Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 9 de abril de 2013

Transcrição

1 OSCILAÇÕES FORÇADAS Mecânica II (FIS-6) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 9 de abril de 013

2 Roteiro 1

3 Roteiro 1

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6 Equação de movimento: { Mẍ 1 = kx 1 qx 1 + qx Mẍ = kx + qx 1 qx sendo w 0 = k M e w 1 = q M : { ẍ 1 = (w 0 + w 1)x 1 + w 1x ẍ = w 1x (w 0 + w 1)x

7 Seja a matriz: X = [ x1 x Ẍ = AX, sendo A = ]. O sistema pode ser reescrito como: [ (w 0 + w1) w1 w1 (w0 + w1) Fazendo uma mudança de variáveis da forma X = MY MŸ = AMY Ÿ = (M 1 AM)Y De todas as matrizes M que podemos escolher, é conveniente tomar aquelas que tornam diagonal M 1 AM, ou seja, estamos encarando um problema de autovetores. Autovalor de A: w 0 e autovetor associado [ 1 1 Autovalor de A: w 0 w 1 e autovetor associado ] ] [ 1 1 ]

8 [ ] 1 1 Tomamos M = e definimos 1 1 [ ] [ ] u Y = = M 1 x1 v x [ ] [ ü w Assim: Ÿ = = 0 0 v 0 w0 w1 ou seja, { ü = w0u v = (w 0 + w 1)v ] [ u v que são duas equações de MHS desacopladas e admitem as soluções gerais: { u = A 1 sin(w 0 t + φ 1 ) v = A sin(w t + φ ) sendo w = ] w 0 + w 1

9 Voltando às coordenadas x 1 e x : { x 1 (t) = u(t) + v(t) x (t) = u(t) v(t) As 4 constantes arbitrárias (A 1, A, φ 1, φ ) devem ser determinadas pelas condições iniciais. As soluções não correspondem, em geral, a um MHS para x 1 e x. Entretanto, há duas coordenadas u e v, combinações lineares de x 1 e x, que oscilam harmonicamente. Essas coordenadas chamam-se coordenadas normais. Neste caso, u e v admitem uma interpretação física muito simples: u é o deslocamento do CM e v é o deslocamento relativo das massas. Nas coordenadas normais, o sistema se desacopla.

10 Para condições iniciais apropriadas: { { A = 0 x 1 (t) = x (t) = A 1 sin(w 0 t + φ 1 ) A 1 = 0 x 1 (t) = x (t) = A sin(w t + φ ) Nestes dois casos, as partículas oscilam harmonicamente com uma frequência bem definida em fase ou em oposição de fase. Estes são os modos normais de vibração. No 1o modo, x 1 (t) = x (t) (modo simétrico). A mola que liga as duas massas não é nem comprimida nem esticada: é como se ela não existisse. No o modo, x 1 = x (modo anti-simétrico). A frequencia de oscilação é maior que no caso anterior pois há uma forma restauradora que não havia antes: a da mola do meio. A solução geral é uma superposição dos modos normais de vibração.

11 É interessante analisar a situação em que as massas partem do repouso, mas somente uma delas é deslocada da posição de equilíbrio: x 1 (0) = a, x (0) = 0, x 1 (0) = x (0) = 0 reescrevendo x 1 (t) = a [cos w 0t + cos w t] x (t) = a [cos w 0t cos w t] ( wt x 1 (t) = a cos ( wt x (t) = a sin onde w = w w 0, w = w + w 0 ) cos( wt) ) sin( wt)

12 Se considerarmos o caso em que o acoplamento é pequeno (i.e. q k e logo w 1 w 0 ), temos: w = w 0 e w = w 1. w 0 Temos então ( uma ) situação típica de( batimentos, ) modulados wt wt por a cos para x 1 e por a sin para x, ou seja, a modulação das amplitudes está em quadratura: os máximos de uma correspondem aos zeros da outra.

13 Introdução Há diversas situações em que MHS s se superpõem gerando um movimento resultante. Exemplo: diapasões vibrantes produzem tons musicais puros (que correspondem a MHS s) que atingem simultaneamente o tímpano de nosso ouvido, fazendo-o vibrar com uma combinação de MHS s. Vamos analisar agora algumas formas possíveis de como a superposição pode ocorrer.

14 Mesma direção e frequência x(t) = A 1 cos(wt + ϕ 1 ) + A cos(wt + ϕ ) = Re [A ] 1 e (wt+ϕ1)i + A e (wt+ϕ )i = Re [ e iwt ( A 1 e iϕ 1 + A e iϕ )] = A cos(wt + β) sendo Ae iβ = A 1 e iϕ 1 + A e iϕ

15 Mesma direção e frequências diferentes x 1 (t) = A 1 cos(w 1 t + ϕ 1 ) e x (t) = A cos(w t + ϕ ) A diferença de fase θ = (w w )t + (ϕ ϕ 1 ) varia com o tempo de modo que podemos tomar por t = 0 o instante em que a diferença de fase é multipla de π, o que equivaleria a considerar: ϕ 1 = ϕ = 0 Para w 1 e w quaisquer, o movimento resultante x(t) = x 1 (t) + x (t) não será em geral sequer um movimento periódico (para ser periódico, w 1 e w precisam ser comensuráveis).

16 Mesma direção e frequências diferentes Caso importante: quando w 1 e w são muito próximas (ocorre batimento). Supondo A 1 = A = A. ( ) wt x(t) = A cos cos( wt) }{{} a(t) w w, podemos supor que x(t) é regido pelo cos wt com uma amplitude que varia no tempo como a(t)

17 Mesma frequências e direções perpendiculares Rearranjando: x(t) = A cos(wt + ϕ x ) y(t) = B cos(wt + ϕ y ) y B = cos (wt + ϕ x + ϕ y ϕ x ) = x A cos(ϕ y ϕ x ) sin(wt+ϕ x ) sin(ϕ y ϕ x [ y B x A cos( ϕ) ] = sin (wt+ϕ x ) sin (ϕ x ϕ y ) = x A + y B xy AB cos( ϕ) = sin ( ϕ) Esta curva geralmente representa uma elipse, exceto em alguns casos particulares. ] [1 x A sin ( ϕ)

18 Mesma frequências e direções perpendiculares A curva pode ser construída geometricamente pelo método dos círculos perpendiculares.

19 Frequências diferentes e direções perpendiculares Nesse caso, observam-se as curvas de Lissajous Se w 1 e w são comensuráveis, a curva é fechada. Do contrário, a trajetória nunca se fecha.