Mecânica e Ondas fascículo 23

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1 Mecânica e Ondas fascículo 3 May 7, 008 Contents 3.1 Oscilações acopladas Conceito de onda Equação das cordas vibrantes Intensidade de uma onda Modos normais de vibração Mario J. Pinheiro Departamento de Física e Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear Instituto Superior Técnico mpinheiro@ist.utl.pt 413

2 O homem vulgar, por mais dura que lhe seja a vida, tem ao menos a felicidade de a não pensar. Viver a vida decorrentemente, exteriormente, como um gato ou um cão - assim fazem os homens gerais, e assim se deve viver a vida para que possa contar a satisfação do gato e do cão. Pensar é destruir. O próprio processo do pensamento o indica para o mesmo pensamento, porque pensar é decompor. Se os homens soubessem meditar no mistério da vida, se soubessem sentir as mil complexidades que espiam a alma em cada pormenor da acção, não agiriam nunca, não viveriam até. Matar-se-iam assustados, como os que se suicidam para não ser guilhotinados no dia seguinte. - Fernando Pessoa, in O Livro do Desassossego 3.1 Oscilações acopladas Consideremos um sistema de dois pêndulos acoplados com o mesmo comprimento l e massa m, ligados por uma mola de constante elástica k e sujeitos a oscilar no plano vertical definido pelas suas posições de equilíbrio (Fig. 1). O sistema tem dois graus de liberdade. Sejam x 1 e x os deslocamentos das duas partículas suspensas em relação à posição de equilíbrio e que por hipótese sejam suficientemente pequenos para que se possam confundir os arcos com as cordas, x 1 lθ 1 e x lθ. A mola deforma-se com o alongamento x x 1, supostamente positiva, tal como se apresenta na Fig. 1 e donde se pode concluir que terá que resultar a força k(x x 1 ) para a direita agindo sobre a partícula 1 e k(x x 1 ) (para a esquerda) agindo sobre a partícula. As duas massas encontram-ser igualmente sujeitas às forças gravíticas com as componentes tangenciais respectivas: mg sin θ 1 mgθ 1 = mg x 1 l = ω ox 1 mg sin θ mgθ = mg x l onde ω o = g l. Desprezando qualquer tipo de amortecimento, temos = ω ox (3.1) Pondo mẍ 1 = mω ox 1 + k(x x 1 ) mẍ = mω ox k(x x 1 ) K = k m (3.) (3.3) e dividindo as Eqs. 3. por m, obtemos ẍ 1 + ω ox 1 = K(x x 1 ) ẍ + ω ox = K(x x 1 ) (3.4) 414

3 Neste caso podemos desacoplar as duas equações. Somando membro a membro, obtemos primeiro (ẍ 1 + ẍ ) + ω o(x 1 + x ) = 0 (3.5) Subtraindo as mesmas Eqs. 3.4, obtemos (ẍ 1 ẍ ) + ω o(x 1 x ) = K(x 1 x ) (3.6) Se escolhermos um novo tipo de variáveis, tais como, q 1 = 1 (x 1 + x ) q = 1 (x 1 x ) (3.7) As Eqs. 3.4 ficam na forma q 1 + ω oq 1 = 0 q + ω q = 0 (3.8) onde e cujas soluções são ω = ω o + K (3.9) q 1 (t) = A 1 cos(ω o t + δ 1 ) q (t) = A cos(ω t + δ ) (3.10) É fácil confirmar que x 1 e x são dados em função deste q s: x 1 (t) = q 1 (t) + q (t) x (t) = q 1 (t) q (t). (3.11) As coordenadas q 1 e q, como verificámos, oscilam harmonicamente e chamamos coordenadas normais. Com elas o sistema fica desacoplado e podemos ver sem dificuldade que q 1 corresponde ao deslocamento do centro de massa, enquanto que q = x 1 x corresponde ao deslocamento relativo entre as duas partículas. Se escolhermos apropriadamente as condições iniciais, tais como: A = 0 Corresponde a q 1 (t) = A 1 cos(ω o t+δ 1 ) = x 1 (t) = x (t). O deslocamento dos dois pêndulos são iguais, é o chamado modo simétrico e como a mola não é deformada, tudo se passa como se ela não existisse e cada pêndulo oscila com a sua frequência livre ω o (Fig. 1-(b)). A 1 = 0 Corresponde a q (t) = x 1 (t) = A cos(ω t + δ ) = x (t). O deslocamento dos dois pêndulos são iguais e contrários sendo chamado de modo assimétrico. Como a força restauradora da mola aparece, a frequência de oscilação é mais elevada, ω > ω o (Fig. 1-(c)). 415

4 Figure 1: (a) Sistema de dois pêndulos acoplados; (b) modo simétrico; (c) modo antissimétrico. 416

5 As condições iniciais para o modo simétrico correspondem ao mesmo deslocamento inicial e à mesma celocidade inicial: x 10 = x 0 ẋ 10 = ẋ 0 (3.1) No modo antisimétrico temos deslocamentos e velocidades iniciais contrárias: x 10 = x 0 ẋ 10 = ẋ 0 (3.13) Em particular podemos analisar o que se passa se deslocarmos apenas um dos pêndulos da posição de equilíbrio, deixando o outro no repouso: x 10 = a; x 0 = 0; ẋ 10 = ẋ 0 = 0. (3.14) As condições iniciais para as coordenadas normais são: q 10 = q 0 = a ; q 10 = q 0 = 0 (3.15) Como se pode ver rapidamente, as soluções gerais dão δ 1 = δ = 0; A 1 = A = a. (3.16) ou seja, obtemos como solução duas superposições de mesma amplitude e frequência diferentes: x 1 (t) = a [cos(ω ot) + cos(ω t)] x (t) = a [cos(ω ot) cos(ω t)] (3.17) Se definirmos uma frequência angular média: e as diferenças de frequências podemos reescrever as Eqs na forma ω 1 (ω o + ω ) (3.18) ω ω o ω (3.19) x 1 (t) = a cos( ω t) cos(ωt) x (t) = a sin( ω t) sin(ωt) (3.0) No caso limite do acoplamento fraco, quando a força restauradora é pequena, verifica-se K ω o ; ω ω. (3.1) As soluções correspondem ao fenómeno de batimentos, onde x 1 é modulado por cos ω t e X é modulado por sin( ω t) (Fig. ). 417

6 Figure : Fenómeno de batimentos. Figure 3: Duas massas unidas por três molas elásticas a duas paredes fixas. Exemplo 1: Osciladores acoplados longitudinais: Duas massas iguais estão ligadas por meio de molas entre si e a duas extremidades fixas, segundo a mesma direcção (como mostra a Fig. 3). As molas que ligam as massas às extremidades têm constante de restituição k e a mola que liga as duas massas tem constante k. a) Escreva o lagrangeano do sistema: [Sugestão: escolha como coordenadas generalizadas os deslocamentos das massas em relação às suas posições de equilíbrio.] K = 1 m 1ẋ m ẋ U = 1 kx k (x 1 x ) + 1 kx L = K U = 1 m 1ẋ m ẋ 1 kx 1 1 k (x 1 x ) 1 kx (3.) b) Determine as equações do movimento. QuadroNegro 1 418

7 Exemplo : Um corpo de kg oscila preso a certa mola com a constante de força k = 400 N/m. A constante de amortecimento tem o valor b =.00 kg/s. O sistema é excitado por uma força sinusoidal cujo valor máximo é de 10 N e a frequência angular ω = 10 rad/s. (a) Qual a amplitude da oscilação? (b) Se a frequência de excitação variar, em que frequência ocorrerá a ressonância? (c) Qual a amplitude das oscilações Os dados numéricos são os seguintes: m = kg k = 400N/m b =.00kg/s F o = 10N ω = 10rad/s (3.3) A equação do movimento é a seguinte: A solução é do tipo: Fx = ma x = m d x dt = kx bv + F o cos ωt m d x dt + b dx dt + mω ox = F o cos ωt x = x trans + x perm x perm = A cos(ωt δ) F A = o m (ω o ω )+b ω tan δ = bω m(ω o ω ) (3.4) (3.5) QuadroNegro 419

8 3. Conceito de onda Uma onda é qualquer sinal que se tranmite de um ponto a outro de um meio com velocidade definida. As ondas podem ser transversais (ex: onda electromagnéticas) ou longitudinais (ex: ondas sonoras). Vamos abordar o caso mais simples da propagação de uma onda a 1 dimensão, por exemplo, ondas transversais numa corda com amplitude y(x, t). A forma geral de uma onda progressiva que se desloca nos dois sentidos do eixo Ox (onda a uma dimensão) com velocidade constante v é do tipo: y(x, t) = f(x vt) + g(x + vt), (3.6) onde f e g representam funções arbitrárias de x e t. Uma onda harmónica tem a forma f(x ) = A cos(kx + δ) (3.7) onde f(x ) representa uma perturbação num ponto x, que corresponde a um referencial que acompanha a onda. Se quisermos passar para um referencial que está fixo no espaço, teremos que aplicar as transformações de Galileu, para uma onda progressiva que se desloca para a direita será x = x vt, e a amplitude da onda neste referencial fixo passará a ser y(x, t) = A cos[k(x vt) + δ]. (3.8) Mas havendo a relação ω = kv = πν = π τ e substituindo na Eq. 3.8, temos (3.9) O argumento do coseno é a fase da onda: y(x, t) = A cos(kx ωt + δ). (3.30) ϕ(x, t) = kx ωt + δ (3.31) e δ a constante de fase. Se acompanharmos o deslocamento da onda com o tempo de modo a que a fase ϕ se mantenha constante, obtemos obtendo-se finalmente a velocidade de fase, v: dϕ dt = k dx ω = 0, (3.3) dt dx dt = ω k = v = νλ. (3.33) A frequência ν = 1/τ dá o número de oscilações por unidade de tempo, e σ = 1/λ dá o número de comprimentos de onda por unidade de comprimento, chamando-se número de onda. 40

9 A equação de ondas unidimensional é uma das equações mais fundamentais da física e tem a forma: 1 y v t y = 0. (3.34) x É uma equação a derivadas parciais linear de segunda ordem. 3.3 Equação das cordas vibrantes Seja µ a densidade linear de massa da corda. comprimento x tem a massa m = µ x. Um elemento infinitesimal de Vamos considerar um deslocamento transversal de pequena magnitude de um ponto x da corda da sua posição de equilíbrio e designar a sua nova posição por y(x, t). Nesta aproximação vamos considerar praticamente constante o comprimento da corda assim como as tensões exercidas sobre ela em dois pontos x e x + x. As forças exercidas serão assim devidas unicamente à variação da direcção da tensão, introduzindo uma força restauradora ao longo de Oy. Vê-se na Fig.?? que no ponto x + x a componente em y da tensão é T sin θ T tan θ = T x. (3.35) O ângulo θ é o ângulo entre a tangente à corda e o eixo Ox e usámos a aproximação sin θ tan θ válida para pequenos ângulos θ 1. Recordamos que tan θ = / x. A força vertical resultante que actua sobre o elemento x da corda é dada por T (x + x, t) T x x (x, t) = T x[ x (x + x, t) x (x, t) ]. (3.36) x Podemos agora usar uma expansão em série de Taylor: f(x) = f(x o )+(x x o )( f x ) o + 1! (x x o) ( f x ) o n! (x x o) n ( n f x ) o +... que, neste caso, se x 1, podemos escrever (tente fazer) (3.37) (x + x) ( x x )(x, t) + x( y x ) (3.38) Substituindo a Eq na Eq. 3.36, obtemos QuadroNegro 3 41

10 Chegamos finalmente à equação das cordas vibrantes unidimensional µ y t = T y x (3.39) onde a velocidade de propagação da onda transversal é T v = µ. (3.40) 3.4 Intensidade de uma onda Uma onda progressiva transporta energia, podendo em particular ser transmitida a uma partícula colocada na extremidade da corda. A força transversal actuando sobre um elemento da corda no ponto x é dada por F y = T (x, t). (3.41) x O trabalho realizado sobre o elemento da corda por unidade de tempo é dado pelo produto da força pela velocidade: P (x, t) = F y t Para uma onda harmónica temos = T x t. (3.4) A potência é dada por x = ka sin ϕ t = ωa sin ϕ (3.43) P (x, t) = ωkt A sin (kx ωt + δ). (3.44) À média sobre um período chamamos intensidade I da onda. Ela é facilmente obtida fazendo a média temporal do temos sinusoidal ao quadrado, que já vimos em fascículo anterior que vale 1/: I =< P >= P = 1 ωkt A. (3.45) Como já vimos, T = µv e ω = kv, e a intensidade da onda também se pode escrever I = P = 1 µνω A. (3.46) A intensidade da onda é proporcional ao quadrado da amplitude, à velocidade da onda e ao quadrado da frequência. 4

11 3.5 Modos normais de vibração Consideremos agora uma corda vibrante de comprimento finito l com as extremidades presas. Vamos procurar os modos normais de vibração da corda, isto é, o modo de oscilação em que todos os elementos da corda oscilam com a mesma frequência ω e a mesma constante de fase δ, embora cada ponto x possa naturalmente deslocar-se com amplitude A(x) diferente de ponto para ponto. Isto é, consideremos uma onda estacionária: Verifica-se rapidamente que ou seja y(x, t) = A(x) cos(ωt + δ) (3.47) 1 y v t y t cuja solução geral é da forma = ω v A(x) cos(ωt + δ) = d A dx cos(ωt + δ) (3.48) d A dx + k A(x) = 0 (3.49) A(x) = a cos(kx) + b sin(kx) (3.50) A condição de que as duas extremidades permaneçam fixas é dada pela condição de contorno: y(0, t) = y(l, t) = 0, t. (3.51) Esta relação implica que temos que ter também A(0) = a = 0 A(l) = b sin(kl) = 0 (3.5) Atendendo a que b 0 forçosamente (de outro modo seria tudo nulo), concluímos que esta condição só pode ser satisfeita para valores discretos da variaável k: k n = nπ (3.53) l onde n = 1,, 3,... As frequências dos modos normais de vibração são ω n = k n v = nπ l v (3.54) e a expressão dos modos normais de vibração é dada por y n (x, t) = b n sin(k n x) cos(ω n t + δ n ). (3.55) O comprimento de onda associado λ n associado ao modo n é λ n = π k n = l n. (3.56) 43

12 Figure 4: (a) Modos de vibração de uma corda vibrante. (b) Escala harmónica em notação musical. A frequência ν n do modo n é T µ ν n = ω n π = n v l = nν 1 (3.57) onde ν 1 = v l = 1 l é a frequência do modo fundamental. As frequências da corda vibrante são múltiplos inteiros da frequência ν 1 do modo fundamental. Exemplo 3: Duas ondas transversais de mesma frequência ν = 100 s 1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade ρ = 8 g/cm 3, submetido a uma tensão T = 500 N. As ondas são dadas por y 1 = A cos(kx ωt + π 6 ) y = A sin(ωt kx). onde A = mm. (a) Escreva a expressão da onda harmónica progressiva resultante da superposição das duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resultante. (c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? 44

13 Os dados que temos permitem obter: ν = 100s 1 s = 100Hz. ω = πν = 68rad/s. µ = ρa = ρπ( D ) µ = π10 3 kg/m T v = µ = 500 π10 = 8.1m/s 3 k = ω v = =.3m 1. É conveniente usarmos números complexos z = Ae i(ωt+δ). número complexo é dada por A parte real do y(t) = Rz(t) = R[Ae i(ωt kx+δ) ] = A cos(ωt kx + δ) (3.58) A superposição dos dois movimentos consiste no seu somatório. Iremos somar as quantidades complexas respectivas: y = y 1 + y z = z 1 + z = Ae i(kx ωt+ π 6 ) + Ae i(ωt kx) (3.59) Podemos verificar em tabelas trigonométricas os eguintes resultados: sin θ = cos(θ + π ) cos π 6 = 3 sin π 6 = 1 e iφ = cos φ + i sin φ (3.60) Um número complexo pode-se colocar na forma z = x + iy = r(cos φ + i sin φ) = re iφ forma trigonometrica do numero complexo r = z = x + y φ = Argz = arctan( y x ) (3.61) Com estes dados podemos reescrever as duas Eqs na forma mais conveniente y = A cos(kx ωt + π 6 ) + A sin[ (kx ωt)] y = A cos(kx ωt + π 6 ) + A cos(kx ωt + π ) z = Ae i(kx ωt+ π 6 ) + Ae i(kx ωt+ π ) z = Ae i(kx ωt) [e i π 6 + e i( π ) ] (3.6) z = Ae i(kx ωt) [ 3 + i 1 + i] z = Ae iφ [ i] onde φ = kx ωt. Podemos escrever a última expressão dentro do parentesis recto na forma 3 z c = [ + 5 i] = reiδ (3.63) O seu módulo é z c = r = A 7 (3.64) 45

14 enquanto que o argumento de z c calcula-se através da fórmula δ = Argz c = arctan y x = arctan 5 3 = arctan 5 3 = 1.37rad = o. Finalmente, podemos escrever a resultante das duas vibrações: (3.65) y = Rz = Are i(φ+δ) y = cos(kx ωt ). (3.66) b) A intensidade resultante é dada por I = (y 1 + y ) I = 1 µνω A I = (π100) ( ) 3 I = 9.79W (3.67) c) Intensidade resultante é calculada usando o seguinte resultado (aqui dado sem demonstração). Se duas vibrações têm a mesma frequência angular, tal que x 1 (t) = A 1 cos(ωt + φ 1 ) x (t) = A cos(ωt + φ ) (3.68) então a magnitude A da resultante é dada pela expressão: A = A 1 + A + A 1 A cos(φ φ 1 ) (3.69) Verificamos de imediato que os máximos da intensidade (que é proporcional ao quadrado da amplitude) correspondem a δ 1 φ φ 1 = nπ(n = 0, ±1, ±,...) I max (A 1 + A ) (3.70) enquanto que os seus mínimos correspondem a O seu rácio é: δ 1 = (n + 1)π I min (A 1 A ) (3.71) R = I max = (A 1 + A ) (A + A) = I min (A 1 A ) A A = (3A) A = 9. (3.7) 46