 1 x = 0 Chegando na mesma equação diferencial esperada. Soluções gerais da equação diferencial A solução geral da equação diferencial descrita acima é do tipo: x t = A cos(ω 0 t + φ S ) Sendo A e φ determinados pelas condições iniciais do movimento harmônico simples. Outra solução pode ser do tipo: x t = Bcos ω 0 t + Csen(ω 0 t) Sendo B e C constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. Determinação das constantes a partir das condições iniciais: Das equações x(t) obtidas anteriormente, pode-se chegar nas seguintes relações: x t = A cos(ωt + φ S ) v t = x t = ωa sin(ωt + φ S ) a t = x t = ω 1 A cos(ωt + φ S ) São dados que a posição no instante zero x 0 = x S e a velocidade no instante inicial é v 0 = v S, assim : φ S = arctan v S ω 0 x S 3

5 A = x S 1 + v S 1 De uma forma análoga, pode-se fazer o mesmo com a segunda solução da equação diferencial, obtendo: x t = x 0 cos ω 0 t + v 0 ω 0 sen(ω 0 t) Exercício de fixação 1 P Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4 s e amplitude de 5 cm. O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3 cm vale: Escolha uma alternativa: A. 16π cm/s B. 8π cm/s C. 4π cm/s D. 2π cm/s E. 32π cm/s ω Energia no MHS Nosso sistema conservativo terá 2 tipos de energia: a energia cinética K e a energia potencial elástica da mola U, a energia E será a soma dessas duas energias e representará a energia total no sistema. K = mv1 2 = mx1 2 = ma1 ω 1 2 sin 1 (ωt + φ S ) 4

6 U = Kx1 2 = KA1 2 cos 1 (ωt + φ S ) U = Kx1 2 = KA1 2 cos 1 (ωt + φ S ) K = mω 1 E = U + K = KA1 2 A energia total no movimento harmônico simples é constante, isso decorre do fato do sistema ser conservativo. Na imagem E 3 representa a energia total do sistema, E` representa a energia potencial elástica e E a representa a energia cinética. Por conservação de energia a velocidade máxima ocorrerá quando x = 0, onde a energia potencial elástica é nula, e terá o valor (em módulo): 1 mv 3bL 2 = KA1 2 5

7 v 3bL = K m A Como a aceleração x t = ω 1 x(t), temos que o módulo do máximo da aceleração será ω 1 x 3bL t, assim a aceleração máxima será: x 3bL t = ω 1 A = K m A O sistema massa-mola é apenas um dos sistemas que executam um movimento harmônico simples. De forma genérica, todos os movimentos unidimensionais cujas perturbações possam ser supostas pequenas em torno de um ponto de equilíbrio e nas quais as equações dinâmicas sejam da forma do sistema massamola podem ser tratados como movimentos harmônicos simples. Exercício de fixação 2 P A figura mostra os gráficos da energia cinética K em função da posição x para três osciladores harmônicos do tipo bloco-mola que têm a mesma massa e que descrevem movimentos harmônicos simples. Pode-se dizer que: Escolha uma alternativa: A. A constante elástica do oscilador 2 é maior que a do oscilador 3. 6

8 B. O período de oscilação associado ao oscilador 1 é menor que aquele dos osciladores 2 e 3. C. O oscilador 3 completa uma oscilação em um tempo menor que os outros dois. D. A constante elástica do oscilador 3 é maior que a dos osciladores 1 e 2, sendo a constante elástica do oscilador 2 menor que a do oscilador 1. E. Os três osciladores têm a mesma frequência de oscilação. 4. Pêndulo de Torção O pêndulo de torção será formado por um corpo apoiado em um plano ou suspenso por um fio. Ao perturbarmos o corpo diz-se que o fio reage como um torque restaurador proporcional ao ângulo de torção, assim: τ = K φ Onde K é o módulo de torção do fio que depende de seu comprimento, diâmetro e material. Aplicando a equação do movimento, tem-se: I d1 φ = K φ dt1 Usando a mesmo procedimento que o utilizado com o sistema massa-mola a frequência angular do pêndulo de torção será: ω 0 = K I e φ t = A cos(ω 0 t + φ S ) 7

9 Exercício de fixação 3 P A roda de balanço de um relógio possui um período de 0.25s, a roda é construída de forma que sua massa fica concentrada em um aro de raio 0.5cm. Qual é a constante de torção da mola acoplada? Dado I bg0 = mr². Escolha uma alternativa: A. k = 4πm² 10 jk N/rad B. k = m 10 jk N/rad C. k = 16π 1 m 10 jk N/rad D. k = 2m 10 jl N/rad E. k = 4πm 10 jl N/rad 5. Aproximações para pequenas oscilações Em alguns casos, alguns sistemas não apresentam força nem energia potencial para realizar um MHS. No entanto, pode-se usar determinadas aproximações para pequenas oscilações em torno de um ponto de equilíbrio estável para chegar na equação diferencial característica. Alguma dessas aproximações são: Ângulos pequenos: Nesse caso, se o ângulo for tal que θ 1, pode-se usar as seguintes aproximações: sin θ tan θ θ e cos θ 1 pk 1 Sendo uma aproximação válida do limite trigonométrico fundamental e da expansão binomial usada para pequenas oscilações de pêndulos. 8

10 Expansão binomial: É comum, para valores de x muito pequenos, desprezar termos de ordem maior do que 1 (ex: x², x³, etc). Nesse caso, pode-se usar a expansão binomial: Para x x q 1 + nx Exercício de fixação 4. P (Adaptado) Um corpo de massa m está sujeito a um potencial do tipo: U x = a x 1 2b x a. Encontre a posição de equilíbrio. b. Escreva a equação do movimento exata. c. Determine a frequência angular para pequenas oscilações. 6. Pêndulos Pêndulo simples No pêndulo simples há uma massa m colocada em um fio de comprimento L. A equação diferencial que caracterizará o movimento harmônico simples será obtida através da decomposição das forças no eixo radial e tangencial. 9

11 mg sin θ = m a v = L θ então a = L θ mg sin θ = ml θ θ + g sin θ = 0 L Essa equação só apresenta um MHS se θ 1 rad, pois podemos usar a aproximação que sin θ θ,logo: θ + g L θ = 0 Cuja solução será do tipo: θ t = A cos ω 0 t + φ S com ω 0 = g l T = 2π l g 10

12 Energia no Pêndulo simples A energia no pêndulo simples, assim como no oscilador massa-mola, será dada pela soma da energia cinética com a energia potencial. Nesse caso essas energias podem ser expressas em termos da função θ(t) da seguinte forma: K = mv1 2 = m 2 Lθ 1 = ml1 θ 1 2 U = mgl 1 cos θ Para θ 1 pode-se escrever que cos θ 1 pk 1 Pêndulo Físico U = mglθ1 2 Trata-se de um pêndulo real onde a massa do corpo não é mais concentrada em um único ponto, como no caso do pêndulo simples, mas sim distribuída ao longo de toda a extensão do corpo, assim, a análise será baseada na utilização do momento de inércia do corpo. 11

13 O torque é dado por τ = r F, a decomposição da força peso como na figura nos fornece um torque resultante igual a: Logo, tem-se: mgd sin θ mgd sin θ = I d1 θ dt 1 d 1 θ dt 1 + mgd sin θ = 0 I Novamente, utilizando a aproximação sin θ θ, obtém-se: d 1 θ dt 1 + mgd I θ = 0 Por analogia pode-se escrever que: ω = mgd I Lembre-se: d é a distância do centro de rotação ao centro de massa do pêndulo físico. Exercício de fixação 5 P O pêndulo A mostrado na figura consiste em uma esfera muito pequena de massa M sustentado por uma corda de massa desprezível e comprimento L. O pêndulo B consiste em uma esfera muito pequena de massa M/2 e uma barra delgada de massa M/2 e comprimento L. Seja τ v e τ w os tempos que cada pêndulo demora 12

14 para completar uma oscilação. Para deslocamentos pequenos em relação à posição de equilíbrio, pode-se dizer que: a. Os dois pêndulos levam o mesmo tempo para completar uma oscilação, com τ v = τ w = 2π L/g. b. O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ v /τ w = 8/9 c. O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ v /τ w = 1/2. d. O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ v /τ w = 4/3 e. O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A em completar uma oscilação, com τ v /τ w = 2 13

15 7. Associação de Molas. Quando duas ou mais molas (K z, K 1, K {,, K q ) são associadas em série ou eu paralelo, sua constante elástica resultante (K g ) será dada por: Molas em série: 1 K g = 1 K z + 1 K K q Molas em paralelo: K g = K z + K 1 + K { + + K q Exemplo de associação de molas: A mola da esquerda representa associação série enquanto a da direita representa a associação de molas em paralelo 8. Oscilações Acopladas As oscilações acopladas correspondem à dinâmicas de movimentos harmônicos simples em que o movimento de uma partícula influencia no movimento da outra. 14

16 Por exemplo: Nesse caso simplificado, em que há apenas duas partículas unidas por uma mola pode-se usar o conceito de massa reduzida (μ) para resolver o problema, bastando substituir a massa m do sistema massa mola pela massa reduzida μ. O valor de μ será dado por: μ = m b m m b + m Assim, a frequência angular ω no MHS será: ω = K μ Exercício de fixação 6 P (adaptado) Considere um sistema formado por duas partículas idênticas de massa m ligadas por uma mola de massa desprezível e constante elástica k. Supondo que as partículas se movem em apenas uma direção e a única força atuante no sistema advém da mola, determine a frequência angular ω 0 de oscilação. 15

17 Exercícios P1: 1. Comparação entre Movimentos Harmônicos Simples P A figura mostra as curvas obtidas em três experimentos diferentes para o deslocamento horizontal em relação à posição de equilíbrio, x(t), de um mesmo sistema bloco-mola que oscila descrevendo um movimento harmônico simples. Pode-se dizer que: a. Em t = t v, o módulo da aceleração do bloco no experimento 2 é menor que no experimento 1 e maior que experimento 3 b. Em t = t v, a energia potencial elástica no experimento 1 é maior que a energia potencial elástica nos experimentos 2 e 3, sendo a energia potencial elástica no experimento 3 menor que no experimento 2. c. Em t = t v, o módulo da velocidade do bloco no experimento 1 é maior que nos experimentos 2 e 3. d. A frequência angular do sistema nos três experimentos é diferente. e. Em t = t v, a energia cinética do bloco no experimento 2 é maior que no experimento 3. 16

18 2. Massa-mola em plano inclinado P Um bloco de massa m está conectado a uma mola de constante elástica K em um plano inclinado que forma um ângulo α em relação à horizontal. No instante t = 0, o bloco é solto da posição x = 0, com velocidade inicial nula. Considerando que a mola está relaxada (nem comprimida, nem esticada) quando x = 0, determine: a. A equação do movimento do bloco ao longo do eixo x mostrado na figura. b. A posição x(t) em função do tempo. Qual a amplitude do movimento e os valores máximos (x 3bL ) e mínimo (x 3 q ) de x? c. A energia cinética em função do tempo. 17

19 3. Pêndulos simples associados a molas P Um pêndulo formado por uma esfera de massa m e raio desprezível está suspenso verticalmente a partir do ponto O através de uma haste rígida de massa desprezível e comprimento L. A haste está ligada a duas molas de constante elástica K, massas desprezíveis, situadas a uma distância OA = d de O como mostrado na figura (a). As molas estão relaxadas (isto é, nem esticadas nem comprimidas) quando o pêndulo está na posição vertical. Para iniciar o balanço do pêndulo, você o desloca com as mãos até que a haste forme um pequeno ângulo θ S θ S 1 com a vertical, liberando-o a partir do repouso, figura (b). Dica: como o ângulo θ S é pequeno, considere que as molas permanecem essencialmente na horizontal durante todo o movimento. a. Utilize o sistema de coordenadas da figura e obtenha a equação que descreve o movimento do pêndulo. b. Para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio do pêndulo, determine a frequência angular de oscilação. c. Obtenha a função θ(t) para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio. 18

20 4. Sistema que realiza MHS Irodov, I. E. Problems in General Physics, Moscou: Mir Moscou, Ex (Adaptado) Uma barra uniforme de massa não desprezível é posicionada no centro de duas rodas que giram, conforme figura abaixo. Os eixos das rodas são separados por uma distância l e o coeficiente de atrito cinético entre a barra e as rodas é μ. Inicialmente, o centro de massa da barra se encontrava exatamente no meio entre as duas rodas, ficando em equilíbrio. Um cara chega do nada e dá um leve empurrão na barra, tirando ela do equilíbrio a. Desenhe o diagrama de forças na barra. b. Demonstre que esse sistema realiza movimento harmônico simples. c. Calcule o período de oscilações desse movimento. 19

21 5. Sistema que realiza MHS Elaboração própria Um corpo leve de massa m e com secção transversal de área S flutua em um líquido de densidade ρ. Em um determinado instante, o corpo recebe um leve impulso para baixo. a. Determine a que altura h ˆ o corpo afunda para ficar em equilíbrio, antes do impulso. Use g Como a constante da gravidade. b. Mostre que o corpo realiza MHS em torno desse ponto de equilíbrio. c. Calcule a frequência angular do corpo em questão. d. Um cubo de 81,0 kg e 1,00 m de lado flutua na água cuja massa específica é ρ = 1000 kg/m³. O cubo é então calcado ligeiramente para baixo. Desprezando-se as forças de atrito e tomando g = 10 m/s², determine o período de oscilação desse cubo. 20

22 6. Oscilações para Pequenos Ângulos P (Corrigido) Uma bolinha homogênea de massa m e raio r rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio R >> r, na vizinhança do fundo, ou seja, na aproximação de ângulos pequenos (ver fig. abaixo). Dado I Š = 1 l mr². a. Faça um esquema das forças que agem sobre a bola e determine a força resultante. b. Escreva U(θ) e T(dθ/dt). c. Mostre que o sistema é um oscilador com frequência angular ω = d. Mostre que a função θ(t) = A cos(ωt + ϕ), onde A e ϕ são constantes, é solução da equação diferencial. e. Considerando que no instante t = 0 o ângulo é θ 0 e a velocidade é v 0, determine a solução particular para este oscilador em termos de ω, θ 0, v S, e t. f. Escreva as expressões para U(t) e T(t), sendo U a energia potencial e T a energia cinética. g. Mostre que E = T + U é independente do tempo. l Œ. 21

23 Gabarito: Exercícios de fixação: 1. Alternativa D 2. Alternativa C 3. Alternativa C 4. a. x ˆ = b b. mx = 1b 1 L Ž L K c. ω = 1 b³3 5. Alternativa B Exercícios P1: 1. Alternativa c a. x = ω 1 x, onde ω = 3 b. x t = c. K = 3 1 a. θ = K 3 K cos ωt 1, x 3bL = 0 e x 3 q = 1 sin 1 (ωt) cos θ sin θ 13 b. θ = + 1 K 3 K θ, então ω = c. θ t = θ S cos (ωt) + 1 K 3 K 22

24 4. b. T = π 1l š 5. a. h ˆ = 3 œ c. ω 0 = œ 3 d. T = z ž zss s 6. a. Radial: F g = N mg cos θ; Tangencial: F p = f b mg sin θ b. U(θ) mgr(1 cos θ) T θ = Œ zs mgθ² e. θ t = θ J 1 cos ωt arctan J p Ou θ t = θ 0 cos ωt + J sin(ωt) f. U t 3 1 A1 cos² (ωt + φ) T t = 3 1 A1 sin²(ωt + φ) Com A = θ J 1 e φ = arctan J p 23