Complementos de Fluidos

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1 Complementos de Fluidos A consequência mais visível da viscosidade de um fluido é o seu perfil de velocidades no interior de um tubo: Ver nota 1 A equação de Bernoulli é, então, substituída pela expressão: v= P 1 P 2 a r 4η l Raio da conduta v=vmax em r=0 (centro) v=vmin em r=a (periferia)

2 Complementos de Fluidos Ou, reescrevendo a de uma outra forma, encontra se a Lei de Poiseuille: 4 πa Q= P 1 P 2 8η l Ver nota 2 A viscosidade determina ainda o tipo de escoamento que os fluidos apresentam. O número de Reynolds é um valor adimensional, obtido empiricamente, e através do qual se prevê se determinado fluxo será laminar ou turbulento: 2ρ a v ℜ= η ℜ < 2000 fluxos laminares 2000 < ℜ < 3000 fluxos instáveis ℜ > 3000 fluxos turbulentos

3 Complementos de Fluidos As expressões anteriores relacionam se com a circulação de fluidos, no entanto, um outro ponto de interesse se coloca: quando o fluido é viscoso, também um objecto que se coloque em movimento no interior do líquido sofre forças de atrito. Neste caso, estabelece se um outro número de Reynolds, que varia com a geometria do problema e que avalia o tipo de força de atrito a que um objecto no interior do fluido fica sujeito. Por exemplo, para um objecto esférico numa coluna suficientemente larga que se possa desprezar os efeitos das paredes do recipiente, calcula se o número de Reynolds através da expressão: ρ rv ℜ= η

4 Complementos de Fluidos caso ℜ seja menor do que 1, a força de atrito sofrida pelo objecto, cumpre a relação: F a =6 π ηrv Nestas condições, é fácil perceber que existe uma velocidade limite, a partir da qual o objecto não sofre aceleração (mantém a sua velocidade). Partindo, então, da equação do equilíbrio, encontra se a seguinte expressão para o valor da velocidade limite: 2 2r g v= ρ obj ρ fluido 9η Ver nota 3 No caso em que o Número de Reynolds seja maior do que 1, a força de atrito é proporcional ao quadrado da velocidade e independente da viscosidade do líquido: F a =C D r 2 ρ fluidov 2 2

5 Complementos de Fluidos ASPECTOS DA CIRCULAÇÃO SANGUÍNEA Para aplicar alguns dos conceitos referidos anteriormente à circulação sanguínea é necessário ter se presente a forma como esta se processa.

6 Complementos de Fluidos Além disso é necessário fazerem se algumas aproximações e medir algumas grandezas: assume se que o sangue é um fluido homogéneo; não se considera a elasticidade dos vasos sanguíneos; considera se a densidade do sangue ρ = x 103 Kg m 3 considera se a viscosidade do sangue η = 4 x 10 3 Pa s A primeira pergunta a responder será: O fluxo sanguíneo é habitualmente turbulento? (Considere se: Q = 8 x 10 5 m3 s 1 ; daorta = 2 cm). Ver nota 4 Sendo o número de Reynolds cerca de 1325, conclui se que em situações normais o fluxo sanguíneo será laminar.

7 Complementos de Fluidos Outra questão a responder será: Qual a diferença de pressão entre as extremidades da artéria aorta? (Admita que o comprimento da aorta é cerca de 40 cm) (Resposta: 32.6 Pa). Ver nota 5 Então: Qual será a velocidade máxima do sangue nesta artéria? (Resposta: 0.5 m s 1 ). Ver nota 6 Com base nos dados anteriores consegue perceber como surge a arteriosclerose. Ver nota 7 E qual será a consequência, em termos de caudal, de uma arteríola diminuir o seu raio de apenas 20 %?

8 Movimento Oscilatório Força proporcional ao deslocamento Conservação da energia mecânica Movimento periódico ou oscilatório Movimento harmónico simples MOVIMENTO HARMÓNICO SIMPLES (MHS) Um movimento diz se do tipo harmónico simples, quando é representado pela expressão: x = A cos(ωt + φ )

9 Movimento Oscilatório A amplitude máxima do movimento. φ fase inicial do movimento. ω frequência angular Ver nota 8

10 Movimento Oscilatório Ao conjunto (ωt+φ) dá se o nome de fase. Ver nota 9 Ao tempo que demora uma partícula a executar um ciclo completo dá se o nome de período T. Usando esta definição e o facto de um ciclo corresponder a 2π é possível deduzir a relação, substituindo na expressão x(t) o tempo por t+t: 2π ω= T A frequência é definida como o inverso do período: 1 f = T

11 Movimento Oscilatório Para determinar a velocidade e a aceleração de uma partícula em MHS: dx = ωasen (ωt + φ ) dt dv a= = ω 2 A cos(ωt + φ ) dt v= As relações de fase entre estas grandezas são dadas pelo gráfico: vmáx = ωa amáx = ω 2 A a = ω 2 x

12 Ondas Mecânicas ONDAS Formalismo válido para diversos fenómenos: o som e a luz, por exemplo, relacionados com dois importantes sentidos. Descrição válida para fenómenos periódicos. ALGUNS CONCEITOS RELACIONADOS COM AS ONDAS: Amplitude Uma onda não é mais do que a propagação de uma perturbação no meio, que permite a condução de energia sem que haja transferência de massa. À intensidade dessa perturbação, dá se o nome de amplitude.

13 Ondas Mecânicas Vamos acompanhar o Movimento desta crista y Fotografias em... t= t=t1 t=t2... t=t3 x A onda desloca se numa dada direcção. Por isso dizemos que uma onda é uma perturbação que se propaga.

14 Ondas Mecânicas y t=0 t=t1 t=t2 t=t3 x Uma onda que se propaga tem a equação geral x, t = A sin kx t Veremos o significado destas quantidades a seguir

15 Ondas Mecânicas Frequência A frequência de uma onda, ν, é definida como o número de ciclos que esta executa por unidade de tempo. É dada em hertz (H) ou s 1. Período O período é definido como o tempo que a onda demora a executar um ciclo e, portanto, é o inverso da frequência. 1 T= f Comprimento de onda t história de um ponto T O comprimento de onda, λ, é definido como o espaço percorrido por uma onda durante um período. x λ fotografia

16 Ondas Mecânicas Frequência angular Uma outra definição importante no formalismo das ondas é a frequência angular. Esta grandeza tem informação redundante relativamente à frequência da onda, mas as suas unidades são angulares: rad s 1. Número de onda 2 = f Existe a grandeza análoga à frequência angular relativamente ao comprimento de onda, à qual se dá o nome de número de onda e que tem como unidade rad s 1 : 2 k= λ

17 Ondas Mecânicas Fase Assumindo que um ciclo completo pode ser representado por um ângulo de 360º. A fase de uma onda é a situação em que esta se encontra, dada em radianos. Velocidade de propagação Tendo em conta a definição de comprimento de onda e de período, a velocidade de propagação é dada por: v= = T k Ver nota 10

18 Ondas Mecânicas Representação matemática de uma onda 2π ψ (t ) = A sen(kx ωt + φ ) = A sen x 2πft + φ = λ 2π 2π 2π ( x vt ) + φ = A sen x t + φ = A sen T λ λ As ondas podem ser longitudinais ou transversais. Na primeira a perturbação do meio tem a mesma direcção da propagação da onda, na segunda, é perpendicular a esta.

19 Ondas Mecânicas Transversais: Longitudinais:

20 Ondas Mecânicas As ondas apresentam um comportamento distinto quando atravessam a interface entre dois meios. Nessa situação, em geral, parte da onda é reflectida. Quando as irregularidades da superfície de separação entre os dois meios são pequenas relativamente ao comprimento de onda essa reflexão é especular, caso contrário é difusa (raio de luz sobre um espelho no 1º caso, ou sobre um papel no 2º). Sofrem ainda refracção: