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Bernardo Carvalho
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1 ± π 2 y(0, t) 0 = 4,0 cm cos(φ) 4,0 cm = 4,0 cm cos( π 2 +φ) + π 2 y x, t = A cos(kx ωt + φ) y 0, t = A cos( ωt + φ) 2π (20 cm) 4,0 cm 2π (10 s)

2 y x, t = (4,0 cm) cos 2π 2π x (20 cm) (10 s) t + π 2 v = (2π/10s) (2π/20cm) = 2,0 cm/s y 0, t = (4,0 cm) cos 2π (10 s) t + π 2 u 0, t = 2π (10 s) (4,0 cm) sin 2π (10 s) t + π 2 u 0; 0s = +2,5 cm/s u 0; 5s = 2,5 cm/s

3 Ondas em meios limitados

4 Ondas se propagam

5 Ondas sofrem reflexão

6 Ondas propagantes unidirecionais, y x, t = f x ± vt, só podem existir em meios INFINITOS Em meios FINITOS há ondas indo e vindo, y x, t = f x + vt + g(x vt)

7 Ondas Estacionárias Resultado da adição de ondas HARMÔNICAS contra-propagantes (de mesmo λ e A)

9 Applet standingwavereflection (fixed end e free end. Observar onda incidente, refletida e resultante)

10 A matemática... y x, t = A cos kx ωt + A cos kx + ωt + φ cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a b)/2 y x, t = 2A cos kx + φ/2 cos ωt φ/2

11 Onda estacionária de amplitude A, número de onda k e frequência angular ω (= kv) cos sin y x, t = A sin kx cos ωt + φ k = 2π λ ω = 2π T

12 harmônica Onda propagante durante T λ/4 t 0 t 0 + T 4 t 0 + T 2 v = λ T t 0 + 3T 4 t 0 + T

13 Onda estacionária durante T t 0 ANTI NODOS NODOS t 0 + T 4 t 0 + T 2 t 0 + 3T 4 t 0 + T

14 Applet waves_types_app (ondas longitudinais apenas) Contrastar a evolução temporal da onda propagante e da onda estacionária Destacar Nodos e Anto-nodos da onda estacionária

15 É possível encontrar onda estacionária com qualquer λ no violão? NÃO

16 Ondas estacionárias em meios FINITOS L NODOS Esse λ só pode existir no violão acima caso L = {L 1, L 2, L 3, } L 1 L 2 L 3 λ

17 Ou, esse L só admite certos λ s ( certas f s) L = n λ 2 λ Fixo (NODO) λ = 2L n f = nv 2L n = {1, 2, 3, }

18 Modos de vibração de uma corda com os dois extremos fixos f = nv 2L n = 1 Fundamental (ou 1º harmônico) (2º harmônico) n = 2 n = 3 (3º harmônico) (4º harmônico) n = 4 n = 5 (5º harmônico) (6º harmônico) n = 6

19 Outros 2 tipos de CONDIÇÕES DE CONTORNO para uma corda de tamanho L Livre (ANTI-NODO) Misto L = n λ 2 L = n i λ 4 λ = 2L n λ = 4L n i nv f = 2L n = {1, 2, 3, } f = n iv 4L n i = {1, 3, 5, }

20 Ouça os modos normais...

21 Como faço para gerar um modo normal em uma corda?

22 Modos normais de vibração A corda do violão gosta de vibrar nas frequências: f 0, 2f 0, 3f 0, 4f 0, f 0 = v 2L Nesses MODOS NORMAIS DE VIBRAÇÃO, todos os elementos da corda oscilam com a mesma frequência

23 Ressonância (lembrando...) Se a frequência de uma perturbação harmônica coincide com uma das frequências normais, o modo normal correspondente entra em ressonância

24 Applets: resonance_5objetos e stat_wave_app

25 Modos normais de uma membrana circular f 0 1,59 f 0 2,14 f 0 2,30 f 0 2,92 f 0 3,50 f 0

28 Uma corda de violão está sempre em algum modo normal? Nem sempre, mas ela está sempre em uma SUPERPOSIÇÃO de modos normais

29 Isso é um dos modos normais?

30 Applet loadedstring (selecionar DISPLAY MODES) SEM damping: 1. Mostrar alguns modos normais isolados (use CLEAR para zerar modo anterior) 2. Mostrar uma combinação de modos normais COM damping modesto: 1. STOPPED 2. PLUCK com mouse esquerdo em 3L/4 3. UNSTOPPED

31 A energia de uma onda estacionária

32 na onda propagante (lembrando...) y v x

33 já na onda estacionária... n. U t 0 K, U t 0 + T 8 K t 0 + T 4 K, U t 0 + 3T 8 U a. n. t 0 + T 2

34 Energia elástica U se localiza nos NODOS Energia cinética K se localiza nos ANTI-NODOS Ambas oscilam com período T/2

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