UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Princípios e Fenômenos da Mecânica Professor: Humberto

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA Princípios e Fenômenos da Mecânica Professor: Humberto EXPERIMENTO Nº 7 OSCILAÇÕES NÃO-AMORTECIDA E AMORTECIDA Discentes: Camila de Oliveira Silva ( ) Gabriel Araújo (009094) Thiago Mateus B. da Silva ( ) Turma A NATAL 1/06/010

2 Objetivo O referido relatório tem como objetivo apresentar os resultados obtidos no procedimento laboratorial ocorrido no dia 07/06/010, segunda-feira, sendo este voltado à análise de oscilações amortecidas e não-amortecidas. Essa atividade aconteceu no Laboratório de Física Experimental de Mecânica dos Fluidos, no período de 10h 50min às 1h 30min, e contou com a participação dos alunos da turma 0A do curso do Bacharelado em Ciências e Tecnologia, e dos professores de laboratório. O experimento inseriu conceitos vistos em sala de aula na vida real para mostrar aos alunos que oscilações são movimentos que se repetem e que são facilmente encontrados no nosso dia-a-dia. Objetivou também explicar como proceder na resolução de cálculos experimentas, como também fazer com que os alunos soubessem lidar com os problemas oscilatórios e retirar dos experimentos conclusões importantes. Introdução Teórica No movimento realizado por uma mola posicionada na vertical com uma massa pendurada em uma das extremidades, observa-se uma força restauradora atuando que se opõe a essa oscilação. Como conseqüência, desprezando-se a resistência do ar, o sistema mola-peso caracteriza-se como um Movimento Harmônico Simples (MHS), que é matematicamente um Oscilador Harmônico Simples (OHS). Da segunda lei de Newton, temos que F = m[a t ] (1) Da aceleração em um Oscilador Harmônico Simples, sabemos a t = ω x(t) () Substituindo em 1, obtemos: F = m[ ω x t ] Da lei de Hooe: F = mω [x t ] (3) F = x(t) (4) = mω (4 em 3)

3 ω = m = π T = πf (5) No caso em que o experimento é feito na água podemos dizer que o sistema se caracteriza como um Movimento Harmônico Simples Amortecido. Neste caso, há oscilações que vão diminuindo gradativamente. Logo, podemos utilizar as equações de Oscilador Harmônico Simples Amortecido (OHSA), as quais são: e x t = x m exp b m t cos(ω t + φ) ω = m b m Materiais Utilizados No experimento 7, para a verificação de oscilações amortecidas e não amortecidas, são utilizados os seguintes materiais: Tripé(1): O tripé é um suporte fixo. Neste experimento a haste vertical é afixada nele de forma a mantêlo firme. Hastes vertical () e horizontal (3): As hastes são cilindros compridos de aço que servem basicamente para apoiar objetos. No procedimento realizado em laboratório, a haste vertical serve para apoiar a horizontal, por sua vez, a haste horizontal tem nela pendurada o sensor de força, junto com os pesos e a mola. Sensor de força (6): O sensor de força mede a força aplicada no gancho, localizado na parte inferior, e envia os dados obtidos para a interface. Interface: A interface é um software que salva os dados enviados pelo sensor, os quais servem para o desenho de gráficos do tipo força por tempo. Mola (5) /Pesos(4): No experimento a mola e os pesos servem como um oscilador. A força resultante do conjunto é medida pelo sensor de força. Em um primeiro teste, há dois discos pendurados na mola, em um segundo há quatro. E em um terceiro e quarto são repetidos os primeiro e segundo testes, porém com adição de um béquer com água (7), onde os pesos ficam submersos de modo a amortizar a oscilação.

4 3. Haste Horizontal. Haste vertical 6. Sensor de Força 5. Mola 7. Béquer com água 4. Conjunto de Pesos 1. Tripé Figura 1 Experimento Procedimento Experimental O experimento já estava pronto ao chegarmos ao laboratório. O tripé estava fixado às hastes vertical e horizontal, como também estava apoiando o sensor de força. Este continha, em sua extremidade, uma mola acoplada, que serviria para encaixar o engate com os pesos. O sensor estava conectado à interface que era interligada ao computador para a coletânea dos dados. O procedimento era encaixar os pesos de massa m 1 e m na mola, inserir nesse conjunto uma força para puxar o peso para baixo e depois soltá-lo, para que este oscilasse e os dados de amplitudes e tempos fossem coletados para o computador. As massas dos respectivos pesos para a experiência são: Tabela 3: Massas usadas m 1 = 100g m = 00g

5 O primeiro momento dessa tarefa era analisar oscilações não-amortecidas, isto é, o movimento que não se reduz gradualmente. Os pesos foram fixados na mola e foi realizado o experimento e a coleta de dados, primeiro com a massa de m 1 e depois, com m. Posteriormente, utilizando a teoria de oscilação amortecida, o mesmo experimento foi realizado debaixo d água, porque esta exerce uma força viscosa no movimento, e rapidamente o amortece. Conforme o peso se move para cima e para baixo, a força viscosa que o líquido exerce atua sobre todo o sistema oscilante, e a energia mecânica é reduzida à medida que é transformada em energia térmica no líquido e no peso. O computador coletou os dados formando um gráfico da amplitude alcançada no decorrer de um minuto, para os quatro movimentos. Resultados e Discussão Movimento Oscilatório no ar (a) Para cada sistema de massa (m 1 e m ) avalie através do gráfico obtido na seção o tempo gasto para efetuar 10 oscilações e calcule a freqüência do movimento, preenchendo a tabela 4. Dos gráficos obtidos, colhemos apenas os dados. Verificamos em qual intervalo as oscilações estavam menos irregulares, e os dados obtidos para o número de dez oscilações em um tempo inicial t i e em um tempo final t f são: Tabela 4: Resultados experimentais da oscilação no ar t i (segundos) t f (segundos) F (Hz) m 1 0,459 5,393,06 m 0,347 7,317 1,435 O tempo gasto para efetuar dez oscilações com o peso de massa m 1 foi: t = t f - t i = 5,393 0,459 = 4,934 s O tempo gasto para efetuar dez oscilações com o peso de massa m foi: t = t f - t i = 7,317 0,347 = 6,970 s (b) Usando a teoria do oscilador massa-mola explique a diferença nos valores obtidos para cada sistema.

6 dada como: Pelo sistema massa-mola, temos que a freqüência angular ω de uma oscilação não-amortecida é ω = m Sabendo que m =. m 1, e sendo a freqüência angular para m 1 igual a ω 1 e para m igual a ω, temos que: ω 1 = m 1 ω = m ω = m 1 ω ω 1 = m 1 ω ω 1 = 1 ω 1 = ω m 1 Teoricamente, a freqüência para a massa m 1 é vezes maior que para a massa m. Agora, testando essa teoria fazemos: ω 1 = ω ω 1 = x 1,435 =,09 O resultado obtido experimentalmente (,06) para a primeira freqüência foi aproximadamente igual ao resultado teórico (,09), com uma diferença apenas na terceira casa decimal. A conclusão teórica que podemos dar a esse experimento é que o peso com maior massa gastou mais tempo para realizar uma oscilação completa do que o peso de menor massa, e isso resultou em uma freqüência angular menor. (c) Como você relacionaria a grandeza física do eixo da ordenada com a distensão z(t) da mola? z t = ae iωt + be iωt (I) A equação (I) é a solução complexa para x(t). A partir de algumas manipulações matemáticas, encontramos uma equação (II), equivalente à equação (I): x t = A cos(ωt + φ) (II) Onde A é a amplitude do movimento oscilatório e x t é a distensão da mola. A amplitude da oscilação depende de como o movimento foi iniciado. Durante o experimento, verificamos que quanto maior fosse a energia dada por nós ao sistema, maior era a amplitude da oscilação e, consequentemente, a distensão x t da mola variava entre +A e A, de acordo com a fase do movimento (ωt + φ).

7 Movimento oscilatório na água (a) Para cada sistema de massa (m 1 e m ), avalie através do gráfico obtido na seção 8.3. o tempo gasto para efetuar 10 oscilações e calcule a frequência do movimento, preenchendo a tabela 5. O tempo gasto para efetuar dez oscilações com o peso de massa m 1 foi: t = t f - t i = 5,75 0,380 = 5,345 s O tempo gasto para efetuar dez oscilações com o peso de massa m foi: t = t f - t i = 7,957 0,145 = 7,81 s Utilizando esses dados para encontrar a freqüência, fazemos: F m 1 = 10 5,345 = 1,871 F m = 10 7,81 = 1,80 Tabela 5: Resultados experimentais da oscilação na água F (Hz) m 1 1,871 m 1,80 β (Hz) (b) Compare as freqüências obtidas com aquelas correspondentes ao movimento oscilatório no ar (tabela 5). Com base na teoria do oscilador massa-mola amortecido, como você explica essa diferença? Percebemos que os dados para o movimento oscilatório amortecido com as massas m 1 e m possuem valores menores em relação ao caso não-amortecido. Uma explicação plausível é que, com a diminuição da energia mecânica no decorrer do tempo, o movimento desacelera e realiza uma oscilação completa mais difícil em relação ao seu desempenho anterior, até chegar a zero gradualmente. Se supusermos que o líquido exerça uma força externa no peso, então: F a = - bv Onde F a é chamada de força de amortecimento, b é uma constante de amortecimento que depende das características do objeto em oscilação e o líquido, v é a velocidade proporcional (em magnitude) à força externa F a e o sinal negativo indica que esta força se opõe ao movimento. A freqüência angular para o caso amortecido é dada por:

8 ω a = b² m 4m² Como a freqüência agora é a resultante da diferença entre duas constantes, é provável que ela seja sempre menor do que para um caso sem amortecimento. Fazendo as mesmas relações utilizadas no exercício anterior, onde m = m 1, e sendo a freqüência angular do oscilador amortecido para m 1 igual a ω a1 e para m igual a ω a, temos que: ω a1 = m 1 b 1 ² 4m 1 ² ω a = m b ² 4m ² Sendo β = b m ω a1 = m 1 β 1 ω a = m 1 β A diferença obtida em relação ao movimento oscilatório no ar está relacionada ao fator de amortecimento β que, no caso amortecido, é uma constate contrária ao movimento livre e diminui a freqüência angular da oscilação. (c) No software, obtenha as coordenadas de 10 máximos do gráfico oscilatório dos dois sistemas de massa (m 1 e m ), de forma a construir um gráfico que expresse o amortecimento do sistema massamola. Use uma função exponencial para ajustar estes resultados experimentais. Os gráficos da oscilação amortecida, como sabemos, seriam irregulares e a linha do gráfico tenderia a 0 no eixo das abscissas. Retiramos do gráfico dez períodos oscilatórios, para m 1 e m, e os listamos a seguir: Tabela a 1: Intervalos da massa m 1 Amplitude Tempo 1 1,056 0,35 1,06 0,88 3 0,997 1,43 4 0,987 1,97 5 0,978,51 6 0,948 3,57 7 0,948 4,1 8 0,938 4,67 9 0,938 5, ,99 5,70 Tabela a : Intervalos da massa m Amplitude Tempo

9 1 1,961 0,15 1,96 0,86 3 1,916 1,58 4 1,896,30 5 1,877 3,03 6 1,867 3,75 7 1,857 4,44 8 1,857 5,16 9 1,848 5, ,836 7,96 Os gráficos exponenciais encontrados foram: Gráfico para o peso de massa m1 Gráfico para o peso de massa m

10 (d) Aplicando a ª Lei de Newton neste problema, mostre que a distensão máxima da mola é dada por: z max (t) = Ae βt, onde β é chamado de fator de amortecimento. Compare esta expressão com a equação com os resultados do item 8.4.c e obtenha o valor do fator de amortecimento para cada sistema de massa e preencha a tabela 5. De acordo com o princípio fundamental da dinâmica, para o referido movimento, temos: f x = x ρv = ma (I) Dividindo ambos os membros da equação (I) por m: a + ρ m v + m x = 0 (II) Substituindo ω o = e γ = ρ em (II): m m a + γv + ω o x = 0 x + γx + ω o x = 0 (III) A equação (III) é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, portanto, podemos procurar uma solução usando uma notação complexa. z t = e pt z t = pz z t = p z (IV) O conjunto de equações (IV) implica em: p + γp + ω o = 0 (V) Cujas raízes são: p = γ ± γ ou, podemos escrever: 4 + ω o (VI) p = γ ± i ω o + γ 4 (VII) Podemos, ainda, fazer:

11 p = γ ± iω ω = ω o + γ 4 (VIII) A fim de satisfazer às condições iniciais, vem: z t = ae p+t + be p t (IX) Onde a e b são constantes reais. De (VIII), sai: z t = e γ t + (ae iωt + be iωt ) (X) A parte real de (X) é a solução de (III): x t = e γ t a cos +b sin ωt (XI) A equação (XI) implica em: x t = Ae γ t cos ωt + φ (XII) Como a função cosseno varia de +1 a -1, então, a distensão máxima da mola é dada quando cos ωt + φ = 1, implicando em: x t max = Ae γ t Desfazendo as substituições feitas de (II) para (III), tem-se: x t max = Ae ρ m t x t max = Ae ρ m t Por fim, substituímos ρ por β, esse termo é o fator de amortecimento. m β t x t max = Ae (XIII) De forma análoga, se quisermos que a distensão esteja representada no conjunto complexo, teremos: β t z t max = Ae (XIV) Pelo gráfico traçado na letra c, encontramos os seguintes fatores de amortecimento:

12 Tabela 5: Resultados experimentais da oscilação na água F (Hz) β (Hz) m 1 1,871-0,434 m 1,80-0,313 (e) Os valores obtidos do fator de amortecimento foram próximos entre sim? Justifique. A partir do gráfico traçado, encontramos que os fatores de amortecimento (-0,434 e -0,313), nos casos em que as massas eram m 1 e m, respectivamente. Os resultados ficaram próximos, apesar da massa m ser duas vezes maior que m 1. Considerando este é um sistema massa-amortecedor-mola, podemos fazer as seguintes relações: β = b b cr = Fator de amortecimento b = coeficiente de amortecimento b cr = mω = coeficiente de amortecimento crítico ω = m = freqüência angular do sistema Fazendo isso para os coeficientes de amortecimento das massas m 1 e m : β = m b m β 1 = m b m β = 4m b m b = mβ 1 m b = 4mβ 4m mβ 1 = 4mβ m 4m β 1 m = β 4m β 1 = β 4m m β 1 = β 1 β 1 = 1,4β Se colocarmos o valor de β = -0,313: β 1 = 1,4 x -0,313 = -0,438 (valor teórico) O valor experimental de β 1 é -0,434, valor próximo do valor teórico, com um erro de apenas 0,9%.

13 (f) Compare os valores das freqüências de oscilação dos sistemas de massas (m1 e m) nos casos de oscilação livre (item 8.4.1a) e de oscilação amortecida (item 8.4.a). Os resultados estão compatíveis com a teoria? Justifique. (f.1) Vamos iniciar com o movimento oscilatório livre: Frequência teórica: ω m1 = m 1 ω m = m 1 ω m = 1 m 1 ω m = 1 ω m1 ω m 1 ω m = ω m 1 teorico ω m teorico = 1,414 Teoricamente, a freqüência de oscilação da massa m 1 deve ser vezes maior que da massa m. Porém, na prática, verificamos o seguinte: ω m1 experimental = 1,871 ω m experimental = 1,80 ω m1 experimental ω m experimental =,06 1,435 1,411 Chamamos de rω exp a razão ω m 1 experimental ω m experimental e de rω teo a razão ω m 1 teorico ω m teorico. Para a oscilação não-amortecida, consideramos os resultados experimentais muito próximos dos que a teoria aponta. Calculamos o erro a partir das razões obtidas: δ = rω exp rω teo δ = rω teo 1,411 1,414 1,414 δ = 0,00 δ = 0,% O qual nos faz inferir que os cálculos para a experiência conseguiu chegar a um resultado bem aproximado ao teórico, com um erro bastante pequeno, sendo compatível com a teoria.

14 (f.) Vamos, agora, analisar os dados teóricos para o movimento amortecido: ω m1 = m 1 b 1 m 1 ω m1 = ω m1 + β 1 = m 1 ω m = m 1 β 1 m 1 b 4m 1 ω m = m 1 β ω m + β = m 1 ω m 1 +β 1 ω m +β = (V) De posse dos dados experimentais e da equação (V), vemos que: ω m1 = 1,871 ω m = 1,80 β 1 = 0,434 β = 0,313 ω m1 + β 1 ω m + β = 3, ,188 1, ,098 ω m1 + β 1 ω m + β = 3,689 1,736 =,15 Convencionamos chamar de rω exp e rω teo as razões ω m 1 +β 1 ω m +β experimental e teórica, a fim de calcularmos o erro relativo entre os dados teóricos e experimentais. δ = rω exp rω teo rω teo δ =,15 δ = 0,065 δ = 6,5% O erro para a oscilação com amortecimento foi de aproximadamente 6% em relação ao que se esperava; portanto, está dentro dos limites de um experimento. Conclusão O experimento laboratorial que propôs a análise de movimentos oscilatórios, sendo eles amortecidos e não amortecidos, colaborou para que relacionássemos fórmulas físicas complexas com procedimentos realizados na prática. O projeto aqui descrito considerou que grandezas, como forças res-

15 tauradoras e constantes, criam o ambiente necessário para que o movimento volte ao seu estado inicial. O primeiro experimento (feito no ar), apesar de haver pouca diferença, é também um movimento oscilatório amortecido, visto que o ar também realiza uma força (apesar de pequena) a fim de diminuir as oscilações até o repouso. Porém, neste caso, consideramo-lo como não-amortecido, com o objetivo de perceber a diferença da força mais viscosa que a água exerce sobre o objeto. Os resultados que obtivemos não tiverem grande diferença em relação ao que a teoria propusera. Porém, houve algumas diferenças, o que podemos concluir que foram graças ao ambiente em que realizamos o experimento, como a existência do ar condicionado, a forma como foi puxado o peso, as batidas na bancada, uma pequena inclinação no movimento oscilatório, entre outros. Tentamos chegar às melhores conclusões e aprendemos como proceder nos cálculos e saber analisar os resultados obtidos. Referências Bibliográficas Acesso em 1/06. Acesso em 13/06.