Entender o Princípio da Superposição;

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Emanuel Ávila Castelhano
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1 Page 1 of 7 Princípio da Superposição Guia de Estudo: Após o estudo deste tópico você deve ser capaz de: Entender o Princípio da Superposição; Reconhecer os efeitos da Interferência das ondas; Distinguir os vários mecanismos que introduzem diferença de fase; Entender o significado da Análise de Fourier; GE4.1) Leia a seção sobre o Princípio da Superposição nas referências de sua escolha. GE4.2) Princípio da Superposição. Observe as seqüências abaixo, que apresentam a interferência de dois pulsos propagando numa mesma corda. Faça um esboço da interferência em pelo menos três intervalos de tempo subsequentes para ambos os casos. FIG. 4.2a) FIG. 4.2b) GE4.3) Interferência de Ondas Progressivas e Diferença de Fase. Duas ondas de mesma amplitude y m, mesma freqüência e mesma direção e sentido de propagação são mostradas nas figuras 4.3.

Page 2 of 7 FIG. 4.3a) FIG. 4.3b) FIG. 4.3c) FIG. 4.3d) FIG. 4.3e) FIG.

Faça um esboço da onda resultante y r (x,t) em cada caso. GE4.3.

3) Quando a diferença de fase φ = 180 há energia propagando

4) Sendo as constante de fase φ 1 e φ 2, respectivamente,

direita para a esquerda, aproximando-se de uma fronteira onde

2 Page 2 of 7 FIG. 4.3a) FIG. 4.3b) FIG. 4.3c) FIG. 4.3d) FIG. 4.3e) FIG. 4.3f) GE4.3.1) Supondo que as duas ondas interfiram em um dado meio. Faça um esboço da onda resultante y r (x,t) em cada caso. GE4.3.2) Qual é a diferença de fase φ em cada caso? GE4.3.3) Quando a diferença de fase φ = 180 há energia propagando através da corda? Explique! GE4.3.4) Sendo as constante de fase φ 1 e φ 2, respectivamente, obtenha uma expressão para a função de onda resultante y r (x,t). GE4.4) Reflexão de Pulsos. Veja as figuras abaixo, que mostram um pulso se deslocando da direita para a esquerda, aproximando-se de uma fronteira onde são impostas condições de contorno. Na Fig. 4.4a a extremidade está fixa e na Fig. 4.4b a extremidade está livre. FIG. 4.4a) FIG. 4.4b)

3 Page 3 of 7 GE4.4.1) Faça um esboço do pulso refletido para ambos os casos. GE4.4.2) Em ambos os casos, o que aconteceu com a fase? Discuta seus resultados em termos da 3ª Lei de Newton. GE4.5) Diferença de Caminho. Dois alto-falantes idênticos A e B estão separados por uma distância D, como mostra a figura 4.5. Os alto-falantes são excitados por um mesmo amplificador e produzem ondas sonoras de mesma freqüência. FIG. 4.5) GE4.5.1) Se a separação D = 1.5 λ qual será o tipo de interferência em qualquer ponto ao longo da linha (2), que une os dois alto-falantes? Desconsidere as posições entre os altofalantes. GE4.5.2) Se a separação D = 1,5 λ qual será o tipo de interferência em qualquer ponto ao longo da linha mediana (1), perpendicular aos dois alto-falantes? GE4.5.3) Se a separação fosse mudada para D = λ como seriam alteradas suas respostas às duas questões anteriores? GE4.5.4) Se uma peça do amplificador se queimasse e os dois alto-falantes ficassem fora de fase por exatamente π radianos, como seriam afetadas as suas respostas aos itens anteriores? GE4.6) Interferência. GE4.6.1) Existe alguma razão, além do efeito decorativo, pelo qual os alto-falantes são colocados em caixas? GE4.6.2) Porque algumas caixas de som tem um furo na parte da frente?

4 Page 4 of 7 GE4.6.3) Se você estivesse em um cinema e presenciasse a discussão de um casal por causa do volume do som, na qual o homem alegasse que não conseguiu escutar quase nada, enquanto a mulher alegasse que o volume estava ótimo. Chamado a dar a sua opinião, como você ajudaria o casal a resolver a situação? O que você recomendaria ao dono do cinema para por fim ao problema? GE4.7) Análise de Fourier. Se y(x) e suas derivadas são contínuas, então y(x) pode ser expressa por y(x) = N n=1 A n sen(k n x + φ n ), onde k n = 2πnx/λ é a periodicidade espacial. Mostre que uma onda triangular pode ser razoavelmente representada pela soma de apenas três ondas senoidais, com coeficientes e freqüências apropriadas. Faça um esboço da onda resultante da soma de: y 1 = A sen(kx); y 2 = A/(2 2) sen(2kx); y 3 = (A/9) sen(3kx). GE4.8) Resolva estes Exercícios de Fixação. GE4.8.1) A figura ao lado mostra dois pulsos ondulatórios retangulares em uma corda esticada se aproximando em sentidos contrários. A velocidade de cada pulso é igual a 1,00 mm/s e a figura indica a largura e a altura de cada pulso. Se a distância entre a parte dianteira de um pulso e a frente do outro pulso for igual a 8,00 mm no instante t=0, desenhe a onda na corda para t=4,00s, t=6,00s e t=10,0s. GE4.8.2) Dois pulsos triangulares estão se aproximando em uma corda esticada, como indicado na figura ao lado. Os dois pulsos são idênticos e se deslocam com velocidade igual a 2,00 cm/s. A distância entre as extremidades dianteiras dos pulsos é igual a 1,00 cm para t=0s. Desenhe a forma da corda para t=0,250s, t=0,500s, t=0,750s, t=1,000s e t=1,250s. GE4.8.3) Dois alto-falantes, A e B (figura ao lado), são excitados por um mesmo amplificador e emitem ondas senoidais em fase, com uma freqüência igual a 206Hz.

5 Page 5 of 7 Usando a velocidade do som no ar é igual a 344 m/s e sabendo que as ondas sonoras se propagam diretamente dos alto-falantes até o ponto P, responda: (a) Quais são os valores de x para os quais ocorre interferência destrutiva no ponto P? (b) Quais são os valores de x para os quais ocorre interferência construtiva no ponto P? (c) Determine agora os valores de x para os quais ocorrem interferência construtiva e destrutiva no ponto Q. (d) Os efeitos da interferência como aqueles que você determinou nos itens (a) e (b) quase nunca são ouvidos no equipamento de som estereofônico da sua casa. Por quê? GE4.8.4) Duas ondas de mesma amplitude A, mesma freqüência e mesma direção e sentido de propagação se superpõem em um dado meio. Sendo 90 graus a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a amplitude da onda resultante? GE4.8.5) Três ondas senoidais se propagam no sentido positivo da direção x, ao longo da mesma corda. Todas as ondas têm a mesma freqüência. As suas amplitudes estão na razão 1:(1/2):(1/3) e seus ângulos de fase são 0, π/2 e π, respectivamente. Desenhe o gráfico da forma de onda e discuta o seu comportamento na medida em que t aumenta. GE4.8.6) Quatro ondas senoidais se propagam no sentido positivo da direção x, ao longo da mesma corda. Todas as ondas têm a mesma freqüência. As suas amplitudes estão na razão 1:(1/2):(1/3):(1/4), respectivamente. Quando t=0 em x=0, a primeira e a terceira ondas estão 180 graus fora de fase em relação à segunda e à quarta onda. Desenhe em um gráfico, a forma de onda da onda resultante quando t=0 e discuta o seu comportamento na medida em que t aumenta. GE4.8.7) Quando duas ondas interferem, uma altera a progressão da outra? De acordo com a sua resposta, como você explica a transmissão e recepção de ondas do tipo de rádio, TV e de telefonia celular. GE4.8.8) Quando duas ondas interferem, ocorre perda de energia? Explique sua resposta. GE4.8.9) Por que não se observam os efeitos da interferência entre as ondas luminosas emitidas por dois flashes ou entre as ondas sonoras emitidas por dois violinos? GE4.9) Faça os Problemas. GE 4.9.1) Três ondas: y 1 =3A sen (kx-ωt), y 2 = 2A cos (2kx -2ωt) y 3 =-A sen (3kx- 3ωt) se superpõem em uma corda, onde k= 1,00 m -1 e ω = 6,28 s -1. Trace o perfil da onda em t=0, t=1s e t=2s.

6 Page 6 of 7 GE 4.9.2) Uma fonte S e um detector D de ondas de alta freqüência estão no solo e separados de uma distância d. Duas ondas emitidas por S, uma direta e outra refletida em uma camada horizontal a uma altitude H (figura ao lado), encontram-se em fase em D. Os raios da onda incidente e da onda refletida fazem o mesmo ângulo com a camada refletora. Quando a camada se eleva de uma distância h. nenhum sinal é detectado em d. (a) Desprezando a absorção na atmosfera, que relação há entre d, h, H e o comprimento de onda das ondas? (b) Suponha que d=230 km e H=510 km. As ondas são de rádio com 13,0 MHz (v=3,0 x 10 8 m/s). No detector, a intensidade do sinal combinado varia de um máximo a zero e de volta ao máximo seis vezes em um minuto. Em que velocidade vertical a camada refletora está se movendo? (A camada se move lentamente, assim, a mudança na distância vertical durante um minuto é pequena em comparação com h e H.) GE4.9.3) Considerem duas fontes pontuais S 1 na figura ao lado, as quais emitem ondas de mesma freqüência f e amplitude A. As ondas começam na mesma fase, e esta relação entre as fases das fontes é mantida ao longo do tempo. Considere um ponto P no qual r 1 é muito próximo de r 2. (a) Mostre que a superposição dessas duas ondas gera uma onda cuja amplitude y m varia com a posição P aproximadamente de acordo com: y m = (2A/r) cos [(k/2) (r 1 - r 2 )], onde r = (r 1 +r 2 )/2. (b) Em seguida, mostre que uma anulação total ocorre quando r 1 - r 2 = (n+1/2)λ, com n sendo qualquer número inteiro, e que haverá um reforço integral quando r 1 - r 2 = nλ. Dados dois pontos fixos S 1 de um plano, tais que a distância entre estes pontos seja igual a 2r > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos S 1 é igual a um valor constante r 1 - r 2. Assim, cada valor de n corresponde a uma hipérbole de interferência construtiva e uma hipérbole de interferência destrutiva. Nos pontos em que r 1 e r 2 não são aproximadamente iguais (como próximo às fontes), as amplitudes das ondas de S 1 diferem e a anulação é apenas parcial. Atividades Recomendadas: GE4.10) Tente, então, fazer os Exercícios Extras.

7 Page 7 of 7 GE4.11) Existem alguns aplicativos que podem ajudá-lo na compreensão da matéria. Tente executá-los. Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG

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