MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais

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1 MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais Seção 2.1: Álgebra Linear e Matrizes Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica davists@ita.br São José dos Campos, Brasil Agosto de / 25

2 Matriz Real: Definição e Notação Definição: Uma matriz real de dimensões n m é o seguinte arranjo bidimensional: a 11 a a 1m a A 21 a a 2m... Rn m, (1) a n1 a n2... a nm em que os elementos a ij R, i {1, 2,..., n} e j {1, 2,..., m}. Notação: Matrizes: letras maiúsculas em negrito. Matriz transposta: A T. Escalares e sub-índices/super-índices: letras minúsculas itálicas. 2 / 25

3 Vetor Real: Definição e Notação Definição: Um vetor real de dimensão n é uma matriz real (coluna) de dimensões n 1: a 1 a a 2. Rn (2) a n em que a i R, i {1,..., n}, são os seus componentes. Notação: Vetores: letras minúsculas em negrito. 3 / 25

4 Matriz Diagonal Definição: A matriz quadrada A R n n é uma matriz diagonal se todos os elementos fora de sua diagonal principal forem nulos: a a A (3) a nn Observações: Notação frequente: A = diag(a 11,..., a nn ). Matriz bloco-diagonal: B = diag(a 1,..., A k ), em que A i, i = 1,..., k, são matrizes quadradas. Matriz identidade: Se a 11 = a 22 =... = a nn = 1, então A I n será chamada de matriz identidade (de dimensão n n). 4 / 25

5 Matrizes Simétrica e Anti-Simétrica Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada A R n n é dita simétrica se A = A T (4) Em outras palavras, os elementos de A são tais que a ij = a ji, i, j = 1,..., n. Matriz Anti-Simétrica: Uma matriz quadrada A R n n é dita anti-simétrica se A = A T (5) Em outras palavras, os elementos de A são tais que a ii = 0, i e a ij = a ji, i j. 5 / 25

6 Matrizes Simétrica e Anti-Simétrica Resultado interessante: Toda matriz quadrada A R n n pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica: A = A + AT 2 + A AT 2 (6) 6 / 25

7 Matrizes Triangulares Inferior e Superior Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada com elementos nulos à direita da diagonal principal: L Matriz Triangular Superior: a a 21 a a n1 a n2... a nn É uma matriz quadrada com elementos nulos à esquerda da diagonal principal: U a 11 a a 1n 0 a a 2n a nn (7) (8) 7 / 25

8 Traço de Matriz Definição: O traço de uma matriz quadrada A R n n é a soma dos elementos de sua diagonal principal: tr (A) n a ii (9) i=1 Resultados Interessantes: tr (A) = tr (A T) tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA) 8 / 25

9 Determinante de Matriz O determinante de uma matriz quadrada A R n n pode ser calculado recursivamente pela fórmula de Laplace: det (A) = n ( 1) i+j a ij det ( ) A ij j=1 (10) onde A ij R (n 1) (n 1) é a matriz obtida a partir de A, excluindo-se sua i-ésima linha e sua j-ésima coluna. Resultados Interessantes: ( det (A) = det A T). Se o produto de duas matrizes A e B for uma matriz quadrada, então det (AB) = det (A) det (B). Seja uma matriz quadrada A R n n e um escalar α. Pode-se mostrar que det (αa) = α n det (A). 9 / 25

10 Posto (Rank) de Matriz Definição: O posto de uma matriz A R n m é o seu número de linhas ou colunas linearmente independentes. Denotaremos o posto de A por: posto (A) (11) Observação: Seja uma matriz quadrada A A n n. Neste caso, se posto (A) = n, então dizemos que A tem posto cheio. posto (A) = dim ( R(A) ), onde R(A) é o espaço coluna de A. 10 / 25

11 Matriz de Cofatores e Adjunta Cofator: O cofator ã ij R associado ao elemento a ij de A R n m é dado por ã ij ( 1) i+j det ( A ij ) (12) Matriz de Cofatores: A matriz de cofatores associada a A R n m é cof(a) ã 11 ã ã 1m ã 21 ã ã 2m... ã n1 ã n2... ã nm Rn m (13) Matriz Adjunta: A matriz adjunta associada a A R n m é adj(a) cof(a) T. 11 / 25

12 Matrizes Singular e Inversa Matriz Singular: Uma matriz quadrada A R n n é dita singular se det (A) = 0. contrário, A é dita não singular. Matriz Inversa: Caso Seja uma matriz quadrada A R n n não singular. A inversa de A, que denotamos por A 1 R n n, é tal que Resultado: A matriz inversa A 1 é dada por A 1 A = I n. (14) A 1 = adj (A) det (A). (15) 12 / 25

13 Inversa de Matriz Particionada Resultado: Sejam as matrizes P 11 R n 1 n 1, P 12 R n 1 n 2, P 21 R n 2 n 1 R n 2 n 2. Pode-se mostrar que [ P 11 P 12 P 21 P 22 ] 1 = [ V 11 V 12 V 21 V 22 ] e P 22 (16) onde V 11 = ( P 11 P 12 P 1 22 P 21) 1 (17) V 12 = V 11 P 12 P 1 22 (18) V 21 = P 1 22 P 21V 11 (19) ( 1 V 22 = P 22 P 21 P ) P (20) 13 / 25

14 Lema da Inversão de Matriz Resultado: Sejam as matrizes de dimensões apropriadas P, R e H. Considere que P e R sejam não singulares. Pode-se mostrar ( P 1 + H T R 1 H) 1 = P PH T ( HPH T + R) 1 HP (21) Observação: O resultado acima é útil na obtenção do estimador de mínimos quadrados recursivo e do filtro informação. 14 / 25

15 Matriz Jacobiana Definição: Seja uma função vetorial diferenciável f : R n R m. Denote sua variável independente por x R n. A matriz Jacobiana de f é dada por f 1 f 1 f 1... x 1 x 2 x n f 2 f 2 f 2 df... dx x 1 x 2 x n R m n (22).... f m f m f m... x 1 x 2 x n onde f i denota abreviadamente o i-ésimo componente f i (x) R do vetor f(x), enquanto x j denota o j-ésimo componente do vetor x. 15 / 25

16 Matriz Hessiana Definição: Seja uma função escalar g : R n R de classe C 2. Denote sua variável independente por x R n. A matriz Hessiana de g é a matriz simétrica dada por 2 g x g d 2 g dx 2 x 2 x 1. 2 g x n x 1 2 g x 1 x g x g x n x 2 onde g é uma abreviação para g(x) g x 1 x n 2 g x 2 x n. 2 g x 2 n R n n (23) 16 / 25

17 Autovalores e Autovetores Definição: Seja uma matriz quadrada A R n n. Os autovalores λ i C e autovetores ν i R n, i = 1,..., n, associados a A são tais que Aν i = λ i ν i, i (24) Observação: Se os autovalores λ i forem todos distintos, então os correspondentes autovetores ν i são todos linearmente independentes. 17 / 25

18 Raíz Quadrada de Matriz: Decomposição de Cholesky Resultado: Seja uma matriz real simétrica positiva definida A R n n. Pode-se mostrar que há uma decomposição única de A na forma: A = LL T (25) onde L é uma matriz triangular inferior com todos os elementos da diagonal positivos. Observações: Se A for simétrica indefinida, pode-se usar a decomposição LDL T. Será usada para calcular raiz quadrada de covariância no UKF. 18 / 25

19 Exponencial Matricial Definição: A exponencial de uma matriz quadrada A R n n é definida por exp (A) I n + A + 1 2! A k! Ak +... (26) Observação: Há diversas formas de se calcular (em geral, de forma aproximada) a exponencial de uma matriz. Para este curso, sugiro: Método da transformada de Laplace Método de Silvester Método da diagonalização 19 / 25

20 Produto Interno e Norma de Vetores Produto Interno: Sejam os vetores reais de mesma dimensão a R n e b R n. O produto interno de a por b é denotado por a, b R e definido por a, b a T b (27) Norma l 2 : A norma l 2 de um vetor a R n é denotada por a R e definida por a a, a (28) Observações: a > 0, a 0 n 1 e a = 0 apenas se a = 0 n 1. a, b = b, a, etc. 20 / 25

21 Norma de Matriz Definição: Norma de Frobenius A norma de Frobenius de uma matriz A R n p é definida por A F tr ( AA T) (29) Definição: Norma l 2 A norma de uma matriz A R n p, induzida pela norma l 2 de um vetor a R p, é definida por A 2 max a 0 Aa a (30) 21 / 25

22 Número de Condição Definição: Seja uma matriz quadrada A R n n, simétrica e positiva definida. número de condição de A é O onde. pode ser qualquer norma matricial. Observação: κ (A) A A 1 (31) Valores elevados de κ (A) indicam que A é mal condicionada (i.e, é quase singular!). 22 / 25

23 Projeção Ortogonal de Vetor Definição: A projeção ortogonal de um vetor a R n num vetor b R n é o vetor proj b a a, b b 2 b Rn (32) a b proj ba Observação: Pode-se mostrar que (a proj b a) b (33) 23 / 25

24 Decomposição QR Resultado: Seja uma matriz real não singular A R n n. Pode-se mostrar que há uma decomposição única de A na forma: A = QR (34) onde Q é uma matriz ortonormal e R é uma matriz triangular superior. Observação: Há vários métodos para se calcular a decomposição acima. Neste curso adotaremos o processo de Gram-Schmidt. Será usada em formulações square-root de filtros. 24 / 25

25 Referências Golub, G. H.; Van Loan, C. F. Matrix Computations. Johns Hopkins University Press, Bernstein, D. S. Matrix Mathematics. Princeton University Press, / 25