Álgebra Linear I - Aula Autovetores e autovalores de uma transformação

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1 Álgebra Linear I - Aula Autovalores e autovetores. 2. Cálculo dos autovetores e autovalores. Polinômio característico. Roteiro 1 Autovetores e autovalores de uma transformação linear Considere uma transformação linear T : R n R n. Definição 1 (Autovetores e autovalores). Dizemos que um vetor não nulo v é um autovetor de T se existe um número real λ tal que T(v) = λv. Em tal caso, dizemos que λ é o autovalor associado ao autovetor v. Observe que se v é um autovetor, então σv, σ, também é um autovetor com o mesmo autovalor associado: T(σ v) = σ T(v) = σ λv = λ (σ v). 2 Cálculo dos autovetores e autovalores. Polinômio característico Observe que se um vetor v é um autovetor de T então T(v) = λv, ou seja (T λi)(v) =. Isto implica que a transformação linear (T λi) não é inversível e, portanto, det(t λi) =. 1

2 Isto significa que o cálculo de autovetores e autovalores é um processo paralelo: primeiro determinaremos os autovalores (possíveis) e a seguir os autovetores (associados ao autovalor). Observe que os autovalores λ da transformação linear T devem verificar det(t λi) =. Portanto, a primeira etapa é encontrar todos os possíveis valores de λ que verificam essa condição. Para fixar idéias, suponhamos que T é uma transformação linear de R 3. Então, [T λi] é uma matriz 3 3. Observe que det(t λi) = λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3, onde a 3 = det(t). Portanto, como temos um polinômio de grau 3, existe uma raiz real do polinômio anterior, que corresponde a um autovalor. Definição 2. Dizemos que p(λ) = det(t λi) é o polinômio característico de T. Propriedade 2.1. Considere um vetor v tal que T(v) = σ v. Então σ é uma raiz do polinômio característico de T. Prova: Observe que como já vimos acima (T σi)(v) =, portanto a transformação linear (T σi) não é inversível, logo det(t σi) =. Ou seja, σ é uma raiz do polinômio característico p(λ). Propriedade 2.2. Cada raiz real do polinômio característico p(λ) = det(t λi) é um autovalor de T. Prova: Observe que como det(t λi) = o sistema (T λi)(x, y, z) = (,, ), admite solução não trivial. Seja v uma solução. Então, (T λi)(v) =, T(v) λv =, T(v) = λv. Logo v é um autovetor com autovalor associado λ. 2

3 Observação 1. Observe que o polinômio p(λ) tem, no máximo, três raízes diferentes, portanto, a transformação linear T tem no máximo três autovalores diferentes. Em resumo: As raízes (reais e complexas) de p(λ) = det(t λi) são os autovalores de T. A cada autovalor real associamos um autovetor. A multiplicidade do autovalor λ é a multiplicidade de λ como raiz do polinômio característico. O autovalor de um autovetor é sempre uma raiz do polinômio característico p(λ). 2.1 Propriedades do polinômio característico O coeficiente independente do polinômio característico p(λ) de T é igual a det(t). Sejam λ 1, λ 2 e λ 3 as raízes reais e/ou complexas do polinômio característico contadas com multiplicidade. Então p(λ) = λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3 = (λ λ 1 )(λ λ 2 )(λ λ 3 ). Ou seja a 3 = det(t) = (λ 1 λ 2 λ 3 ). Em outras palavras: Propriedade 2.3. O produto de todos os autovalores (reais e/ou complexos) de uma transformação linear T contados com multiplicidade é igual ao determinante de T. Observamos que uma matriz (quadrada) é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo. Esta afirmação implica o seguinte: Propriedade 2.4. Uma transformação linear T é inversível se, e somemte se, λ = não é autovalor de T. 3

4 Definição 3 (Traço). O traço de uma matriz quadrada A (denotado tr(a)) é a soma dos elementos da diagonal principal. Ou seja, se a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n A =......, tr(a) = a 11 + a a nn. a n,1 a n,2... a n,n Seja A é uma matriz n n, então, se n é ímpar, o traço é igual ao coeficiente do termo de grau (n 1) do seu polinômio característico, e se n é par é igual a dito coeficiente mudado de sinal. Esta afirmação é simples quando n = 2: a λ b c d λ = λ2 λ(a + d) + ad bc = λ 2 tr(a)λ + det(a). No caso de matrizes 3 3, a afirmação segue de forma similar (v. somente deve identificar o termo de grau dois). Exemplo 1. Considere a transformação linear T : R 2 R 2 cuja matriz associada é ( ) a b [T] =. c d Acabamos de ver que o polinômio característico de [T] é p [T] (λ) = λ 2 (tr([t])) λ + det([t]). Por outra parte, se σ e ρ são as raizes (reais ou complexas) do polinômio característico, então Portanto, p(λ) = (λ σ)(λ ρ) = λ 2 (σ + ρ)λ + σρ. tr([t]) = σ + ρ, isto é, o traço é igual à soma dos autovalores contados con multiplicidade. Afirmação anterior relacionando o traço e a soma dos autovalores é verdadeira em geral obtida da mesma forma. Propriedade 2.5. O traço de uma matriz é igual à soma dos autovalores contados con multiplicidade. 4

5 Por exemplo, considere uma matriz A, 3 3. Sejam λ 1, λ 2 e λ 3 os autovalores de A (reais ou complexos). Então, Desenvolvendo temos p A (λ) = (λ λ 1 ) (λ λ 2 ) (λ λ 3 ) = = (λ λ 1 ) (λ 2 (λ 2 + λ 3 )λ + λ 2 λ 3 ). p A (λ) = λ 3 + (λ 1 + λ 2 + λ 3 ) λ 2 (λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3 ) λ + det(a). Portanto, o coeficiente de λ 2, que é o traço de A, é λ 1 + λ 2 + λ 3. Portanto, o traço de uma matriz é igual a soma dos autovalores de A contados com multiplicidade. 2.2 Exemplos Exemplo 2. Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da transformação linear de matriz Resposta: O polinômio característico é 1 λ λ 1 = (1 λ) [(λ 3) λ + 6] 6 (1 λ) = 6 6 λ = λ λ 2 3 λ = λ (λ 2 4 λ + 3) = = λ (λ 3) (λ 1). Logo as raízes (que correspondem aos autovalors) são, 3 e 1. A seguir calcularemos os autovetores associados aos autovalores. Devemos resolver os seguintes sistemas, encontrando as soluções não triviais (diferentes 5

6 de (,, )) dos mesmos: 1 1 x y = 6 6 z x y z x y z As soluções são, respectivamente, =, autovetores associados a λ = =, autovet. associados a λ = 1, autovet. associados a λ = 3 (t, t, t), (t, t, ), ( t,, 2 t), t R, t. Exemplo 3 (Autovalores de matrizes triangulares). Determine os polinômios característicos e os autovalores de: A = 2 1, B = 1, C = 1 1, D = , E = Resposta: Os polinômios característicos p A, p B, etc são: p A (λ) = (λ 1)(λ 2)(λ 3), p B (λ) = p C (λ) = (λ 1) 2 (λ 3), p D (λ) = p E (λ) = (λ 1) 3. Observe que matrizes diferentes podem ter polinômios característicos iguais. Estudaremos a seguir os autovetores das matrizes A, B, C, D e E. Observamso primeiro que λ = 1 é um autovalor de multiplicidade 2 de B e C e de multiplicidade 3 de D e E. Matriz A: 6

7 autovetores associados a 1: (t,, ), t, autovetores associados a 2: (t, t, ), t, autovetores associados a 3: (t, t, t), t. Matriz B: Autovetores de λ = 1 de B: todos os vetores não nulos do plano z =. Autovetores de λ = 3 de B: todos os vetores não nulos da forma (,, t). Matriz C: Autovetores de λ = 1 de C: todos os vetores não nulos da forma (t,, ). Autovetores de λ = 3 de C: todos os vetores não nulos da forma (3t/2, t, 2t). Observe que para o autovalor 1 de B é possível obter um plano de autovetores (excluido o vetor nulo) e para C somente é possível obter uma reta (excluido o vetor nulo). Matriz D: Autovetores de λ = 1 de D: os vetores não nulos do plazo y + z =. Matriz E: Autovetores de λ = 1 de E: todos os vetores não nulos da forma (t,, ). Como no caso anterior, para o autovalor 1 de D é possível obter um plano de autovetores (excluido o vetor nulo) e para E somente é possível obter uma reta (excluido o vetor nulo). 7

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