b) (0,5) Supondo agora que µ é uma função linear de x e que µ = µ 0 para x = 0 e µ = µ L para x = L. Obter µ(x) para o intervalo 0 x L.

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Luiz Henrique Soares
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1 Problemas 1) (2,5) Um bloco de massa m = 0, 05 kg, apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito, está ligado à extremidade de uma mola de constante elástica k = 20 N/m. Este conjunto está imerso em um recipiente com líquido, cujo coeciente de atrito viscoso é σ = 1 kg/s. Nessas condições o oscilador é mantido em regime estacionário devido a uma força externa F = F 0 cos(ωt), com F 0 = 40 N. a) (0,5) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento. Qual é a frequência natural de oscilação ω 0? b) (1,0) No regime estacionário, escreva a solução desta equação, e determine o valor de Ω para que a potência absorvida seja máxima. Deixe suas contas indicadas, explicitando cada valor numérico presente nas expressões. c) (1,0) Se a força externa for desligada (F 0 = 0) o movimento subsequente será oscilatório? Justique sua resposta 3) Duas ondas transversais de mesma freqüência angular ω = 10rad/s produzidas em um o cuja densidade linear de massa é 10g/m e está sujeito a uma tensão de 100N. Sabendo-se que as equações das ondas produzidas no o têm a seguinte forma: y 1 = a cos(kx ωt) y 2 = bsen(kx ωt) onde: a = 3cm e b = 4cm Pede-se calcular: a) (1,0) A equação da onda resultante. b) (0,5) A intensidade resultante. c) (1,0) Mantendo xa a fase da segunda onda, determine uma nova fase para a primeira onda de modo que a amplitude da onda resultante aumente em 40%, em relação à intensidade do ítem b) (OBS: Devido a uma certa ambiguidade na formulação do item c, serão consideradas corretas respostas que considerem tanto que a amplitude tenha aumentado em 40%, quanto aquelas que considerem que a intensidade tenha aumentado em 40%.) 4) Um o de comprimento e densidade linear de massa µ está sendo tracionado por um bloco de massa M como representado na gura. Se uma onda estacionária de frequência f é formada no o onde nas duas extremidades x = 0 e x = temos dois nós. Pede-se calcular: a) (1,0) A massa necessária para que na corda se observe o terceiro harmônico. b) (0,5) Supondo agora que µ é uma função linear de x e que µ = µ 0 para x = 0 e µ = µ para x =. Obter µ(x) para o intervalo 0 x. 1

2 c) (1,0) Mostre que o intervalo de tempo requerido para um onda percorrer o percurso de 0 a é igual a: t = 2 ( µ + µ 0 + µ.µ 0 ) 3 T ( µ + µ 0 ) Do formulário: A 2 = a 2 + b 2 + 2abcos(ϕ 2 ϕ 1 ) tgϕ = [asen(ϕ 1) + bsen(ϕ 2 )] [acos(ϕ 1 ) + bcos(ϕ 2 )] I = 1/2µvω 2 A 2 ω n = k n v = n.πv/ a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 2

3 Questão 1 a) Usando a 2a ei de Newton: Soluções: mẍ = σẋ kx + F 0 cos(ωt). Assim, onde: ẍ + γẋ + ω 2 0x = F 0 m cos(ωt), γ = σ m = 20 s 1, ω 2 0 = k m = 400 s 2 e F 0 m = 800 m s 2 onde: e b) Solução no regime estacionário: x(t) = A(Ω) cos[ωt + φ(ω)], A = F 0 1 m (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + γ 2 Ω, 2 tgφ = γω ω 2 0 Ω2. A absorção da potência será máxima quando Ω m = ω 0 = 20 s 1. (Basta encontrar o máximo da função I = P (Ω) dada no formulário.) Note que essa frequência que maximiza a potência é parecida, mas não é igual, à frequência de ressonância da amplitude, que seria dada por Ω r = ω γ2 14 s 1. e Assim, temos que: c) Se F 0 = 0, então: 1 A = 800 ( ) = 2 m, 2 ( ) φ = arctg ẍ + 20ẋ + 400x = 0. Como w 2 0 = 400 > 1 4 γ2 = 100, temos que o caso é de oscilações amortecidas no regime sub-crítico, e portanto, passamos a ter oscilações. 3

4 Questão 3 3a) Equação de onda y 1 = a cos(kx ωt) y 2 = bsen(kx ωt) = bcos(π/2 kx + ωt) = bcos(kx ωt π/2) Seja y = y 1 + y 2 ; podemos escrever então que: y = Acos(kx ωt + ϕ) onde: A 2 = a 2 + b 2 + 2abcos(ϕ 2 ϕ 1 ); A 2 = [ cos( π/2)].10 4 A = m tgϕ = [asen(ϕ 1) + bsen(ϕ 2 )] [acos(ϕ 1 ) + bcos(ϕ 2 )] temos ainda que: v 2 = (ω/k) 2 = T/µ = 100/10 2 v = 100m/s, logo k = 0, 1m 1 Finalmente temos que 3b) Intensidade = [3.sen(0) + 4.sen( π/2)] [3.cos(0) + 4.cos( π/2)] = 4/3 y = cos(0, 1x 10.t + arctg( 4/3)) I = 1/2µvω 2 A 2 = 0, ( ) 2 I = W 3c) Diferença de fase Como A = , um aumento de 40% signica que A passa a ser logo cos(ϕ 2 ϕ 1 ) = (A 2 a 2 b 2 )/2ab cos( π/2 ϕ 1 ) = ( )/2.3.4 = 1 1 = cos( π/2).cos(ϕ 1 ) + sen( π/2).sen(ϕ 1 ) ϕ 1 = π/2 Obs - Devido à ambiguidade do texto, será considerado também como correto o cálculo da fase para um aumento de 40% na intensidade. 4

5 Questão 4 4a) massa f n = n.v/2 4.f 2 2 /n 2 = v 2 Mg µ = 4f logo M = 4 9g µf 2 2 4b) densidade linear µ como µ é uma função linear de x podemos escrever que: µ(x) = m.x + b e para x = 0; µ = µ 0 logo temos b = µ 0 m = µ µ 0 µ(x) = µ µ 0 x + µ 0 portanto temos 4c) intervalo de tempo v = dx dt dt = dx v t = dx 0 T/µ(x) t = 1 µ µ 0 x + µ 0 dx T 0 ( ) Seja µ µ 0 x + µ 0 = u x = u µ0 µ µ 0 dx = du/(µ µ 0 ) portanto quando x = 0 u = µ 0 e quando x = u = µ então µ 2 µ t = udu = T (µ µ 0 ) µ 0 3 T (µ µ 0 ) u3/2 [ ( ) 3 ( ) ] 3 2 µ µ0 t = 3 = 2 ( µ + µ 0 + ) µ.µ 0 T (µ µ 0 ) 3 T ( µ + ) µ 0 µ 0 5

6 Q2) A QUESTÃO 2 DA P2 FOI ANUADA, devido a problemas levantados durante e após a aplicação da prova, que poderiam acarretar prejuízo de um número relativamente pequeno, mas importante, de alunos. A solução encontrada foi a que consideramos menos danosa, e a que prejudica o menor número possível de estudantes. Assim sendo, deliberamos que: 1) Todos os alunos terão nota integral nessa questão (2,5). 2) Os alunos que se empenharam em resolver essa questão durante a prova terão 1,5 pontos extras. Portanto, o efeito prático dessa medida é que a P2 valerá 11,5. amentamos profundamente o ocorrido, que foi devido a uma combinação de muitos pequenos erros que se somaram e culminaram com o comprometimento da Q2. A Equipe de FEP 2196 (Física II) Prof. uís Raul Weber Abramo (Coordenador) Abaixo o enunciado e a resposta adequada da Q2. Um diapasão, que vibra com frequência f, é colocado na boca de um tubo de vidro (com ambas extremidades abertas) de altura = 2,40m, mergulhado verticalmente e inteiramente na água de sorte que a extremidade superior coincida com a superfície da água. O tubo é retirado verticalmente e lentamente do líquido, sendo que a primeira e a segunda ressonâncias ocorrem quando o topo do tubo fica a uma altura 1 = 0,20m e 2 = 0,60m, respectivamente, da superfície de água (que tem densidade muito maior que a do ar). (a) Quantos pontos de ressonância há, no total, no tubo (enquanto a extremidade inferior estiver em contato com a água)? (0,6 originalmente era 1,0) (b) Determine a frequência f do diapasão, considerando a velocidade do som nesse experimento como sendo v = 340m/s. (0,3 originalmente era 0.5) (c) Suponha que a experiência acima fora realizada a uma temperatura T1 = 300K. Caso a temperatura seja alterada para T2 = 363K, quantos pontos de ressonância passa a ter o tubo (novamente, enquanto a extremidade inferior estiver em contato com a água)? (0,6 originalmente era 1,0) Solução

7 (a) Sendo a frequência de vibração do diapasão a mesma da onda sonora, e segundo a situação descrita pelo problema, a primeira e a segunda ressonâncias ocorrem quando 1 = λ/4 e 2 = 3λ/4, respectivamente (λ é o comprimento da onda). ogo, tem-se λ = 2(2 1) = 2(0,60-0,20)=0,80 (m), donde se tem Ressonância 1: λ/4 = 1 = 0,20 (m) Ressonância 2: 3λ/4 = 2 = 0,60 (m) Ressonância 3: 5λ/4 = 1,00 (m) Ressonância 4: 7λ/4 = 1,40 (m) Ressonância 5: 9λ/4 = 1,80 (m) Ressonância 6: 11λ/4 = 2,20 (m) O valor seguinte na sequência acima, 2,60m, ultrapassa o comprimento do tubo, que tem, pois, 6 pontos de ressonância. (b) Como λ = 2(2 1), a velocidade v do som é expressa por v = 2(2 1)f, donde se tem f = v/[2(2 1)]=340/[2(0,60-0,20)]=425 (Hz). (c) A velocidade da onda v* (com comprimento de onda associado λ*) à temperatura T2 obedece v*/v = (T2/T1) 1/2 com v*/v = λ*/λ, sabendo que o comprimento de onda era λ = 0,80m à temperatura T1. ogo, na nova situação tem-se λ* = λ(t2/t1) 1/2 = 0,80(363/300) 1/2 = 0,80 (1,21) 1/2 = 0,88 (m). Pontos de ressonância: Ressonância 1: λ*/4 = 0,22 (m) Ressonância 2: 3λ*/4 = 0,66 (m) Ressonância 3: 5λ*/4 = 1,10 (m) Ressonância 4: 7λ*/4 = 1,54 (m) Ressonância 5: 9λ*/4 = 1,98 (m) O valor seguinte na sequência acima, 2,42m, ultrapassa o comprimento do tubo, que tem, pois, 5 pontos de ressonância.

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