Capítulo 2 Dinâmica de Sistemas Lineares

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1 Capítulo 2 Dinâmica de Sistemas Lineares Gustavo H. C. Oliveira TE055 Teoria de Sistemas Lineares de Controle Dept. de Engenharia Elétrica / UFPR Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 1/57

2 Este material contém notas de aula para suporte ao curso Teoria de Sistemas Lineares de Controle do Dept. de Engenharia Elétrica da UFPR. Não substitui o estudo dos livros recomendados na bibliografia do curso. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 2/57

3 Sumário 1 Introdução 2 Sistemas Lineares Função de Transferência Análise 3 Especificação de Desempenho no Regime Transitório 4 Efeito de Pólos e Zeros Sistemas de 1 a ordem Sistemas de 2 a ordem Polos adicionais e Polos Dominantes Zeros Adicionais Atraso de Transporte 5 Álgebra de Blocos 6 Estabilidade Critério de Routh 7 Exemplos Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 3/57

4 1. Introdução Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 4/57

5 1. Introdução Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 5/57

6 1. Introdução Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 6/57

7 2. Sistemas Lineares Definição; Sinal são funções que carregam alguma informação sobre o comportamento de algum fenômeno físico. A variável independente destas funções é o tempo. x(t), y(t) t é o tempo x(t) é o sinal Sistemas descrevem o comportamento de algum processo físico. É definido por um operador que define o mapeamento entre sinais (entrada para saída) S é o sistema S : x(t) y(t) ou y(t) = S{x(t)} Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 7/57

8 2. Sistemas Lineares Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 8/57

9 2. Sistemas Lineares Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 9/57

10 2. Sistemas Lineares Sistemas lineares e não-lineares: Sistemas lineares satisfazem ao Teorema da superposição. Se y 1 (t) = S{x 1 (t)} e y 2 = S{x 2 (t)} então para y(t) = S{ax 1 (t) + bx 2 (t)} temos y(t) = ay 1 (t) + by 2 (t) Convolução: y(t) = δ(t) é o impulso unitário y(t) = S{x(t)} e h(t) = S{δ(t)} h(τ)x(t τ)dτ Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 10/57

11 2. Sistemas Lineares Sistemas (Lineares) Causais; Sistemas Causais são aqueles cuja saída depende somente da entrada em instantes de tempo anteriores (ou iguais) ao atual. S : x(t) y(t) ou y(t) = S{x(t)} y(t 0 ) depende somente de x(t), para t t 0. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 11/57

12 2. Sistemas Lineares Sistemas (Lineares) Invariantes no Tempo (SLIT); Sistemas Invariantes no Tempo são que, se o sinal de entrada for deslocado no tempo, o sinal de saída também é deslocado igualmente. Quando temos y(t) = S{x(t)} y(t τ) = S{x(t τ)} Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 12/57

13 2. Sistemas Lineares Sistemas (Causais) Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT) são descritos matematicamente por equações diferenciais ordinárias Por exemplo: é equivalente a y(t) = h(τ)x(t τ)dτ ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 2 y(t) = b 1 ẋ(t) + b 2 x(t) Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 13/57

14 2. Sistemas Lineares Caminhos para análise de sistemas lineares: Plano s (Transformada de Laplace); Resposta em Frequência; Espaço de Estados. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 14/57

15 2. Sistemas Lineares: Função de Transferência Sistemas Lineares Invariantes no Tempo, Equações Diferencias e Função de Transferência; Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 15/57

16 2. Sistemas Lineares: Função de Transferência Definição; É a divisão entre a Transformada de Laplace do sinal de saída pelo sinal de entrada. É a Transformada de Laplace da resposta ao impulso do sistema. h(t) H(s) Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial, ÿ(t) + a 1 ẏ(t) + a 2 y(t) = b 1 u(t) + b 2 u(t) Y (s) U(s) = b 1s + b 2 s 2 + a 1 s + a 2 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 16/57

17 2. Sistemas Lineares: Função de Transferência Função racional (divisão de polinômios); ou Pólos e Zeros; H(s) = B(s) A(s) H(s) = b 1s + b 2 s 2 + a 1 s + a 2 Ordem dos polinômios, na e nb, ordens dos polinômios A(s) e B(s). Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 17/57

18 2. Sistemas Lineares: Função de Transferência Plano s : Contém a localização dos pólos e zeros de um sistema linear. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 18/57

19 2. Sistemas Lineares: Função de Transferência Função de transferência; H(s) = B(s) A(s) É própria, quando na nb é imprópria, quando na < nb e é estritamente própria, quando na > nb Polinômio mônico: quando o coeficiente de maior grau é 1. s 2 + a 1 s + a 2 é um polinômio mônico. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 19/57

20 2. Sistemas Lineares: Função de Transferência Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 20/57

21 2. Sistemas Lineares: Análise (Matlab) Sistemas de 1 a ordem: ẏ(t) + a 1 y(t) = bu(t) H(s) = Resposta para entradas tipo Impulso Y (s) = H(s)U(s) = y(t) = be at, t > 0 b s + a b s + a Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 21/57

22 2. Sistemas Lineares: Análise Sistemas de 1 a ordem: Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 22/57

23 2. Sistemas Lineares: Análise Resposta para entradas tipo Degrau Y (s) = b s(s + a) y(t) = b a (1 e at ), t > 0 Exemplo: H(s) = 5 s + 10 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 23/57

24 2. Sistemas Lineares: Análise Respostas transitória e permanente Teorema do valor final (quando y(t) converge para valores finitos) lim y(t) = lim sy (s) t s 0 Ganho Teorema do valor inicial H(s) s=0 lim y(t) = lim Y (s) t 0 + s Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 24/57

25 3. Especificação de Desempenho no Regime Transitório Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 25/57

26 3. Especificação de Desempenho no Regime Transitório Definições: Tempo de subida t r Tempo de pico t p Tempo de acomodação t s Sobre-elevação M p Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 26/57

27 4. Efeito de Pólos e Zeros SLIT podem ser decompostos em Frações Parciais (isto é, na soma de frações de 1 a e 2 a ordem); H(s) = B(s) na A(s) = i=1 c i s + α i Os polos são p i ( α i ) e os resíduos são c i. Se o polo p i for complexo, pode ser unido em frações de 2 a ordem. O comportamento em regime transitório depende da localização de todos polos e zeros. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 27/57

28 4. Efeito de Pólos e Zeros Exemplo: H(s) = 1 s 3 + 6s s + 6 = 1 (s + 1)(s + 2)(s + 3) H(s) = 1/2 s s /2 s + 3 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 28/57

29 4. Efeito de Pólos e Zeros: 1 a ordem H(s) = b s + a = k T s + 1 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 29/57

30 4. Efeito de Pólos e Zero: 2 a ordem H(s) = para 0 < ζ < 1, b s 2 + a 1 s + a 2 = kw 2 n s 2 + 2ζw n s + w 2 n Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 30/57

31 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem p = σ ± jw d com σ = ζw n w d = w n 1 ζ 2 ζ = cos β Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 31/57

32 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem Resposta para entradas tipo Impulso y(t) = k w2 n w d e σt sin(w d t), t > 0 Resposta para entradas tipo Degrau ( )) y(t) = k (1 e σt ζ cos(w d t) + sin(w dt), t > 0 1 ζ 2 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 32/57

33 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem H(s) = 1 s 2 + 0, 4s + 1, w n = 1 ζ = 0, 2 w d = 0, 97 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 33/57

34 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 34/57

35 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem Para sistemas de 2 a ordem (sem zeros): Tempo de subida t r (0 a 100%): t r = π β w d ; Uma aproximação do tempo de subida, de 10% a 90% e quando ξ 0, 5, é t r = 1, 8 w n Tempo de pico t p : t p = π w d ; Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 35/57

36 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem Tempo de acomodação t s : Depende da faixa selecionada, por exemplo: t s = 4, 6 σ t s = 4 σ t s = 3 σ para faixa de 1 % para faixa de 2 % para faixa de 5 % Sobre-elevação M p : ( ) ζπ 1 ζ 2 M p = e Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 36/57

37 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 37/57

38 4. Efeito de Pólos e Zeros: 2 a ordem Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 38/57

39 4. Efeito de Pólos e Zeros: Polos adicionais e Dominantes Polos Adicionais Cada polo contribui com uma parte da dinâmica/resposta final do SLIT Polos Dominantes Polos que possuem efeito dominante da resposta final do SLIT são chamados de polos dominantes. A dominância relativa é determinada pela posição dos polos e zeros. Normalmente, estes polos são: Se a relação entre a parte real dos polos excede 5 ou 10 vezes, o polo mais próximo à origem tende a ser dominante; A presença de zeros perto de polos tende a fazer com que este polo tenha sua dominância diminuida. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 39/57

40 4. Efeito de Pólos e Zeros: Polos Adicionais e Dominantes H(s) = 0, 25s + 1 2s 3 + 3s 2 + 3s + 1 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 40/57

41 4. Efeito de Pólos e Zeros: Zeros Adicionais Zeros extra A presença e/ou localização de zeros em um SLIT influenciam na resposta dos polos (nos resíduos da decomposição em frações parciais) e/ou na dominância relativa entre polos. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 41/57

42 4. Efeito de Pólos e Zeros: Atraso Atraso e Aproximação de Padé: Sistemas com atraso são sistemas cuja entrada influência na resposta do sistema segundos após de aplicada; ẏ(t) + ay(t) = bu(t τ) u(t τ) U(s)e τs São caracterizados pela presença do termo e τs na função de transferência sendo τ o atraso em segundos. Exemplo: H(s) = 5 s + 10 e τs Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 42/57

43 4. Efeito de Pólos e Zeros: Atraso Exemplo: H 1 (s) = 1 s 2 + s + 1 e H 2 (s) = 1 s 2 + s + 1 e s Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 43/57

44 4. Efeito de Pólos e Zeros: Atraso Aproximação de Padé: Está baseada em aproximar a exponencial e τs por uma função racional. Base: e x x 0 = 1 + x + x 2 /2! + x 3 /3! + Aproximações: a) e τs τs + 1 b) e τs 1 τs + 1 c) e τs τ 2 s + 1 τ 2 s + 1 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 44/57

45 4. Efeito de Pólos e Zeros: Atraso Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 45/57

46 3. Álgebra de Blocos blocos; bloco somador; bloco série ou cascata; bloco paralelo; bloco realimentação; simplificação de blocos. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 46/57

47 3. Álgebra de Blocos Exemplos: Simplificar o diagrama de blocos, exemplo 3.21 do livro (Franklin et al, 6 a ed., 2013). Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 47/57

48 4. Estabilidade H é um SLIT causal, entrada u(t) e saída y(t). Definição, BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estabilidade: H é BIBO estável se e somente se, para qualquer entrada u(t) limitada (i.e., u(t) U ), a saída for limitada ou y(t) Y (U, Y < ). Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 48/57

49 4. Estabilidade H é BIBO estável se e somente se sua resposta ao impulso h(t) satisfaz a: 0 h(t) dt < Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 49/57

50 4. Estabilidade BIBO estabilidade e os polos de H(s) H(s) = B(s) A(s) H é BIBO estável se e somente se a parte real de todos os pólos de sua função de transferência H(s) está localizada à esquerda do plano s. Real{p i } < 0 sendo p i, i = 1,..., n a são todas as raízes de A(s) (polos). Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 50/57

51 4. Estabilidade Semi-plano Esquerdo (SPE) do plano s. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 51/57

52 4. Estabilidade: Critério de Routh É um método para determinar se existem raízes no semi-plano direito de um polinômio. Pode ser aplicado para verificar a estabilidade de SLIT. Assuma: A(s) = s na + a 1 s na 1 a 2 s na a na A(s) é mônico (a 0 = 1). A(s) não possui coeficientes negativos. Neste caso, existirão raízes com parte real negativa em A(s). Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 52/57

53 4. Estabilidade: Critério de Routh A(s) = s na + a 1 s na 1 a 2 s na a na A seguinte matriz pode ser construída usando os coeficientes de A(s): s n 1 a 2 a 4 s n 1 a 1 a 3 a 5 s n 2 b 1 b 2 b 3 s n 3 c 1 c 2 c 3.. s 0 f 1 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 53/57

54 4. Estabilidade: Critério de Routh Os elementos da matriz são: [ ] [ 1 a2 1 a4 det det a 1 a 3 a 1 a 5 b 1 = b 2 = a 1 [ a1 a det 3 b 1 b 2 c 1 = b 1 e assim sucessivamente até a linha do s 0. ] [ a1 a det 5 b 1 b 3 c 2 = ] a 1 ] b 1 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 54/57

55 4. Estabilidade: Critério de Routh O polinômio A(s) possuirá todas as raízes no SPE se e somente se todos os elementos da primeira coluna da tabela do Critério de Routh forem positivos. Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 55/57

56 4. Estabilidade: Critério de Routh Exemplos: Determinar se o polinômio abaixo possui raízes no SPE. A(s) = s 6 + 4s 5 + 3s 4 + 2s 3 + 4s + 4 Solução: Ver Exemplo 3.30 livro (Franklin et al, 6 a ed., 2013). Resposta: Possui duas raízes (ocorrência de duas mudanças de sinal da tabela do critério de Routh). Exemplo 3.31 Exemplo 3.32 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 56/57

57 5. Exemplos Exemplos (Franklin et al, 6 a ed., 2013): Exemplo 3.23 Exemplo 3.24 Exemplo 3.25 Exemplo 3.29 Gustavo H. C. Oliveira Dinâmica de Sistemas Lineares 57/57