EES-20: Sistemas de Controle II

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1 EES-: Sistemas de Controle II 14 Agosto 17 1 / 49

2 Recapitulando: Estabilidade interna assintótica Modelo no espaço de estados: Equação de estado: ẋ = Ax + Bu Equação de saída: y = Cx + Du Diz-se que o sistema tem estabilidade interna assintótica se para qualquer x() R n. e At x() t Condição necessária e suficiente: Todos os autovalores de A devem ter parte real negativa (isto é, A deve ser Hurwitz) / 49

3 Recapitulando: Estabilidade interna assintótica Como determinar se a matriz A é Hurwitz? Três possibilidades: Calcular os autovalores. Obter o polinômio característico det(λi A) e aplicar o teste de Routh-Hurwitz. Empregar a abordagem de Lyapunov, considerando a equação de estado ẋ = Ax sem a parcela Bu (por quê?). 3 / 49

4 Abordagem de Lyapunov Originalmente desenvolvida para analisar a estabilidade de pontos de equiĺıbrio de sistemas não lineares. Compreende o Primeiro Método (baseado na linearização do sistema não linear) e o Segundo Método ou Método Direto (baseado no uso de Funções de Lyapunov). O Método Direto será aqui apresentado para o caso particular da equação de estado ẋ = Ax. 4 / 49

5 Funções de Lyapunov Quadráticas Restringiremos o estudo a Funções de Lyapunov V : R n R da forma com P = P T R n n. V (x) = x T Px Por exemplo: Energia (mecânica + elétrica) do motor elétrico V (x 1, x ) = Jx 1 + Lx = [ [ ] ] J/ x 1 x L/ }{{} P [ x1 x ] 5 / 49

6 Funções de Lyapunov Quadráticas V (x) = x T Px Não há perda de generalidade em se considerar matrizes P simétricas. [ ] p11 p Exemplo (n = ): Seja P = 1, com p p 1 p 1 p 1. x T Px = [ ] [ ] [ ] p x 1 x 11 p 1 x1 = p p 1 p x 11 x1 + p 1 x 1 x + p 1 x 1 x + p x = p 11 x 1 + (p 1 + p 1 )x 1 x + p x = p 11 x1 + (p 1 + p 1 ) x 1 x + (p 1 + p 1 ) x 1 x + p x = [ (p 1 + p 1 ) ] p [ ] 11 x 1 x x1 (p 1 + p 1 ) x p 6 / 49

7 Funções de Lyapunov Quadráticas [ ] p11 p P = 1, com p p 1 p 1 p 1. x T Px = [ x 1 ] [ ] [ ] p x 11 p 1 x1 p 1 p x = [ x 1 (p 1 + p 1 ) ] p 11 x (p 1 + p 1 ) p } {{} P s [ x1 x ] = x T P s x A expressão x T Px, com P assimétrica, pode ser reescrita como x T P s x, com P s simétrica. 7 / 49

8 Funções de Lyapunov Quadráticas De forma geral: ( ) x T Px = x T P + P T + P PT x }{{ }}{{ } P s P a x T P a x = x T ( P P T = xt Px ( ) x = xt Px xt P T x }{{} ) T x T P T x = xt Px escalar xt Px = Logo, x T Px = x T P s x, sendo P s = P + PT. Evidentemente, se P já for simétrica, tem-se P = P s. 8 / 49

9 Funções de Lyapunov Quadráticas ẋ = Ax V (x) = x T Px Nesse caso, pode-se calcular V (x) da seguinte forma: V (x) = ẋ T Px + x T Pẋ = (Ax) T Px + x T PAx = x T (A T P + PA)x 9 / 49

10 Método direto de Lyapunov (particularizado para sistemas lineares) Seja um sistema com dinâmica descrita pela equação de estado ẋ = Ax, com A R n n constante. Considere-se ainda uma função V : R n R da forma V (x) = x T Px com P = P T R n n. Nesse caso, tem-se V (x) = x T (A T P + PA)x. Se V (x) for positivo-definida e V (x) for negativo-definida, conclui-se que o sistema tem estabilidade assintótica e, portanto, A é Hurwitz. Diz-se, então, que V (x) é uma função de Lyapunov para o sistema considerado. 1 / 49

11 Perguntas: Como verificar se V (x) e V (x) satisfazem essas condições? Como escolher a matrix P? 11 / 49

12 Funções quadráticas positivo-definidas Diz-se que V (x) é positivo-definida se V (x) =, para x = V (x) >, x No caso de funções da forma V (x) = x T Px, com P = P T, essa propriedade está relacionada com os autovalores de P. 1 / 49

13 Funções quadráticas positivo-definidas Sejam λ 1, λ,..., λ n os autovalores de uma matriz P R n n simétrica. Tem-se que x T Px >, x se e somente se λ i >, i = 1,,..., n. 13 / 49

14 Demonstração: Sabendo que P R n n é simétrica, pode-se mostrar que os autovalores λ 1, λ,..., λ n são reais e que os respectivos autovetores v 1, v,..., v n são mutuamente ortogonais (vide material complementar). No que segue, considera-se que os autovetores v 1, v,..., v n tenham norma unitária. Tendo em vista que Pv i = λ i v i, i = 1,,..., n, pode-se escrever λ 1 λ P [v 1 v v n ] = [v 1 v v n ] }{{}..... V } {{ λ n } Λ ou seja PV = V Λ. Como v 1,v,...,v n possuem norma unitária e são mutuamente ortogonais, tem-se que Portanto, pode-se escrever V T V = VV T = I PVV T = V ΛV T P = V ΛV T 14 / 49

15 P = V ΛV T, V = [v 1 v v n ], Λ = Portanto, dado x R n tem-se que λ 1 λ..... λ n x T Px = x T V ΛV T x = z T Λz sendo z = V T x. Adicionalmente, z T Λz = [z 1 z z n ] λ 1 λ..... z 1 z. λ n z n = λ 1 z 1 + λ z + + λ n z n 15 / 49

16 Demonstração da suficiência: Hipótese: λ i >, i = 1,,..., n. Tese: x T Px >, x. Seja x. Como z = V T x, tem-se que z = z T z = x T VV T x = x T x Sabe-se ainda que x T Px = z T Λz = λ 1 z 1 + λ z + + λ n z n Como z, tem-se que z i para algum i. Como λ i >, por hipótese, segue que x T Px λ i z i > Portanto, x T Px >. 16 / 49

17 Demonstração da necessidade: Hipótese: x T Px >, x. Tese: λ i >, i = 1,,..., n. Por absurdo, suponha que λ i para algum i. Seja ainda. z = 1 i-ésimo elemento. e tome-se x = Vz. Tem-se então que x = x T x = z T z = 1. Por outro lado, x T Px = λ 1 z 1 + λ z + + λ nz n = λ i. Desse modo, seria possível ter x T Px com x, o que contradiz a hipótese inicial. Portanto, assumir λ i para algum i conduz a uma contradição. 17 / 49

18 Matrizes positivo-definidas Se x T Px >, x, a matriz P é dita ser positivo-definida (PD). Uma matriz P = P T R n n é positivo-definida se e somente se todos os seus autovalores forem positivos. Notações adotadas na literatura: P >, P 18 / 49

19 Matrizes positivo-definidas: Observações Uma matriz PD pode ter elementos negativos. Por exemplo, a matriz P = [ ] tem autovalores λ 1 = 1,4 e λ = 3,6. Uma matriz com todos os elementos positivos não é necessariamente PD. Por exemplo, a matriz P = [ tem autovalores λ 1 = 1,5 e λ = 6,5. ] 19 / 49

20 Matrizes positivo-definidas: Observações Em uma matriz PD, todos os elementos da diagonal são positivos. Com efeito, seja o seguinte vetor x :. x = 1 i-ésimo elemento. Pode-se ver que x T Px = p ii. Como P > e x, tem-se que x T Px >. Portanto, conclui-se que p ii >. / 49

21 Definições adicionais Seja P = P T R n n. Diz-se que: P > (Positivo-Definida) se x T Px >, x. P (Positivo-Semidefinida) se x T Px, x. P < (Negativo-Definida) se x T Px <, x. P (Negativo-Semidefinida) se x T Px, x. P é Indefinida nos demais casos. Condições sobre os autovalores: P > λ i >, i = 1,,..., n P λ i, i = 1,,..., n P < λ i <, i = 1,,..., n P λ i, i = 1,,..., n P indefinida λ i > e λ j < para algum i e j. 1 / 49

22 Em resumo: Método direto de Lyapunov (particularizado para sistemas lineares) Seja um sistema com dinâmica descrita pela equação de estado ẋ = Ax, com A R n n constante. Considere-se ainda uma candidata a função de Lyapunov da forma V (x) = x T Px com P = P T >. Nesse caso, tem-se V (x) = x T (A T P + PA)x Se (A T P + PA) <, conclui-se que A é Hurwitz. / 49

23 Retornando ao exemplo do motor elétrico [ ẋ1 ẋ ] = b J K g L K m J R L [ x1 x ] V (x 1, x ) = [ ] x 1 x J L [ x1 x ] (Lembrando que K m = K g ) 3 / 49

24 Retornando ao exemplo do motor elétrico A T P + PA = = A = b J K m J b K m b J K g L K m J R L, P = J K g J J L R L + L K g b K R + m K g R L = Como A T P + PA <, conclui-se que A é Hurwitz. > L b J K g L b R K m J R L 4 / 49

25 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor v t k m b z t Variáveis de estado: x 1 = z, x = v [ ] 1 ẋ1 = ẋ k m b m [ x1 x ] Energia mecânica (potencial + cinética) do sistema: V (x 1, x ) = 1 kx mx = [ ] x 1 x k/ m/ [ x1 x ] 5 / 49

26 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor A T P + PA = = A = 1 k m k m 1 b m k k b b m + k, P = m k k k + k b = m > 1 m k m b m b A T P + PA (apenas negativo-semidefinida). Não se pode concluir, por esta análise, que A seja Hurwitz. 6 / 49

27 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor Seria possível demonstrar que A é Hurwitz empregando outra matriz P na candidata a função de Lyapunov? Ideia - Caminho inverso: Escolher uma matriz Q = Q T > e obter P = P T resolvendo a seguinte Equação de Lyapunov: A T P + PA = Q Se a solução for uma matriz P >, conclui-se que A é Hurwitz. 7 / 49

28 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor Equação de Lyapunov: A T P + PA = Q 1 A = k m b m Vamos tomar (arbitrariamente) a seguinte matriz Q = Q T > : Q = 1 1 e resolver a Equação de Lyapunov considerando P = P T, isto é P = p 11 p 1 p 1 p 8 / 49

29 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor A T P + PA = Q k m p 11 p 1 1 b + p 11 p 1 1 p 1 p p 1 p k m m b m k m p 1 k m p p 11 b m p 1 p 1 b + k m p 1 p 11 b m p 1 m p k m p p 1 b m p k m p 1 p 11 k m p b m p 1 p 11 k m p b m p 1 p 1 b m p = = = / 49

30 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor k m p 1 = 1 (1) p 11 k m p b m p 1 = () p 1 b m p = 1 (3) De (1), tem-se p 1 = m. Substituindo esse resultado em (3), obtém-se k e, portanto, p = b m p = 1 + m k m(k + m). Por fim, empregando (), chega-se a bk p 11 = k m p + b m p 1 = (k + m) b + b k = k + mk + b bk 3 / 49

31 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor P = p k + mk + b m 11 p 1 = bk k p 1 p m m(k + m) k bk Os autovalores de P são reais, por se tratar de matriz simétrica. Como verificar se ambos são positivos? Analisemos o polinômio característico: det(λi A) = det λ k + mk + b bk m k λ m k m(k + m) bk ( k = λ + b + m ) + mk λ + (k + mk + b )(mk + m ) b m bk 4b k 31 / 49

32 Outro exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor det(λi A) = ( k = λ + b + m ) + mk λ + (k + mk + b )(mk + m ) b m bk }{{}} 4b{{ k } > > Conclui-se que os dois autovalores de P de fato são positivos, ou seja P >! Tendo-se encontrado P >, Q > tais que A T P + PA = Q, conclui-se que A é Hurwitz. 3 / 49

33 Equação de Lyapunov A T P + PA = Q No exemplo do sistema massa-mola-amortecedor, arbitrou-se uma matriz Q > e obteve-se uma matriz P > como solução da Equação de Lyapunov. E se fosse arbitrada uma outra matriz Q >? Há garantia de que a solução P seria positivo-definida? 33 / 49

34 Equação de Lyapunov: Teorema Se A R n n for Hurwitz, a Equação de Lyapunov A T P + PA = Q sempre admitirá uma solução P = P T >, qualquer que seja a matriz Q = Q T >. Nesse caso, pode-se ainda mostrar que essa será a única solução da Equação de Lyapunov. 34 / 49

35 Prova de existência de solução P = P T > (Conforme Geromel e Korogui (1), páginas 97 e 98) 35 / 49

36 Existência de solução P = P T > Considere uma matriz P dada por P = com A Hurwitz e Q = Q T >. A matriz P é simétrica, pois ( T P T = e AT t Qe dt) At = = notando que (e At ) T = e AT t. e AT t Qe At dt (e At ) T Q T (e AT t ) T dt = ( e AT t Qe At) T dt e AT t Qe At dt = P ) T ) (I + At + (At)! + = (I + A T t + (AT t)! + = 36 / 49

37 Existência de solução P = P T > P = e AT t Qe At dt A matriz P é positivo-definida. Com efeito, dado ξ R n não nulo, tem-se ξ T Pξ = ξ T e AT t Qe At ξdt = x T (t)qx(t)dt > pois Q > e x(t) é solução de ẋ = Ax com x() = ξ. 37 / 49

38 Existência de solução P = P T > P = e AT t Qe At dt A matriz P satisfaz a Equação de Lyapunov A T P + PA = Q. De fato: A T P + PA = = = (A T e AT t Qe At + e AT t Qe At A)dt = (A T e AT t Qe At + e AT t QAe At )dt d ( t dt (eat Qe At )dt = lim t t eat Qe At) Q = Q notando que lim t e At = sob a hipótese de que A é Hurwitz. 38 / 49

39 Prova de unicidade da solução P (Conforme F. Ramponi, Notes on Lyapunov s Theorem ) 39 / 49

40 Unicidade da solução P Sejam P 1 e P duas matrizes tais que A T P 1 + P 1 A = Q (4) A T P + P A = Q (5) Subtraindo (5) de (4), tem-se A T ( (P 1 P ) + (P 1 P )A =. Logo: ) = e AT t A T (P 1 P ) + (P 1 P )A e At = e AT t A T (P 1 P )e At + e AT t (P 1 P )Ae At = d (e AT t (P 1 P )e At) dt ) mostrando que (e AT t (P 1 P )e At é constante. Portanto, lim (e AT t (P 1 P )e At) ( = e AT t (P 1 P )e At) t t= }{{}}{{} = (supondo A Hurwitz) P 1 P ou seja, P 1 = P. 4 / 49

41 Resumo 1 Se existirem P = P T > e Q = Q T > tais que A T P + PA = Q, conclui-se que A é Hurwitz (Método Direto de Lyapunov) 1. Se A for Hurwitz, a Equação de Lyapunov A T P + PA = Q sempre admitirá uma solução P = P T >, qualquer que seja a matriz Q = Q T >. 3 (Contrapositiva de ): Se a Equação de Lyapunov, com alguma matriz Q = Q T >, não admitir solução P = P T >, conclui-se que A não é Hurwitz. 1 Tomando a candidata V (x) = x T Px e analisando V (x) = x T (A T P + PA)x 41 / 49

42 Resumo 1 Se existirem P = P T > e Q = Q T > tais que A T P + PA = Q, conclui-se que A é Hurwitz (Método Direto de Lyapunov). Se A for Hurwitz, a Equação de Lyapunov A T P + PA = Q sempre admitirá uma solução P = P T >, qualquer que seja a matriz Q = Q T >. 3 (Contrapositiva de ): Se a Equação de Lyapunov, com alguma matriz Q = Q T >, não admitir solução P = P T >, conclui-se que A não é Hurwitz. Tomando a candidata V (x) = x T Px e analisando V (x) = x T (A T P + PA)x 4 / 49

43 Exemplo: Sistema de Levitação Magnética u(t) = i(t) Eletroímã v(t) f(t) y(t) = h(t) Fonte de Corrente Variáveis de estado: x 1 = h, x = v ẋ 1 = x ẋ = g f m, f = K f (K f > constante) i h mg [ δẋ1 δẋ Modelo linearizado: ] 1 [ ] δx1 = g + δx x Kf g x 1 1 m δu 43 / 49

44 Exemplo: Sistema de Levitação Magnética A = [ ] 1, α = g > α x 1 Testemos a estabilidade empregando a Equação de Lyapunov com [ ] [ ] 1 p11 p Q =, P = 1 1 p 1 p [ ] [ A T α p11 p P + PA = 1 1 p 1 p [ ] [ ] α p1 α p = α p1 p + 11 p 11 p 1 α p p 1 [ ] α p = 1 p 11 + α p = p 11 + α p p 1 ] [ p11 p + 1 p 1 p [ 1 1 ] ] [ 1 α ] 44 / 49

45 Exemplo: Sistema de Levitação Magnética A = [ ] 1, α = g [ p11 p >, P = 1 α x 1 p 1 p ] α p 1 = 1 (6) p 11 + α p = (7) p 1 = 1 (8) Não há solução se α 1. Se α = 1, tem-se p 1 = 1/ e p 11 = p. Infinidade de soluções, mas nenhuma positivo-definida! 45 / 49

46 Próxima aula Linearização de modelos não lineares Relação entre modelo no espaço de estados e função de transferência ( Problema de realização ) Solução da equação de estado Análise de estabilidade Projeto de controladores empregando realimentação de estado: (1) Alocação de polos 46 / 49

47 Material complementar 47 / 49

48 Sabendo que P R n n é simétrica, pode-se mostrar que os autovalores λ 1, λ,..., λ n são reais e que os respectivos autovetores v 1, v,..., v n são mutuamente ortogonais. Com efeito, se λ é um autovalor de P associado a um autovetor v, tem-se Pv = λv Multiplicando os dois lados dessa identidade por v, em que denota o complexo-conjugado transposto, obtém-se v Pv = v λv = λv v Por outro lado, tem-se que v Pv R, pois (v Pv) = v P v = v Pv. Portanto, como v v R, deve-se ter λ R. 48 / 49

49 Uma prova simples da ortogonalidade entre v i e v j, i j, pode ser construída para o caso particular em que λ i λ j. Neste caso, pode-se escrever Pré-multiplicando (9) e (1) por v T j Pv i = λ i v i (9) Pv j = λ j v j (1) e vi T, respectivamente, tem-se vj T Pv i = λ i vj T v i (11) vi T Pv j = λ j vi T v j (1) Subtraindo (1) de (11) chega-se a (λ i λ j )vi T v j =. Como λ i λ j, por hipótese, conclui-se que vi T v j =. Para o caso de autovalores com multiplicidade maior do que um, ver GANTMACHER, F. R. The Theory of Matrices, ed. New York: Chelsea, 199 (p. 7-7). 49 / 49