Biologia Estrutural. Ondas e Lei de Bragg. Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr. wfdaj.sites.uol.com.br Dr. Walter F. de Azevedo Jr.

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1 Biologia Estrutural Ondas e Lei de Bragg Prof. Dr. Walter Filgueira de Azevedo Jr.

2 Resumo Fenômenos Ondulatórios Pulso de Ondas Ondas Onda Eletromagnética Radiação Eletromagnética Interferência Representação Matemática de Ondas Lei de Bragg Referências

3 Fenômenos Ondulatórios Fenômenos ondulatórios são comuns na natureza, desde de exemplos bucólicos, como uma onda formada num lago, devido a ação da queda de uma pedra, a fenômenos não tão óbvios, como a propagação de ondas eletromagnéticas. A representação gráfica, normalmente satisfatória para os propósitos da interação da radiação eletromagnética com cristais, faz uso de funções periódicas, como a função senoidal, representada ao lado.

4 Pulso de Ondas Podemos pensar em ondas como a propagação de energia, caso essa propagação ocorra em um meio material, como o ar, teremos ondas mecânicas, se as ondas propagam-se no vácuo teremos ondas eletromagnéticas. As ondas sonoras são ondas mecânicas e podem propagar-se em meios sólidos, líquidos e gasosos. Na figura abaixo temos a propagação de um pulso de uma onda em um meio material, uma corda. O pulso de uma onda é a propagação da pertubação através do meio. Fonte:

5 Ondas Caracterizamos as ondas mecânicas periódicas, ou ondas periódicas, pela oscilação dos átomos e moléculas que compõem o meio, onde a onda se propaga. A freqüência da onda (f) é a freqüência de oscilação do átomos e moléculas do meio. O período, T = 1 / f, é o tempo que leva para um átomo ou molécula particular passar por um ciclo completo do movimento de oscilação. O comprimento de onda (λ) é a distância, entre dois átomos, que oscilam em fase, ao longo da direção de propagação da onda mecânica. Na representação abaixo temos a variação da amplitude em função da posição x. A λ x

6 Ondas A amplitude de uma onda caracteriza a grandeza física que varia com o tempo de forma periódica, normalmente representada graficamente no eixo y do gráfico. A amplitude pode ser o campo elétrico, o deslocamento, a intensidade entre outras grandezas físicas. O período da onda abaixo é de 0,00227 s, o que representa uma onda de freqüência f = 1/T = 440,5 Hz, a amplitude da onda é 1. Na representação abaixo temos a variação da amplitude em função do tempo t. A Τ=0,00227s t(s)

7 Ondas Temos uma relação simples entra o comprimento de onda, velocidade de propagação da onda (v) e a freqüência da onda (f), que é dada por: v = f.λ Por exemplo: Consideremos uma onda do mar que aproxima-se da praia com velocidade de 1,8 m/s e um comprimento de onda de 2,4 m. Com qual freqüência a onda atinge a praia? Solução: f = v / λ = (1,8 m/s) / (2,4 m) = 0,75 s -1 ou 0,75 Hz. O Hertz é a unidade de medida de freqüência, e é representado por Hz.

8 Ondas Vamos considerar outro exemplo. A figura abaixo mostra uma onda. Qual é o seu comprimento de onda? Se a frequência for de 12 Hz, qual é a sua velocidade de propagação? 6m Solução: O comprimento de onda é de 3 m. Vemos claramente na figura que num total de 6 m a onda repete-se duas vezes. Com λ=3 m, temos que a velocidade de propagação (v) é dada como segue: v = fλ = 12 Hz. 3m = 36 m/s.

9 Onda Eletromagnética São constituídas de campos elétricos (E) e magnéticos (B) oscilantes, propagandose com velocidade constante. Exemplos: raios X, radiação gama, ondas de rádio, ondas luminosas, radiação ultravioleta, radiação infravermelha. Como não temos, necessariamente, a oscilação de átomos e moléculas na onda eletromagnética, a mesma pode propagar-se no vácuo, o que não acontece com ondas mecânicas. E x B

10 Onda Eletromagnética E λ x B Comprimento de onda λ f = c freqüência Velocidade da luz

11 Radiação Eletromagnética Para ondas eletromagnéticas deslocando-se no vácuo temos: 8 λf = c = 3.10 m/s

12 Radiação Eletromagnética Comprimento de onda (m) Outras unidades Radiação ,24 MeV ,1 Å ,0 Å Å = 1 nm Å Å µm µm µm mm 1 cm cm Å 4000 Å 300 MHz MHz MHz km Raios gama e raios X Ultravioleta Luz visível Infravermelha Ondas de rádio Fonte: Okuno, E., Caldas, I. L., Chow, C. Física para ciências biológicas e biomédicas. Editora Harbra, 1982, pg. 3.

13 Interferência Quando temos duas ou mais ondas, viajando no mesmo meio independentemente, podemos ter situações onde elas passam uma através da outra. Temos a soma das ondas, que pode resultar numa interferência construtiva, as amplitudes das ondas somam-se, como na figura abaixo. Tempo = 0 Tempo = 1 Tempo = 2

14 Interferência Interferência construtiva Interferência destrutiva Analisando-se a interferência construtiva de ondas senoidais, como representado nas figuras ao lado, temos que duas ondas em fase, ondas 1 e 2, onde seus máximos e mínimos coincidem e a onda apresenta o mesmo comprimento de onda, o resultado da soma das duas e uma onda com a amplitude resultante igual à soma das amplitudes das ondas 1 e 2. No caso de interferência destrutiva temos as ondas fora de fase, exatamente meio comprimento de onda, onde o máximo da onda 1 coincide com o mínimo da onda 2, o resultado da soma é uma onda de amplitude zero.

15 Representação Matemática de Ondas Podemos representar matematicamente ondas, e consequentemente, fenômenos ondulatórios, por meios de funções periódicas como seno e coseno, ou combinações dessas funções. A onda ao lado pode ser representada pela seguinte função: E 1 (t) = A. sen ( ω.t), onde A indica a amplitude da onda, ω é a freqüência angular ( ω = 2π.f ), onde f é a freqüência. E(t) A t

16 Representação Matemática de Ondas Vamos considerar a soma de duas ondas (E 1 e E 2 ), ambas com mesma freqüência, mas com amplitudes 2 u. a. e 3 u. a., respectivamente, como representado ao lado, u.a. é unidade de amplitude, para deixarmos de uma forma geral. E 1 (t) = 2.sen(ω.t) E 2 (t) = 3.sen(ω.t) E(t) = E 1 (t) + E 2 (t) = E(t) = 2.sen(ω.t ) + 3.sen(ω.t) = 5. sen(ω.t) 2 u. a. 3 u. a. 5 u. a. E 1 (t) = 2.sen(ω.t) E 2 (t) = 3.sen(ω.t) E(t) = 5. sen(ω.t)

17 Representação Matemática de Ondas Consideremos agora uma segunda onda (onda 2) com a mesma amplitude A, comprimento de onda λ e deslocada um ângulo de fase α, em relação a onda 1. Podemos representar matematicamente a onda 2 por meios da seguinte função: E 2 (t) = A. sen ( ω.t + α), onde A indica a amplitude da onda, ω é a freqüência angular ω = 2π.f, onde f é a freqüência, α indica a fase da onda. E(t) A t α

18 Representação Matemática de Ondas Uma onda com comprimento de onda constante (λ) é caracterizada por duas quantidades, a amplitude (A) e o ângulo de fase (α). Essas duas quantidades caracterizam um vetor de módulo (A), no plano complexo, que faz um ângulo (α) com o eixo dos reais. Quantidades complexas (Z) são representadas no plano complexo, onde o eixo x é chamado de eixo real, e o eixo y eixo complexo. Z = a + ib = A.cos(α) + A.sen(α) = = A. [cos(α) + sen(α) ] = A. e iα, onde i é o número complexo i = (-1) 1/2 Eixo Imaginário b Z = a + ib A α a Eixo Real Z = A.e i.α

19 Representação Matemática de Eixo imaginário Ondas E(t) E 2 α t E 1 Eixo Real α

20 Representação Matemática de Eixo imaginário Ondas E(t) E 1 (t) = A. sen(ω.t) E 2 (t) = E 1 e i.α E 2 α t E 1 Eixo Real α A somatória das duas ondas pode ser representada como segue: E(t) = E 1 (t) + E 2 (t) = E 1 [1 + e i.α ]

21 Lei de Bragg Considere um conjunto de planos paralelos de um retículo cristalino, como mostrado na figura ao lado, com distância interplanar (d). Incidindo sobre este conjunto de planos paralelos temos raios X de comprimento de onda λ. Podemos analisar a difração de raios X como se fosse resultado da reflexão dos raios X pelos planos. Para que ocorra difração num dado ângulo é necessário que as ondas difratada sofram interferência construtiva. d

22 Lei de Bragg 1 1 Analisemos a diferença de caminho ótico dos feixes 1 e 2, indicados na figura. O feixe 2 percorre a distância A + B a mais que o feixe 1. Assim, para que as ondas dos feixes 1 e 2 sofram interferência construtiva, a diferença de caminho ótico entre elas deve ser um número inteiro de comprimentos de onda. 2 A d B d 2 A + B = 2.A = 2 d.sen d d.sen

23 Lei de Bragg 1 1 A diferença de caminho ótico (2 d.sen ) tem que ser um número inteiro de comprimento de onda (n.λ), onde n é inteiro, assim temos: d.sen = n.λ (Lei de Bragg) A d B d d d.sen

24 Aplicação da Lei de Bragg Num experimento típico de difração de raios X, temos a fonte de radiação o cristal e detector, como mostrado no diagrama esquemático abaixo. Normalmente os ângulos de difração são expressos em relação ao feixe incidente, ou seja, 2. Detector 2 Fonte de raios X Cristal

25 Aplicação da Lei de Bragg Ao coletarmos dados de difração de raios X de um cristal, usando-se uma geometria como a mostrada no slide anterior teremos picos de difração para todos os ângulos 2 que satisfaçam à lei de Bragg. Se graficarmos a intensidade da radiação difratada contra o ângulo de espalhamento (2), teremos um gráfico com o seguinte aspecto.

26 Aplicação da Lei de Bragg Equipamentos que medem o padrão de difração de raios X são chamados de difratômetros. Há uma grande variedade de tipos e formas de difratômetro de raios X, dependendo do tipo de experimento que se deseja realizar. A figura abaixo mostra um difratômetro de pó, usado para amostras policristalinas.

27 Aplicação da Lei de Bragg No caso de colocarmos um filme fotográfico para registrar a imagem de difração de raios X, como mostrado no diagrama abaixo, teremos um padrão de difração de raios X bidimensional, quanto mais distante o ponto de difração de raios X do ponto central da figura (feixe direto) maior o ângulo de espalhamento (2). Feixe de raios X Cristal 2 Feixe direto Filme fotográfico ou placa de imagem

28 Aplicação da Lei de Bragg Consideremos um cristal cúbico primitivo com parâmetro de cela unitária a = 4 Å. Determine a posição angular, das 4 primeiras linhas de difração de raios X desse cristal, sabendo-se que o comprimento de onda da radiação incidente é 1,54 Å. a = 4 Å Pela lei de Bragg temos: 2 d.sen = n.λ, determinaremos para n=1,2,3 e 4. Isolando-se o ângulo na lei de Bragg temos: sen = n.λ/2.d = arcsen (n.λ/2.d ) Sabemos o comprimento de onda (λ) e a distância interplanar (a = 4 Å), variando-se o n de 1 a 4 teremos os ângulos de difração.

29 Aplicação da Lei de Bragg Para n = 1 temos: = arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (1.1,54/2.4) = arcsen (0,1925 ) = 11,10 Para n = 2 temos: = arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (2.1,54/2.4) = arcsen (0,385 ) = 22,64 Para n = 3 temos: = arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (3.1,54/2.4) = arcsen (0,5775 ) = 35,28 Para n = 4 temos: = arcsen (n.λ/2.d ) = arcsen (4.1,54/2.4) = arcsen (0,77 ) = 50,35 n ( ) 2. ( ) 1 11,10 22, ,64 45, ,28 70, ,35 100,70

30 Referências Drenth, J. (1994). Principles of Protein X-ray Crystallography. New York: Springer- Verlag. Rhodes, G. (2000). Crystallography Made Crystal Clear. 2 nd ed.san Diego: Academic Press. Stout, G. H. & Jensen, L. H. (1989). X-Ray Structure Determination. A Practical Guide. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons.