Queremos resolver uma equação diferencial da forma. dy dx. = f(x, y), (1)

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1 Resolução Numérica de Equações Diferenciais Método de Runge Kutta Queremos resolver uma equação diferencial da forma dy dx = f(x, y), (1) Isto é: queremos obter a função y(x) sabendo sua derivada. Numericamente: queremos obter y(x 0 + x), y(x x), etc, a partir apenas do conhecimento de (x 0, y 0 ), para valores de x pequeno mas finito. 1

2 Método de Euler usa apenas os valores no início de cada intervalo. Sabendo (x 0, y 0 ), obtemos y 1 = y 0 + f(x 0, y 0 ) x, y 2 = y 1 + f(x 1, y 1 ) x, etc. y 1 é uma estimativa para o valor da solução em x = x 1 y 2 y 1 f(x 1, y 1 ) é uma estimativa para a derivada da solução naquele ponto. erros são acumulados. y 0 x 0 x 1 x 2 2

3 O método de Euler trunca a expansão em série de Taylor no segundo termo é um método O( x), com um erro O( x 2 ). Queremos diminuir a ordem do erro, ao levar em conta a variação da derivada em cada intervalo x. Faremos isso de duas formas: usando o valor da derivada num ponto central usando a média das derivadas no início e no fim do intervalo. Ao levar em conta essa variação de tangente, estamos truncando a série de Taylor após o termo quadrático, portanto teremos um método O( x 2 ). 3

4 Método do Ponto Central ou Método de Euler Modificado Em vez de usarmos a derivada no ponto (x 0, y 0 ), usamos a derivada no ponto intermediário x med = x 0 + x/2. y i+1 = y i + f(x med, y med ) x Mas não sabemos y med Usamos Euler simples: y med y 1 y 0 y med = y i + f(x i, y i ) x/2 x 0 x med x 1 4

5 Método de Euler Aperfeiçoado Usa a derivada obtida pela média entre a derivada no início e no fim do intervalo. y i+1 = y i (f i + f i+1 ) x com f i = f(x i, y i ) e f i+1 = f(x i+1, y i+1 ) e usa Euler simples primeiro para obter y i+1 = y i + f i x y 1 y 0 x 0 x 1 5

6 Método de Runge Kutta Calcula a derivada em um ponto intermediário e usa a média ponderada das derivadas no ponto inicial e num ponto intermediário y i+1 = y i + f x onde f = af i + bf i a e b são os pesos, f i é a tangente no ponto (x i, y i ), f i f i é a tangente num ponto intermediário = f(x i + α x, y i + βf i x) onde α e β especificam a posição do ponto intermediário 6

7 Estes parâmetros não são totalmente livres. Se compararmos este método com a expansão em série de Taylor da solução real y(x) obteremos as relações entre eles: A expansão en série de Taylor de f(x, y) em torno de x 0 e y 0 é: f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + (x x 0 ) f + (y y 0 ) x f 0,y 0 y ou seja: f(x 0 + x, y 0 + y) = f(x 0, y 0 ) + x f x 0,y 0 + y f y x 0,y 0 x 0,y 0 Vamos expandir a equação da derivada f i = f(x i + α x, y i + βf i x) em torno de x i f i = f(x i, y i + βf i x) + α x f x i,y i expandindo o primeiro termo em torno de y i então f(x i, y i + βf i x) = f i + βf i x f y f i = f i + βf i x f + α x y x f i,y i x i,y i x i,y i 7

8 Substituindo na expressão de f = af i + bf i temos f = af i + bf i + bβf i x f y xi,y i + bα x f xi,y i que substituindo em y i+1 = y i + x [ y i+1 = y i + f x (a + b)f i + bα x f + bβf i x f xi,y i y xi,y i ] (2) 8

9 Considere a solução real, y(x), expandida em série de Taylor, nas vizinhanças do ponto x i, até a segunda ordem: y(x i + x) = y(x i ) + x dy dx + 1 xi 2 ( x)2 d2 y dx 2 xi [ = y(x i ) + x f(x i, y(x i ) + 1 ] df x. (3) 2 dx xi (4) Mas df(x, y) dx = f + dy dx Substituindo (5) em (4) temos [ y(x i + x) = y(x i ) + x f y = f f [x i, y(x i )] f(x, y) f y. (5) x f + 1 xi 2 xf [x i, y(x i )] f y (6) xi ] 9

10 Comparando expressão (2) com a expansão (6), y i+1 = y i + x y(x i + x) = y(x i ) + x [ ] (a + b)f i + bα x f + bβf i x x f i,y i y x i,y i [ ] f [x i, y(x i )] + 1 f x + 2 x 1 xf [x i 2 i, y(x i )] f y x i vemos que, para que as duas sejam equivalentes, os parâmetros a, b, α e β estão relacionados: a + b = 1 αb = βb = 1 2 Uma escolha possívelé a = 0 b = 1 α = β = 1 2 Método do ponto central (7) Outra escolha: a = b = 1 2 α = β = 1 Método de Euler aperfeiç oado Ambos algoritmos são conhecidos como métodos de Runge-Kutta de segunda ordem porque o cálculo de y i+1 inclui termos O( x 2 ). 10

11 Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem inclui mais pontos no intervalo de modo a que o cálculo da derivada tem termos O( x 4 ). A determinação dos vários parâmetros é feita com o auxílio da expansão de Taylor e envolve uma quantidade razoável de cálculos. Vamos simplesmente listar o resultado. onde y i+1 = y i + h 6 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + f 3 ), (8) f 0 = f(x 0, y 0 ) f 1 = f(x 0 + h/2, y 0 + (h/2)f 0 ) f 2 = f(x 0 + h/2, y 0 + (h/2)f 1 ) f 3 = f(x 0 + h, y 0 + hf 2 ) 11

12 Tarefa 11 - Oscilador harmônico simples Equação do OHS na forma de equação diferencial de segunda ordem: d 2 x dt 2 + ω2 x = 0, (9) onde ω é a freqüência natural do oscilador. Esta equação tem como solução uma função harmônica, e pode ser escrita como x(t) = A cos(ωt + φ). (10) Precisamos escrever a equação (9) na forma de duas equações de primeira ordem. dx dt = y e dy dt = ω2 x. (11) As duas equações acima podem ser escritas de forma compacta usando uma notação vetorial: d S dt = f( S) ou seja, ds[0] dt = f[0] = S[1] e ds[1] dt = f[1] = ω 2 S[0]. (12) 12

13 1. Elabore um programa que resolva a equação do OHS com ω = 2πf com f = 1Hz, para 0 < t < 2s, utilizando o método de Euler simples. Utilize t = 0.05s, x(0) = 10 e y(0) = 0 2. Copie o código que implementa o método de Runge-Kutta de quarta ordem, em sandra/mcomp/programas/rungekutta4.c 3. Modifique o seu programa para utilizar este método. O protótipo é: void RungeKutta4(double *S, double t, double dt, int N, void (*dydx)(double t, const double *S, double f[])); Repare que ela já atualiza os valores dos S s, portanto as linhas derivadas(s,f); for (i=0; i<2; i++) {S[i] = S[i]+f[i]*dt;} devem ser substituídas por RungeKutta4( S, t, dt, 2, derivadas); 13

14 4. Escreva um programa que imprima a solução analítica x(t) = A cos(ωt + φ). Os valores de A e φ são obtidos fazendo-se t = Compare os resultados das três curvas através do gráfico x(t) 14