Teoria de Sistemas Lineares I

Transcrição

1 Teoria de Sistemas Lineares I Prof. Aguinaldo S.e Silva Universidade Federal de Santa Catarina

2 Estabilidade Entrada-Saída BIBO Estabilidade Considere o sistema linear SISO invariante no tempo, causal e relaxado em t = 0, descrito por y(t) = t 0 g(t τ)u(τ)dτ = t 0 g(τ)u(t τ)dτ g(t) : resposta ao impulso do sistema, ou seja, a saída do sistema no tempo t para um impulso aplicado na entrada no instante τ Uma entrada u(t) é limitada se u(t) u m < para todo t 0 Definição Um sistema relaxado é BIBO estável (Bounded-Input Bounded-Output) se para qualquer entrada limitada a saída também for limitada.

3 Estabilidade Entrada-Saída Teorema Um sistema SISO relaxado descrito por y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ é BIBO-estável se e somente se g(t) for absolutamente integrável no intervalo [0, ), isto é, se existir uma constante M tal que t 0 g(t) dt M <

4 Estabilidade Entrada-Saída Prova: Primeiramente, mostra-se que se g(t) é absolutamente integrável, toda entrada limitada causa uma saída também limitada. Seja u(t) arbitrária com u(t) u m < para todo t 0. Então, y(t) = t 0 t g(t)u(t τ)dτ 0 g(t) u(t τ) dτ e portanto a saída é limitada. u m t 0 g(t) dτ u m M

5 Estabilidade Entrada-Saída Agora, mostra-se (intuitivamente) que se g(t) não for absolutamente integrável, então o sistema não é BIBO estável. Se g(t) não é absolutamente integrável, existe t 1 tal que t 0 g(τ) dτ = Escolhendo a entrada limitada { +1 se g(t) 0 u(t 1 t) == 1 se g(t) < 0 tem-se, no entanto, a saída ilimitada y(t 1 ) = t1 0 g(τ)u(t τ)dτ == t1 0 e portanto o sistema não é BIBO estável. g(τ) dτ =

6 Estabilidade Entrada-Saída Uma função absolutamente integrável pode não ser limitada ou pode não tender a 0 quando t Exemplo: considere a função n + (t n)n 4 para n 1/n 3 t n f (t n) = n (t n)n 4 para n < t n + 1/n 3 definida para n = 2,3,... com área sob cada triângulo igual a 1/n 2.

7 Estabilidade Entrada-Saída n n 2 n 3 A integral do valor absoluto da função é (1/n 2 ) <. n=2 = A função é absolutamente integrável mas não é limitada nem tende a zero quando t

8 Estabilidade Entrada-Saída Teorema Se uma sistema com resposta ao impulso g(t) é BIBO estável, então, quando t 1 A resposta a uma entrada u(t) = a, para t 0, tende a G(0)a 2 A resposta a uma entrada u(t) = sin(ω 0 t), para t 0, tende a G(jω 0 ) sin(ω 0 t + θ) ; θ G(jω 0 ) sendo G(s) a transformada de Laplace de g(t), isto é Se u(t) = a, G(s) = 0 g(τ)exp( sτ)dτ y(t) = t 0 t g(τ)u(t τ)dτ = a g(τ)dτ 0

9 Estabilidade Entrada-Saída y(t) a Se u(t) = sin(ω 0 t), = t 0 y(t) = t 0 0 g(τ)dτ = ag(0) g(τ)sin[ω 0 (t τ)]dτ = g(τ)[sin(ω 0 t)cos(ω 0 τ) cos(ω 0 t)sin(ω 0 τ)]dτ = t t = sin(ω 0 t) g(τ)cos(ω 0 τ)dτ cos(ω 0 t) g(τ)sin(ω 0 τ)dτ 0 0

10 Estabilidade Entrada-Saída Quando t y(t) sin(ω 0 t) Por outro lado, em s = jω, 0 G(jω) = g(τ)cos(ω 0 τ)dτ cos(ω 0 t) 0 g(τ)[cos(ωτ) j sin(ωτ)]dτ 0 g(τ)sin(ω 0 τ)dτ Como assume-se implicitamente que g(t) (resposta ao impulso) é real, tem-se Re G(jω) = Im G(jω) = 0 0 g(τ)cos(ωτ)dτ g(τ)sin(ωτ)dτ

11 Estabilidade Entrada-Saída Substituindo na expressão para y(t), tem-se y(t) sin(ω 0 t)re G(jω 0 ) + cos(ω 0 t)im G(jω 0 ) y(t) G(jω 0 ) sin(ω 0 t + θ) [ ] θ G(jω 0 ) = tan 1 Im G(jω 0 )/Re G(jω 0 )

12 Estabilidade Entrada-Saída Teorema Um sistema SISO com função de transferência racional própria G(s) é BIBO estável se e somente se todos os pólos de G(s) têm parte real negativa ou, equivalentemente, estão no semi-plano esquerdo do plano complexo. Se G(s) tem um pólo p i com multiplicidade m i, a expansão em frações parciais de G(s) contém fatores 1 s p i ; 1 (s p i ) 2 ;... ; 1 (s p i ) m i e portanto a transformada inversa de Laplace contém os fatores exp(p i t) ; t exp(p i t) ;..., ; t m i 1 exp(p i t) Como pode ser verificado, cada um desses termos é absolutamente integrável se e somente se p i tem parte real negativa.

13 Estabilidade Entrada-Saída Teorema Um sistema MIMO com matriz resposta ao impulso G(t) = [g ij (t)] é BIBO estável se e somente se todo g ij (t) for absolutamente integrável em [0, )

14 Estabilidade Entrada-Saída Teorema Um sistema MIMO com matriz de transferência própria G(s) = [G ij (s)] é BIBO estável se e somente se todo pólo de G ij (s) tiver parte real negativa.

15 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Considere o sistema ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) cuja matriz de transferência é dada por G(s) = C(sI A) 1 B + D A resposta ao estado nulo é BIBO estável se e somente se todo pólo de G(s) tiver parte real negativa (isto é, todos os pólos dos elementos G ij (s) da matriz de transferência).

16 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas G(s) = 1 C[Adj (si A)]B + D det(si A) então todo pólo de G(s) é também um autovalor de A. Assim, se todo autovalor de A tem parte real negativa, então o sistema é BIBO estável. Nem todo autovalor de A é pólo de G(s) (cancelamentos). Portanto, A pode ter autovalores nulos ou com parte real positiva e ainda assim o sistema pode ser BIBO estável.

17 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Exemplo ẋ = [ ] [ 0 x + 1 ] u ; y = [ 1 1 ] x g(s) = 1 s + 1 ; g(t) = exp( t) BIBO-estável

18 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Exemplo Considere o circuito i + u 1 Ω x + 1 Ω y 1 F 1 Ω 1 Ω

19 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Equações: (u i) + x i = 0 ; x + (i ẋ) (u i + ẋ) ; y = i Equação de estado: Função de transferência: ẋ = x ; y = 0.5x + 0.5u G(s) = 0.5(s 1) = 0.5 O autovalor positivo 1 da matriz dinâmica não é um pólo da função de transferência; a função de transferência é igual a uma constante 0.5 (não tem pólo, e portanto não tem que satisfazer nenhuma condição). = O sistema é BIBO estável.

20 Sistemas Discretos Sistemas Discretos O sistema discreto SISO descrito por y(k) = k g(k m)u(m) = m=0 k g(m)u(k m) m=0 sendo g(k) a resposta ao impulso, ou equivalentemente, a saída para uma seqüência impulsiva aplicada em k = 0. Uma seqüência u(k) é limitada se u(k) não cresce (ou descresce) indefinidamente, ou seja, se existe uma constante u m tal que u(k) u m < para k = 0,1,2,... Um sistema é BIBO estável se toda seqüência limitada aplicada na entrada provocar uma seqüência limitada na saída.

21 Sistemas Discretos Teorema Um sistema discreto SISO é BIBO-estável se e somente se g(k) for absolutamente somável no intervalo [0, ), isto é, se existir uma constante M tal que g(k) M < k=0

22 Sistemas Discretos Teorema Se um sistema discreto SISO com resposta ao impulso g(k) é BIBO estável, então, quando k 1 A resposta a uma entrada u(k) = a, para k 0, tende a G(1) 2 A resposta a uma entrada u(k) = sin(ω 0 k), para k 0, tende a G[exp(jω 0 )] sin(ω 0 t + θ) ; θ G[exp(jω 0 )] sendo G(z) a transformada Z de g(k), isto é G(z) = g(m)z m m=0

23 Sistemas Discretos Teorema Um sistema discreto SISO com função de transferência racional própria G(z) é BIBO estável se e somente se todos os pólos de G(z) têm magnitude menor do que 1 ou, equivalentemente, estão no interior do círculo unitário do plano complexo z. Se G(z) tem um pólo p i com multiplicidade m i, a expansão em frações parciais de G(s) contém fatores 1 z p i ; 1 (z p i ) 2 ;... ; 1 (z p i ) m i e portanto a transformada inversa Z contém os fatores p k i ; kp k i ;..., ; k m i 1 p k i Como pode ser verificado, cada um desses termos é absolutamente somável se e somente se p i tem magnitude menor do que 1.

24 Sistemas Discretos No caso contínuo, uma função absolutamente integrável não necessariamente é limitada nem tende a zero quando t. Para sistemas discretos, se g(k) é absolutamente somável, então g(k) é limitada e tende a zero quando k. No entanto, o contrário pode não ser verdadeiro.

25 Sistemas Discretos Exemplo Considere um sistema discreto invariante no tempo com a resposta ao impulso dada pela seqüência g(k) = 1/k, para k = 1,2,... e g(0) = 0. Calculando a soma S g(k) = k=0 = ( k=0 1 k = ) ( ) ( ) + 16 Para cada termo dentro de parênteses, a soma é sempre maior que 1/2 e portanto S > =

26 Sistemas Discretos = sistema não é BIBO estável No entanto, esta seqüência resposta ao impulso é limitada e tende a zero quando k

27 Sistemas Discretos Teorema Um sistema discreto MIMO com matriz resposta ao impulso G(k) = [g ij (k)] é BIBO estável se e somente se todo g ij (k) for absolutamente somável.

28 Sistemas Discretos Teorema Um sistema MIMO com matriz de transferência própria G(z) = [G ij (z)] é BIBO estável se e somente se todo pólo de G ij (z) tiver magnitude menor que 1.

29 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Discretas Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Discretas Considere o sistema x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k) cuja matriz de transferência é dada por G(z) = C(zI A) 1 B + D A resposta ao estado nulo é BIBO estável se e somente se todo pólo de G(z) tiver magnitude menor do que 1 (isto é, todos os pólos dos elementos G ij (z) da matriz de transferência).

30 Estabilidade BIBO de Equações Dinâmicas Discretas Como G(z) = 1 C[Adj (zi A)]B + D det(zi A) então todo pólo de G(z) é também um autovalor de A. Assim, se todo autovalor de A tem magnitude menor do que 1, então o sistema é BIBO estável. Como no caso contínuo, nem todo autovalor de A é pólo de G(z) (pode haver cancelamentos).

31 Estabilidade Interna Estabilidade Interna A BIBO estabilidade é definida para a resposta ao estado inicial nulo. Para se estudar a resposta à entrada nula, considere o sistema ẋ(t) = Ax(t) com uma condição inicial não nula x 0. A solução é dada por x(t) = exp(at)x 0 Definição: A resposta à entrada nula de um sistema linear invariante no tempo ou a equação ẋ(t) = Ax(t) é marginalmente estável ou estável no sentido de Lyapunov se para toda possível condição inicial x 0 finita a resposta é limitada. É assintoticamente estável se para toda possível condição inicial x 0 finita a resposta é limitada e tende a zero quando t.

32 Estabilidade Interna Teorema 1 A equação ẋ(t) = Ax(t) é marginalmente estável se e somente se todos os autovalores de A tem parte real igual a zero ou negativa e aqueles que têm parte real igual a zero são raízes de multiplicidade 1 do polinômio mínimo de A. 2 A equação ẋ(t) = Ax(t) é assintoticamente estável se e somente se todos os autovalores de A tem parte real negativa. 3 As transformações de equivalência não afetam a estabilidade de uma equação de estado. Definindo x = Px, com P não singular, ẋ = Ax é equivalente a x = Ā x = PAP 1 x 4 Como P é não singular, se x é limitado, então x também o é; se x tende a zero quando t, o mesmo ocorre com x. 5 A estabilidade de A pode ser estudada através de Ā.

33 Estabilidade Interna A solução de x = Ā x para x(0) é dada por x(t) = exp(āt) x(0). Se Ā está na forma de Jordan, pode-se mostrar que: 1 Se um autovalor tem parte real negativa, cada elemento do bloco de Jordan associado é limitado e tende a zero quando t. 2 Se um autovalor tem parte real igual a zero e nenhum bloco de Jordan de ordem 2 ou maior, então o elemento correspondente é constante ou senoidal para todo t e portanto limitado. 3 Se um autovalor tem parte real positiva, cada elemento do bloco de Jordan associado cresce indefinidamente; se um autovalor tem parte real igual a zero e algum bloco de Jordan de ordem 2 ou maior, então pelo menos um elemento cresce indefinidamente. 4 Para ser assintoticamente estável, todo elemento tem que tender a zero quando t, e assim, nenhum autovalor com parte real 0 ou positiva é permitido.

34 Estabilidade Interna Exemplo Considere o sistema ẋ = x (λ) = λ 2 (λ + 1) (polinômio característico) O polinômio mínimo é dado por φ(λ) = λ(λ + 1) e portanto λ = 0 é uma raíz simples (multiplicidade 1). Os autovalores da matriz A são 0, 0 e 1 e a equação é marginalmente estável.

35 Estabilidade Interna Exemplo Seja agora o sistema ẋ = não é marginalmente estável, pois seu polinômio mínimo é dado por φ(λ) = λ 2 (λ + 1) e λ = 0 não é uma raíz simples. x

36 Estabilidade Interna Todo pólo da matriz de transferência G(s) = C(sI A) 1 B + D é também um autovalor de A. Assim, a estabilidade assintótica implica na BIBO estabilidade. A BIBO estabilidade não implica, em geral, na estabilidade assintótica.

37 Estabilidade Interna de Sistemas Discretos Estabilidade Interna de Sistemas Discretos x(k + 1) = Ax(k) Solução para x(0) = x 0 é dada por x(k) = A k x 0. Definição: O sistema é marginalmente estável ou estável no sentido de Lyapunov se toda condição inicial finita x 0 implicar em uma resposta limitada. É assintoticamente estável se, além disso, a resposta tende a zero quando k.

38 Estabilidade Interna de Sistemas Discretos Teorema 1 A equação x(k + 1) = Ax(k) é marginalmente estável se e somente se todos os autovalores de A tem magnitudes menores ou iguais a 1 e aqueles que tiverem magnitudes iguais a 1 forem raízes simples do polinômio mínimo de A. 2 A equação x(k + 1) = Ax(k) é assintoticamente estável se e somente se todos os autovalores de A tem magnitudes menores do que 1. Assim como no caso contínuo, as transformações equivalentes não afetam a estabilidade do sistema, e as formas de Jordan podem ser usadas no estudo da estabilidade. A estabilidade assintótica implica em BIBO estabilidade mas o contrário não é verdadeiro.

39 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Todos os autovalores de A têm parte real negativa se e somente se para qualquer matriz simétrica definida positiva N a equação de Lyapunov A M + MA = N tiver uma única solução simétrica M e M for definida positiva.

40 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Corolário Todos os autovalores de uma matriz n n A têm parte real negativa se e somente se para qualquer matriz N m n com m < n tal que rank N NA. NA n 1 a equação de Lyapunov = n (rank completo de colunas) A M + MA = N N N tiver uma única solução simétrica M e M for definida positiva. Para qualquer N, a matriz N = N N é semidefinida positiva. O teorema e seu corolário são válidos para qualquer escolha de N.

41 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Prova do Teorema: (Necessidade): a equação é um caso especial de AM + MB = C, com A = A, B = A e C = N. Como A e A têm os mesmos autovalores, se A for estável, não existem dois autovalores tais que λ i + λ j = 0 e portanto a equação de Lyapunov é não singular e possui uma única solução M. Defina M = Substituindo na equação, obtém-se A M + MA = 0 0 exp(a t)n exp(at)dt A exp(a t)n exp(at)dt exp(a t)n exp(at)adt =

42 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo = 0 ( ) ( d exp(a t)n exp(at) dt = exp(a t)n exp(at)) dt = 0 N = N pois exp(at) = 0 para t se A tem autovalores com parte real negativa. Com isso, prova-se que M dada acima é solução da equação. É claro que se N for simétrica, M também o é. Como N é não singular, pode ser decomposta na forma N = Ñ Ñ com Ñ não singular. Portanto, t=0 x Mx = 0 x exp(a t)ñ Ñ exp(at)xdt = 0 Ñ exp(at)x 2 2dt que é positiva para qualquer x 0 (Ñ e exp(at) são não singulares), o que mostra que M é definida positiva.

43 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo (Suficiência): Agora, mostra-se que se N e M são definidas positivas, A é estável. Seja λ um autovalor de A associado ao autovetor v. Então, Av = λv. Pré e pós multiplicando a equação de Lyapunov por v e v, respectivamente, tem-se v Nv = v A Mv + v MAv = (λ + λ)v Mv = 2Re (λ)v Mv Como v Nv e v Mv são reais positivos, = Re (λ) < 0.

44 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Prova do Corolário Segue os mesmos passos da prova do teorema. Note que N é uma matriz m n, com m < n, e que portanto N = N N é semidefinida positiva. Ainda assim, M pode ser definida positiva se o integrando N exp(at)x não for identicamente nulo para todo t. Por absurdo, suponha que N exp(at)x 0 para todo t. Derivando em relação ao tempo, tem-se NA exp(at)x 0; fazendo a derivada n 1 vezes: N NA. NA n 1 exp(at)x = 0

45 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Como por hipótese o rank da matriz acima é n e exp(at) é não singular para todo t, o único x solução seria x = 0. Assim, o integrando N exp(at)x não pode ser identicamente nulo para nenhum x 0 e M é definida positiva. Mostrou-se assim a necessidade. Considere agora Av = λv e 2Re (λ)v Mv = v N Nv = Nv 2 2 Note que A 2 v = λav = λ 2 v,..., A n 1 v = λ n 1 v. Assim, N Nv Nv NA v = NAv = λ Nv. NA n 1. NA n 1 v. λ n 1 Nv

46 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Com a hipótese de rank completo de colunas, o vetor da esquerda é não nulo para v 0 e portanto Nv (que compõe o vetor da direita) é um vetor não nulo. = Re (λ) < 0 Na prova do teorema de Lyapunov e do colorário, usou-se a expressão da solução M M = 0 exp(a t)n exp(at)dt Esse resultado é estabelecido como teorema, e usado para mostrar a unicidade da solução da equação de Lyapunov.

47 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo Teorema Se todos os autovalores de A têm parte real negativa, então a equação de Lyapunov A M + MA = N tem uma única solução para todo N dada por M = Prova de Unicidade 0 exp(a t)n exp(at)dt Suponha que M 1 e M 2 são soluções. Então A (M 1 M 2 ) + (M 1 M 2 )A = 0

48 Teorema de Lyapunov - Caso Contínuo [ ] exp(a t) A (M 1 M 2 ) + (M 1 M 2 )A exp(at) = Integrando de 0 a = d dt [ ] exp(a t)(m 1 M 2 )exp(at) = 0 [ ] exp(a t)(m 1 M 2 )exp(at) 0 = 0 0 (M 1 M 2 ) = 0 = M 1 = M 2 Mesmo para A não estável, uma solução única existe se λ i + λ j 0, mas não da forma M acima. Se A for singular (pelo menos um autovalor nulo), a equação de Lyapunov é singular e soluções podem ou não existir (dependendo se N está ou não no range da equação).

49 Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Equação discreta M AMB = C sendo A R n n, B R m m e C R n m. Como no caso contínuo, pode ser expressa na forma (conjunto de equações lineares) Ym = c ; Y R nm nm, m,c R nm 1 Seja η k um autovalor de Y. Nesse caso, η k = 1 λ i µ j para i = 1,2,...,n ; j = 1,2,...,m com λ i e µ j autovalores de A e B respectivamente.

50 Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Para verificar esse fato, defina S(M) M AMB. A equação pode então ser escrita S(M) = C e um escalar η é um autovalor de S(M) se S(M) = ηm. Considere u um autovetor à direita de A associado ao autovalor λ i e v um autovetor à esquerda de B associado ao autovalor µ j Assim Au = λ i u ; vb = µ j v S(uv) = uv AuvB = (1 λ i µ j )uv Se não existir i e j tais que λ i µ j = 1, a equação é não singular e para cada C a solução M é única. Se λ i µ j = 1 para algum i e j, para C dado, a solução pode ou não existir.

51 Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Teorema de Lyapunov (Caso Discreto) Todos os autovalores de A tem magnitude menor do que 1 se e somente se para qualquer matriz definida positiva N ou para N = N N com N uma matriz m n com m < n tal que rank N NA. NA n 1 = n a equação discreta de Lyapunov (rank completo de colunas) M A MA = N tiver uma solução única M e M for definida positiva.

52 Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Para N > 0, se todos os autovalores de A (iguais aos de A ) têm magnitude menor que 1, λ i λ j < 1 para todo i, j, a equação é não singular e uma única solução existe. Considere M = (A ) m NA m m=0 Como λ i < 1 para todo i, esta série infinita converge. Substituindo na equação discreta: ( (A ) m NA m A (A ) m NA )A m = m=0 = N + m=0 (A ) m NA m m=1 (A ) m NA m = N m=1 e se N for simétrica (e > 0), M também o é. Isso mostra a necessidade.

53 Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Para mostrar a suficiência, considere λ um autovalor de A associado ao autovetor v 0 (Av = λv). Assim, v Nv = v Mv v A MAv = = v Mv λ v Mvλ = (1 λ 2 )v Mv Como os dois lados da equação são números reais e positivos, conclui-se que (1 λ 2 ) ou λ 2 < 1. Isso estabelece o resultado para N > 0. O caso N 0 pode ser mostrado de maneira similar.

54 Teorema de Lyapunov - Caso Discreto Teorema Se todos os autovalores de A têm magnitude menor do que 1, então a equação discreta de Lyapunov M A MA = N tem uma única solução para todo N dada por M = (A ) m NA m m=0 Se A tem um ou mais autovalores com magnitude maior do que 1, uma solução única ainda existe se λ i λ j 1 para todo i, j, mas não pode ser computada pela série acima.

55 Relação entre os Casos Contínuo e Discreto Relação entre os Casos Contínuo e Discreto A condição de estabilidade do caso contínuo requer que todos os autovalores estejam no semi-plano esquerdo aberto do plano complexo s. A correspondente condição no caso discreto é que todos os autovalores estejam contidos no interior do círculo unitário do plano complexo z. Essas condições se relacionam pela transformação bilinear s = z 1 z + 1 ; z = 1 + s 1 s que define um mapeamento do semi-plano esquerdo aberto para o interior do círculo unitário e vice-versa.

56 Relação entre os Casos Contínuo e Discreto Escrevendo as equações de Lyapunov (o subescrito d designa o caso discreto) A M + MA = N ; M d A d M da d = N d Usando a transformação bilinear A = (A d + I) 1 (A d I) ; A d = (I + A)(I A) 1 Substituindo e manipulando, obtém-se A M d + M d A = 0.5(I A )N d (I A) que, comparada com a equação de Lyapunov do caso contínuo, fornece A = (A d + I) 1 (A d I) ; M = M d ; N = 0.5(I A )N d (I A) Um método numérico de resolução da equação de Lyapunov do caso contínuo pode ser usado para o caso discreto.

57 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Considere um sistema SISO variante no tempo descrito por y(t) = t t 0 g(t,τ)u(τ)dτ Este sistema é BIBO estável se toda entrada limitada causa uma saída também limitada. O sistema acima é BIBO estável se e somente se existir uma constante M tal que t t 0 g(t,τ) dτ M < para todo t, t 0 com t t 0.

58 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Caso multivariável y(t) = t t 0 G(t,τ)u(τ)dτ A condição para BIBO estabilidade é que cada elemento de G(t,τ) satisfaça a relação acima. Essa condição pode ser expressa em termos de normas. A condição necessária e suficiente para que um sistema multivariável seja BIBO estável é que exista M constante tal que t para todo t, t 0 com t t 0. t 0 G(t,τ) dτ M <

59 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Considerando uma descrição por equações de estado ẋ y = A(t)x + B(t)u = C(t)x + D(t)u tem-se que a matriz resposta ao impulso é dada por G(t,τ) = C(t)Φ(t,τ)B(τ) + D(t)δ(t τ) e a resposta ao estado inicial nulo é y(t) = t t 0 C(t)Φ(t,τ)B(τ)dτ + D(t)u(t)

60 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Assim, a resposta ao estado inicial nulo da equação dinâmica é BIBO estável se e somente se existirem constantes M 1 e M 2 tais que D(t) M 1 < t t 0 C(t)Φ(t,τ)B(τ) dτ M 2 < para todo t, t 0 com t t 0.

61 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Estabilidade da Resposta à Entrada Nula ẋ = A(t)x é marginalmente estável se toda condição inicial finita provoca uma resposta limitada. Como a solução é governada por x(t) = Φ(t,t 0 )x(t 0 ) tem-se que resposta à entrada nula é marginalmente estável se e somente se existir uma constante M tal que Φ(t,t 0 ) M < para todo t 0 e t t 0. A equação ẋ = A(t)x é assintoticamente estável se a resposta à toda condição inicial finita for limitada e tender a zero quando t, isto é Φ(t,t 0 ) 0 para t

62 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo No caso invariante no tempo, ẋ = Ax é assintoticamente estável se todos os autovalores de A têm parte real negativa. Isso não é verdade no caso variante no tempo. ẋ = A(t)x = [ 1 exp(2t) 0 1 Polinômio característico: (λ) = (λ + 1) 2 ; Autovalores: 1 e 1 [ ] exp( t) 0.5(exp(t) exp( t)) Φ(t,0) = 0 exp( t) O elemento (1,2) cresce indefinidamente (sistema não é estável). ] x

63 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Todas as propriedades de estabilidade de um sistema invariante no tempo se preservam sob transformações de equivalência. No caso variante no tempo a BIBO estabilidade se preserva pois a matriz resposta ao impulso não se altera com uma transformação de equivalência. Como entretanto é possível transformar ẋ = A(t)x em x = A 0 x com A 0 constante, a estabilidade marginal e a assintótica não se preservam sob qualquer transformação de equivalência.

64 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Teorema As estabilidades marginal e assintótica de ẋ = A(t)x se preservam sob qualquer transformação de Lyapunov equivalente. Como P(t) e Ṗ(t) são contínuas, e P(t) é não singular para todo t, então x = P(t)x é uma transformação algébrica. Se além disso P(t) e P 1 (t) são limitadas para todo t, x = P(t)x é uma transformação de Lyapunov. As matrizes fundamentais de ẋ = A(t)x e x = Ā(t) x se relacionam por e portanto X(t) = P(t)X(t) Φ(t,τ) = X(t) X 1 (τ) = P(t)X(t)X 1 (τ)p 1 (τ) = = P(t)Φ(t,τ)P 1 (τ)

65 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Como P(t) e P 1 (t) são limitadas, se Φ(t,τ) é limitada, Φ(t,τ) também o é; se Φ(t,τ) 0 quando t, o mesmo ocorre com Φ(t,τ).

66 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo Em sistemas invariantes no tempo, a estabilidade assintótica da resposta à entrada nula implica na BIBO estabilidade da resposta ao estado inicial nulo. Não necessariamente é verdade para sistemas variantes no tempo. A estabilidade assintótica ocorre se para todo t, t 0 com t t 0. Φ(t,τ) 0 quando t

67 Estabilidade de Sistemas Variantes no Tempo A BIBO estabilidade ocorre se t para todo t, t 0 com t t 0. t 0 C(t)Φ(t,τ)B(τ) dτ < No entanto, uma função que tende a zero pode não ser absolutamente integrável. Se Φ(t,τ) tende a zero rapidamente e se B(t) e C(t) são limitadas, a estabilidade assintótica implica na BIBO estabilidade.