Estabilidade. Samir A. M. Martins 1. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Associação ampla entre UFSJ e CEFET MG

Transcrição

1 Interna Samir A. M. Martins 1 1 UFSJ / Campus Santo Antônio, MG Brasil Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Associação ampla entre UFSJ e CEFET MG

2 O que nos espera? Interna 1 em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo 2 Interna Sistemas Discretos no tempo 3 Em tempos recentes... 4

3 5.1 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Introduzir conceitos de estabilidade: de entrada-saída; interna; ; de sistemas variantes no tempo.

4 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo 5.2 de entrada-saída de sistemas LIT Uma entrada é chamada limitada se u(t) u m <, para todo t 0. Um sistema é chamado BIBO estável (Bounded-input bounded-output) se toda entrada limitada excita uma saída limitada.

5 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.1 Um sistema SISO invariante no tempo descrito pela integral de convolução é BIBO estável se e somente se g(t) é absolutamente integrável em [0, ), ou para alguma constante M. 0 g(t) dt M <

6 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.2 Se um sistema com resposta ao impulso g(t) é BIBO estável, então, quando t : 1 A saída excitada por u(t) = a, para t 0, tende a ĝ(0).a. 2 A saída excitada por u(t) = sen(ω 0 t), para t 0, tende a ĝ(jω 0 ) sen (ω o t + ĝ (jω 0 )) sendo ĝ(s) a transformada de Laplace de g(t).

7 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.3 Um sistema SISO com função de transferência racional própria ĝ(s) é BIBO estável se e somente se todo polo de ĝ(s) tem parte real negativa, ou seja, os polos estão no semi-plano esquerdo do plano complexo s.

8 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Exemplo 5.1 Considere um sistema com realimentação positiva (ver Figura 2.5(a) do Chen). A resposta ao impulso é dada pela relação g(t) = a i δ(t i). i=1 Aplicando o Teorema g(t) dt = { se a 1, a i = a 1 a < se a < 1. i=1 conclui-se que, se o a for menor que 1, o sistema é estável.

9 Interna Resultados para sistemas multivariáveis em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.M1 Um sistema multivariável com matriz resposta ao impulso G(t) = [g ij (t)] é BIBO estável se e somente se toda g ij (t) é absolutamente integrável em [0, ). Teorema 5.M3 Um sistema multivariável com matriz de transferência racional própria Ĝ(s) = [ĝ ij(s)] é BIBO estável se e somente se todo polo de toda ĝ ij (s) tem parte real negativa.

10 Observações: Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Todo polo de Ĝ(s) é um autovalor de A. Nem todo autovalor de A é um polo de Ĝ(s). Isso é devido ao cancelamento. Exemplo 5.2 O circuito da Figura 4.2 (b) do Chen é descrito pelas equações ẋ(t) = x(t) + 0u(t), y(t) = 0,5x(t) + 0,5u(t), tem autovalor real positivo (λ = 1). A função de transferência é dada por ĝ(s) = 0,5(s 1) ,5 = 0,5.

11 Interna Resultados em tempo discreto em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Uma sequência de entrada u[k] é chamada limitada se u[k] u m <, para k = 1,2,.... Um sistema discreto é chamado BIBO estável (Bounded-input bounded-output) se toda sequência de entrada limitada excita uma sequência de saída limitada.

12 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.D1 Um sistema discreto SISO, descrito pelo somatório de convolução, é BIBO estável se e somente se g[k] é absolutamente somável em [0, ), ou seja, g[k] M < k=0 para alguma constante M.

13 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.D2 Se um sistema discreto com resposta ao impulso g[k] é BIBO estável, então, quando k : 1 A saída excitada por u[k] = a, para k 0, tende a ĝ(1).a. 2 A saída excitada por u[k] = sen(ω 0 k), para k 0, tende a ĝ(e jω 0 ) sen(ω o k + ĝ(e jω 0 )) sendo ĝ(z) é a transformada z de g[k].

14 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Teorema 5.D3 Um sistema discreto SISO com função de transferência racional própria ĝ(z) é BIBO estável se e somente se todo polo de ĝ(z) tem magnitude menor que 1, ou seja, os polos estão dentro do círculo unitário no plano complexo z.

15 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Exemplo 5.3 Considere um sistema LTI discreto com sequencia de resposta ao impulso dada por g[k] = 1/k, para k = 1,2,..., e g[0] = 0. 1 S := g[k] = k = k=0 k=1 = ( ) ( ) ( ) S > = A sequencia de resposta ao impulso não é absolutamente somável, ou seja, o sistema não é BIBO estável.

16 Interna em sistemas multivariáveis Sistemas discretos no tempo Resultados p/ sistemas discretos multivariáveis Teorema 5.MD1 Um sistema discreto MIMO com matriz de resposta ao impulso G[k] = [g ij [k]] é BIBO estável se e somente se toda g ij [k] é absolutamente somável. Teorema 5.MD3 Um sistema discreto MIMO com matriz de transferência racional própria Ĝ(z) = [ĝ ij(z)] é BIBO estável se e somente se todo polo de toda ĝ ij (z) tem magnitude menor que 1.

17 5.3 interna Interna Sistemas Discretos no tempo A estabilidade interna, ou estabilidade da resposta a entrada zero, é a resposta de ẋ(t) = Ax(t) excitada por um estado inicial x 0 diferente de 0. A solução do sistema é dada por x(t) = e At x 0.

18 Definição 5.1 Interna Sistemas Discretos no tempo A resposta à entrada zero de ẋ(t) = Ax(t) é marginalmente estável ou estável no sentido de Lyapunov se todo estado inicial finito x 0 excita uma resposta limitada. A resposta é assintoticamente estável se todo estado inicial finito excita uma resposta limitada, a qual, tende a 0 quando t.

19 Definição 5.4 Interna Sistemas Discretos no tempo 1 A equação ẋ(t) = Ax(t) é marginalmente estável se e somente se todos autovalores de A têm parte real zero ou menor que zero e aqueles que possuem parte real zero são raízes simples do polinômio mínimo de A. 2 A equação ẋ(t) = Ax(t) é assintoticamente estável se e somente se todos os autovalores de A têm parte real negativa. Obs.: A transformação de equivalência x = Px não altera a estabilidade da equação ẋ(t) = Ax(t).

20 Interna Sistemas Discretos no tempo Exemplo 5.4: ẋ = ẋ = x, x, Sistema estável Sistema instável Os sistemas possuem os mesmos autovalores. No entanto, no segundo caso λ = 0 não é raíz simples do polinômio mínimo.

21 Interna Sistemas Discretos no tempo Observações Todo polo de G(s) =C(sI A) 1 B+D é um autovalor de A. assintótica implica BIBO estabilidade. BIBO estabilidade, em geral, não implica estabilidade assintótica.

22 Interna interna em tempo discreto Sistemas Discretos no tempo Teorema 5.4D4 1 A equação x[k + 1] = Ax[k] é marginalmente estável se e somente se todos autovalores de A tem magnitude menor ou igual a 1 e aqueles que são 1 são raízes simples do polinômio mínimo de A. 2 A equação x[k + 1] = Ax[k] é assintoticamente estável se e somente se todos os autovalores de A têm magnitude menor que 1.

23 Interna 5.4 Em tempos recentes... Seja V : R n R : x V (x) uma função que assume valores reais e D R n um conjunto compacto que contém a origem x = 0 no seu interior. Definição: 1 A função V = V (x) é definida (semidefinida) positiva em D em relação ao ponto de equiĺıbrio x = 0, se 1 V é continuamente diferenciável (V C 1 ), 2 V (0) = 0, 3 V (x) > ( ) 0 para todo x D, x ver Enciclopédia de Automática. Vol. 2, capítulo 3. Editora: Blucher,

24 Interna Em tempos recentes... Considere a função V (x) = x Mx uma medida generalizada de energia. Se o sistema é estável, a energia deve diminuir com o passar do tempo. A derivada da função V (x) ao longo das trajetórias do sistema é: dv (x) dt = ẋ Mx + x Mẋ, = (Ax) Mx + x M (Ax), = x A Mx + x MAx, = x (A M + MA)x, = x Nx. As matrizes M e N têm que ser definidas positiva.

25 Interna Em tempos recentes... O sistema ẋ = Ax é estável se todos autovalores da matriz A têm parte real negativa. Teorema 5.5 A matriz A tem todos autovalores com parte real negativa se e somente se para qualquer matriz simétrica definida positiva N, a equação de Lyapunov A M + MA = N tem solução simétrica única M e M é definida positiva.

26 Interna Em tempos recentes... Corolário 5.5: Todos os autovalores da matriz A n n tem parte real negativa se e somente se para qualquer matriz N m n com m < n e com a propriedade posto O := posto N NA. NA n 1 = n (posto pleno de coluna) sendo O uma matriz nm n, a equação de Lyapunov A M + MA = N N =: N tem solução simétrica única M e M é definida positiva.

27 Interna Em tempos recentes... Teorema 5.6 Se todos os autovalores de A tem parte real negativa, então a equação de Lyapunov A M + MA = N tem solução única para todo N, e a solução pode ser expressa como M = 0 e A t Ne At dt.

28 Interna Em tempos recentes... Teorema 5.D5 A matriz A tem todos os autovalores com magnitude menor que 1 se e somente se para qualquer matriz simétrica definida positiva N ou para N = N N, com a propriedade dada no corolário 5.5, a equação discreta de Lyapunov M A MA = N tem solução simétrica única M e M é definida positiva.

29 Interna Em tempos recentes... Teorema 5.D6 Se todos os autovalores de A têm módulo menor que 1, então a equação de Lyapunov M A MA = N tem solução única para todo N, e a solução pode ser expressa como ( M = A ) m NA m. m=0

30 Abordagem moderna Interna Em tempos recentes... Como utilizar as ferramentas de análise de estabilidade para projetar sistemas de controle que estabilizem plantas? Reformulação do resultado de Lyapunov em termos de inequações. Teorema O sistema ẋ = Ax é assintoticamente estável se e somente se existe P que satisfaz a desigualdade matricial linear (muito conhecida pela sigla LMI 2, Linear Matrix Inequality) de Lyapunov A P + PA < 0, P > 0. 2 ver livro/pdf em:

31 Interna 5.5 de sistemas LVT BIBO estabilidade Um sistema linear variante no tempo (LVT) descrito por y(t) = t t 0 g(t,τ)u(τ)dτ é BIBO estável se toda entrada limitada excita uma saída limitada. A condição que atende a afirmativa acima é t t 0 g(t,τ) dτ M <, para todo t e t 0 com t t 0 e sendo M uma constante finita.

32 Interna BIBO estabilidade A estabilidade de sistemas LVT multivariável é feita verificando se cada elemento de G(t,τ) atende a condição estabelecida para o caso monovariável. Outra maneira é usar uma norma de matriz, em geral usa-se a norma infinita. A resposta ao estado zero de um sistema LVT é BIBO estável se e somente se existem constantes M 1 e M 2 tais que D(t) M 1 < e t t 0 G(t,τ) dτ M 2 <.

33 Interna s marginal e assintótica A equação ẋ = A(t)x será marginalmente estável se todo estado inicial finito excita uma resposta finita. A resposta x(t) = Φ(t,t 0 )x(t 0 ) é marginalmente estável se e somente se existe uma constante M tal que Φ(t,t 0 ) M <. Para que a resposta seja assintoticamente estável é necessário que, além da condição descrita no caso marginalmente estável, Φ(t,t 0 ) 0,quando t.

34 Interna s marginal e assintótica A estabilidade de sistemas LVT não é caracterizada pelos autovalores de A(t). Ver exemplo 5.5. A BIBO estabilidade é invariante sobre qualquer transformação de equivalência. As estabilidades marginal e assintótica não são invariantes sobre qualquer transformação de equivalência. Teorema 5.7 As estabilidades marginal e assintótica de ẋ = A(t)x são invariantes sobre qualquer transformação de Lyapunov.

35 Interna Exemplo 5.5 [ ] 1 e 2t Seja o sistema ẋ = A(t)x = x. 0 1 O sistema é estável ou instável?