Análise multivariada

Transcrição

1 UNIFAL-MG, campus Varginha 11 de Setembro de 2018

2 Dada uma matriz A (p p), podemos obter um escalar λ e um vetor v (p 1) de modo que seja satisfeita? Av = λv (1)

3 Dada uma matriz A (p p), podemos obter um escalar λ e um vetor v (p 1) de modo que seja satisfeita? Av = λv (1) Se for possível, λ é um autovalor (raiz característica) da matriz A e v é um autovetor (vetor característico) associado a λ

4 Reescrevendo a equação (1): (A λi)v = 0, (2)

5 Reescrevendo a equação (1): (A λi)v = 0, (2) o que representa um sistema de p equações homogêneas.

6 Reescrevendo a equação (1): (A λi)v = 0, (2) o que representa um sistema de p equações homogêneas. Como queremos uma solução não trivial ( 0), a matriz de coeficientes (A λi) deve ser singular: que é a equação característica de A. A λi = 0, (3)

7 Assim, haverá p raízes (λ 1, λ 2,, λ p ) e cada uma será um autovalor.

8 Assim, haverá p raízes (λ 1, λ 2,, λ p ) e cada uma será um autovalor. Posto(A λi) < p Substituir cada λ i em Av = λv produzirá um v correspondente (A λi)v = 0 dará um número infinito de soluções que correspondem a λ i - Normalizaremos e selecionaremos um elemento como o autovetor correspondente a λ i impondo uma restrição - Esse vetor será e i

9 Para uma matriz simétrica A (p p) existe uma matriz ortogonal P (p p) com colunas e i tal que P T AP = Λ, AP = PΛ, PP T = I = i e i e T i A = PΛP T = i λ i e i e T i,

10 Para uma matriz simétrica A (p p) existe uma matriz ortogonal P (p p) com colunas e i tal que P T AP = Λ, PP T = I = i e i e T i A = PΛP T = i AP = PΛ, λ i e i e T i, em que Λ é matriz diagonal com λ 1 λ 2... λ p : λ λ Λ = λ p

11 Exercício: Seja [ Σ = ]. Obter os autovalores e autovetores resolvendo a equação característica

12 Se posto(a) = r p, há r elementos não nulos na diagonal de Λ Uma matriz simétrica com todos λ i > 0: POSITIVA DEFINIDA (P.D.) Se alguns λ i > 0 e pelo menos um λ i = 0: POSITIVA SEMI DEFINIDA (P.S.D.) A classe de matrizes P.D. e P.S.D. é NÃO NEGATIVA DEFINIDA (N.N.D.) Se pelo menos um λ i = 0, A é singular Se há autovalores positivos e negativos, a matriz é chamada INDEFINIDA

13 Se posto(a) = r p, há r elementos não nulos na diagonal de Λ Uma matriz simétrica com todos λ i > 0: POSITIVA DEFINIDA (P.D.) Se alguns λ i > 0 e pelo menos um λ i = 0: POSITIVA SEMI DEFINIDA (P.S.D.) A classe de matrizes P.D. e P.S.D. é NÃO NEGATIVA DEFINIDA (N.N.D.) Se pelo menos um λ i = 0, A é singular Se há autovalores positivos e negativos, a matriz é chamada INDEFINIDA Exercício: Classifique a matriz A do exemplo

14 Resultados para A (p p) simétrica: 1 tr(a) = p λi p λi 2 A = 3 posto(a) = número de λ i s 0 4 autovalores de A 1 são 1 λ i se posto(a) = p 5 A é idempotente sse todos λ i = 0 ou 1 6 A é singular sse um λ i = 0 7 se A é ortogonal, λ i = ±1

15 Na análise multivariada, esse teorema é útil para relacionar a matriz de covariâncias com seus autovalores e autovetores Seja Σ (p p) uma matriz de covariâncias, então há uma matriz ortogonal P (p p) tal que λ 1 λ 2... λ p. P T ΣP = Λ e PΛP T = Σ,

16 Na análise multivariada, esse teorema é útil para relacionar a matriz de covariâncias com seus autovalores e autovetores Seja Σ (p p) uma matriz de covariâncias, então há uma matriz ortogonal P (p p) tal que λ 1 λ 2... λ p. Dizemos que Σ é similar a Λ: P T ΣP = Λ e PΛP T = Σ, Σ = Λ = p λi tr(σ) = tr(λ) = λ λ p

17 A i-ésima coluna da matriz P é o vetor normalizado e i. Então a matriz P é P = [e 1 e 2... e p ]

18 A i-ésima coluna da matriz P é o vetor normalizado e i. Então a matriz P é e, pelo teorema, P = [e 1 e 2... e p ] Σ = PΛP T = p λi e i e T i, sendo e i um vetor de comprimento 1, ou seja, e T i e i = 1 e T i e j = 0 i j (vetores ortogonais) Assim, e i forma um conjunto de vetores ortonormais

19 Exercício: Realize todas as verificações para a matriz do exercício Observações: Resolver a equação característica não é a melhor estratégia para obter Λ e P Há outros métodos mais eficientes: método da potência, da deflação, de Jacobi, Givens, LU e QR, entre outros