Transformada de Laplace. Transformada de Laplace (CP1) DEQ/UFSCar 1 / 76

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1 Transformada de Laplace Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar / 76

2 Roteiro I Introdução Definição da Transformada Transformada de Laplace de Algumas Funções Transformada de Derivadas Solução de Equações Diferenciais Lineares 2 Inversão por Frações Parciais Raízes Distintas, Reais ou Complexas Raízes Múltiplas 3 Solução de Equações Diferenciais Lineares com a Transformada de Laplace 4 Natureza Qualitativa das Soluções 5 Propriedades Adicionais das Transformadas de Laplace 6 Exemplos Equação Diferencial de Primeira Ordem (Geral) Equação Diferencial de Primeira Ordem Equação Diferencial de Segunda Ordem (Geral) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 2 / 76

3 Roteiro II Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Reais Diferentes) Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Complexas) Equação Diferencial de Segunda Ordem (Raízes Múltiplas) Sistema com Interação 7 Atividades Complementares Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 3 / 76

4 Introdução à Transformada de Laplace O método da Transformada de Laplace é uma ferramenta que proporciona a solução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, de maneira sistemática e relativamente simples. Uma classe importante do controle se restringe à resolução desses tipos de equações. Portanto, destaca-se a importância da Transformada de Laplace no controle de processos. A transformação de uma equação diferencial resulta em uma equação algébrica, onde a variável s substitui a variável independente (como o tempo, t). Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 4 / 76

5 Introdução à Transformada de Laplace - I F = H E C E = 6 H = I B H A = F =? A - G K =, E B A H A? E = E A I E? E = E I A + J H 5 2 H > A = H E C E = 6 H = I B H = L A H I A = F =? A - I F = 6 H = I B H A = F =? A - G K = ) C > H E? = 5 K Figura: Esquema da transformação e solução da equação diferencial Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 5 / 76

6 Definição da Transformada de Laplace A Transformada de Laplace de uma função f (t) é F (s) = L{f (t)} = A Transformada de Laplace é linear 0 f (t)e st dt L{a f (t) + a 2 f 2 (t)} = a L{f (t)} + a 2 L{f 2 (t)} Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 6 / 76

7 Transformada de Laplace de Algumas Funções Item F(s) f (t) δ(t), impulso unitário 2 u (t), degrau unitário s s 2 s n (n = 3, 4,...) s+a τs+ (s+a) n (n = 2, 3,...) (τs+) n (n = 2, 3,...) s (s+a) 2 s(s+a) s(τs+) s(τs+) n t, rampa t n (n )! e at τ e t/τ t n e at (n )! t n e t/τ τ n (n )! e at ( at) a ( e at ) e t/τ e t/τ n i=0 (t/τ) i i! Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 7 / 76

8 Transformada de Laplace de Algumas Funções Item F (s) f (t) (s+a)(s+b) (b a) (e at e bt ) (τ s+)(τ 2 s+) (τ 2 τ ) (e t/τ e t/τ 2) s (s+a)(s+b) (a b) (ae at be bt ) s+c (c a) (s+a)(s+b) (b a) e at + (c b) (a b) e bt τ 3 s+ (τ τ 3 ) (τ s+)(τ 2 s+) τ (τ τ 2 ) e t/τ + (τ 2 τ 3 ) τ 2 (τ 2 τ ) e t/τ 2 [ ] s(s+a)(s+b) ab + (a b) (be at ae bt ) e at (s+a)(s+b)(s+c) (b a)(c a) + e bt (a b)(c b) + e ct (a c)(b c) (s+d) (d a)e at (s+a)(s+b)(s+c) (b a)(c a) + (d b)e bt (a b)(c b) + (d c)e ct (a c)(b c) s 2 +a 2 a sen(at) [ cos(at)] s(s 2 +a 2 ) a 2 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 8 / 76

9 Transformada de Laplace de Algumas Funções Item F(s) f (t) s s 2 +a 2 a cos(φ)+s sen(φ) cos(at) s 2 +a 2 sen(at + φ) (s+a) 2 +b 2 s+a (s+a) 2 +b 2 b e at sen(bt) e at cos(bt) 27 e as δ(t a), impulso unitário em t = a e as s w (τs+)(s 2 +w 2 ) s 2 (τs+) ( wτ τ 2 w 2 + u (t a), degrau unitário em t = a ) e t/τ + sen(wt + θ) τ 2 w 2 + onde θ = arctg( wτ) τ(e t/τ + t/τ ) s(τ s+)(τ 2 s+) + (τ 2 τ ) (τ e t/τ τ 2 e t/τ 2) τ 3 s+ s(τ s+)(τ 2 s+) + (τ 3 τ ) (τ τ 2 ) e t/τ + (τ 3 τ 2 ) (τ 2 τ ) e t/τ 2 33 f (s)e as f (t a) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 9 / 76

10 Transformada de Laplace de Algumas Funções Inversões que Apresentam Respostas com Decaimento Oscilatório ξ < ; A = ( ξ 2 ); B = ( ξ 2 )/τ; C = ξ/τ Item F(s) f (t) τ 2 s 2 +2ξτs+ s(τ 2 s 2 +2ξτs+) τ s+ τ 2 s 2 +2ξτs+ Aτ e ct sen(bt) A e ct sen(bt + φ) onde φ = arctg ( ) B C [ Aτ 2τ C + ( τ ) ] 2 /2 τ e ct sen(bt + φ) ) onde φ = arctg ( τ B τ C Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 0 / 76

11 Transformada de Derivadas A Transformada de Laplace tem a propriedade singular de transformar a operação de diferenciação em relação a t em uma multiplicação por s: { } df (t) L = sf(s) f (0), f (0) = f (t = 0) dt { d 2 } f (t) L dt 2 = s 2 F(s) sf (0) f (0), f (0) = f (t = 0) { d n } f (t) L dt n = s n F (s) s n f (0) s n 2 f (0) sf n 2 (0) f n (0), f (i) (0) = f (i) (t = 0) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar / 76

12 Solução de Equações Diferenciais Lineares Na resolução de equações diferenciais por Transformada de Laplace, as funções f i (t) são convertidas em suas transformadas e as equações algébricas resultantes são resolvidas para as funções F i (s) desconhecidas. Segue-se o seguinte procedimento: obter a Transformada de Laplace de ambos os membros da equação (as condições iniciais são incorporadas neste passo nas transformadas das derivadas) 2 resolver algebricamente a equação resultante para a Transformada de Laplace da função desconhecida 3 achar a função de t que possui a Transformada de Laplace obtida no passo 2. Esta função satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais e, conseqüentemente, é a função desejada (obter a Transformada Inversa de Laplace, L ) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 2 / 76

13 Inversão por Frações Parciais As equações diferenciais a serem resolvidas são todas da forma geral a n d n y dt n + a d n y n dt n + + a dy dt + a 0y = b m d m u dt m + b m onde y (i) (0) = y (i) (t = 0) e u (i) (0) = u (i) (t = 0). d m u dt m + + b du dt + b 0u () A função desconhecida é y(t) (resposta do sistema). A função u(t) é chamada de função perturbação (entrada do sistema). a n, a n,, a, a 0, b m, b m,, b, b 0 são coeficientes constantes. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 3 / 76

14 Inversão por Frações Parciais Quando a Transformada de Laplace é aplicada em ambos os lados da equação (), as condições iniciais são introduzidas e, então Y (s) = c ms m + c m s m + + c s + c 0 s n + d n s n U(s) = N(s) + + d s + d 0 D(s) onde N(s) e D(s) são polinômios em s que representam o numerador e o denominador, com graus m e n, respectivamente. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 4 / 76

15 Inversão por Frações Parciais Sendo o grau de D(s) maior do que o de N(s), Y (s) pode ser expandida em frações parciais, após fatorar o polinômio D(s), tal que Y (s) = N(s) (s p )(s p 2 ) (s p n ) U(s) onde p, p 2,, p n são as raízes reais ou complexas do polinômio D(s). D(s) é conhecido como a equação característica ou polinômio característico e [p, p 2,, p n ] são os pólos do sistema representado por Y (s)/u(s). Determinadas essas raízes, o próximo passo depende da natureza de seus valores e da frequência em que elas aparecem. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 5 / 76

16 Inversão por Frações Parciais Raízes Distintas, Reais ou Complexas Quando as raízes são reais ou complexas, mas distintas, pode-se escrever Y (s) como a soma de frações parciais, com um termo para cada raiz p i : Y (s) = N(s) D(s) = N(s) (s p )(s p 2 ) (s p n ) U(s) para U(s) = (impulso unitário) (2) Y (s) = A + A A n s p s p 2 s p n (3) Para calcular o coeficiente A i, multiplique ambos os lados da equação (3) por (s p i ). Após substituir s por p i, todos os termos do lado direito da equação (3) desaparecem, com exceção de A i. Portanto, A i = [ (s p i ) N(s) D(s) ] s=p i = N(p i ) (p i p )(p i p 2 ) (p i p n ) Procedimento análogo é utilizado para encontrar os demais coeficientes. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 6 / 76

17 Inversão por Frações Parciais Raízes Distintas, Reais ou Complexas () Cada termo da expansão em frações parciais com uma raiz real resultará em um termo no domínio do tempo, tal que a Transformada Inversa de Laplace será A i s p i = L A i e p i t Existindo uma raiz complexa, necessariamente uma outra raiz é complexa conjugada da primeira: p j = a j + ıb j e p k = a k ıb k, onde a j = a k e b j = b k. A Transformada Inversa de Laplace dos pares complexos forma a expressão A j s (a j + ıb j ) + A k s (a k ıb k ) L = A j e (a j +ıb j )t + A k e (a k ıb k )t Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 7 / 76

18 Inversão por Frações Parciais Raízes Distintas, Reais ou Complexas () Aplicando a identidade trigonométrica e x+ıy = e x (cos y + ı seny) no resultado da transformada inversa, esta resulta em (A j + A k )e a j t cos(b j t) + (A j A k )e a j t ı sen(b j t) Utilizando uma outra identidade trigonométrica a cos b + a 2 senb = a 3 sen(b + φ), onde a 3 e φ são calculados de a 3 = a 2 + a2 2 e φ = tan (a /a 2 ), obtém-se 2e a j t A j A k sen(b j t + φ), com [ ] φ = tan Aj + A k (A j A k )ı Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 8 / 76

19 Inversão por Frações Parciais Raízes Múltiplas Se o polinômio D(s) apresentar raízes múltiplas, o fator (s p i ) n do denominador de Y (s) dará origem a n termos na expansão em frações parciais, tal que Y (s) = N(s) D(s) = A i, (s p i ) n + A i,2 (s p i ) n + + A i,n (s p i ) + (4) A constante A i, pode ser determinada da forma usual, pela multiplicação por (s p i ) n e fazendo s = p i. As outras constantes são determinadas por sucessivas multiplicações do resultado da diferenciação da equação (4), após substituir s por p i. Os termos apresentados na equação (4) conduzem à seguinte expressão como transformada inversa: [ Ai, (n )! tn + A ] i,2 (n 2)! tn A i,n t + A i,n e p i t Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 9 / 76

20 Solução de Equações Diferenciais Lineares com a Transformada de Laplace Resumindo: as seguintes etapas são executadas obter a Transformada de Laplace de ambos os membros da equação 2 resolver algebricamente a equação resultante 3 inversão da transformada técnica da expansão em frações parciais Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 20 / 76

21 Solução de Equações Diferenciais Lineares com a Transformada de Laplace Forma Geral: modelo LTI Em notação vetorial { ẋ = Ax + Bu, x0 = 0 y = Cx + Du Aplica-se a Transformada de Laplace em ambos os lados das duas equações do modelo LTI, substituindo X(s) obtido da resolução da primeira equação na equação da saída Y(s). Ao final obtém-se uma relação entre a saída e a entrada, Y(s)/U(s), conhecida como Função de Transferência (ou Matriz Função de Transferência), denominada de G(s): Y(s) = [C(s A) B + D]U(s) }{{} G(s) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 2 / 76

22 Solução de Equações Diferenciais Lineares com a Transformada de Laplace Essa equação permite a conversão entre a representação do sistema da forma em Espaço de Estado (LTI: domínio do t) para o da forma Função de Transferência (domínio s). Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 22 / 76

23 Natureza Qualitativa das Soluções F F A informação sobre a forma da solução y(t) pode ser diretamente obtida das raízes (pólos) do denominador de Y (s) chamado de equação característica. A natureza qualitativa da solução de y(t) está relacionada à localização das raízes (pólos) da equação característica no plano complexo: = > A E N E = C E H E F! F " >! = " > " F F $ F # = = # F " >! F! = > = " > " A E N H A = Pólos Termos em y(t) para t > 0 p A e a t p 2, p2 e a2t [A cos(b 2 t) + A 2 sen(b 2 t)] p 3, p3 A cos(b 3 t) + A 2 sen(b 3 t) p 4, p4 e a4t [A cos(b 4 t) + A 2 sen(b 4 t)] p 5 A e a 5t p 6 A A I J L A E I J L A Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 23 / 76

24 Natureza Qualitativa das Soluções Observa-se, então, que: pólos à esquerda do eixo imaginágio (semi-plano esquerdo) correspondem a respostas que decrescem exponencialmente com o tempo: sistemas estáveis pólos à direita do eixo imaginágio (semi-plano direito) correspondem a respostas que crescem exponencialmente com o tempo: sistemas instáveis pólos complexos conjugados fazem a resposta oscilar com o tempo com amplitudes decrescentes (sistemas estáveis) quando localizados no semi-plano esquerdo com amplitudes crescentes (sistemas instáveis) quando localizados no semi-plano direito com amplitudes constantes (no limite de estabilidade) quando localizados sobre o eixo imaginário Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 24 / 76

25 Natureza Qualitativa das Soluções pólos sobre a origem indicam uma resposta constante no tempo é óbvio que para uma dada entrada, u(t), deve-se considerar as raízes adicionais introduzidas pelo denominador de U(s) para se ter um quadro completo da resposta qualitativa do sistema Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 25 / 76

26 Conversão Entre LTI e Função de Transferência estudo de caso Tanque de Aquecimento com Agitação O modelo LTI (espaço de estado) (ḣ ) ( ) ( ) 0, 0 0 h = + Ṫ 0, 30 T }{{}}{{}}{{} ẋ A x Fi ( ) Ti, 00 0, Fi2 86, 52 0, 0 84, 52 0, 0 90, 04, 0 }{{} Ti2, x 0 = 0 Fst B Tst }{{} u ( ) ( ) ( ) h 0 h = T 0 T }{{}}{{}}{{} y C x Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 26 / 76

27 Conversão Entre LTI e Função de Transferência estudo de caso () Tanque de Aquecimento com Agitação pode ser transformado em modelo na forma função de transferência, utilizando Y(s) = [C(s A) B + D]U(s) }{{} G(s) cuja Matriz Função de Transferência, G(s), é calculada utilizando as instruções no MATLAB sysss=ss(a,b,c,d) % cria modelo em espaço de estado systf=tf(sysss) % cria modelo em função de transferência ou instruções equivalentes no SCILAB sysss=syslin( c,a,b,c) // cria modelo contínuo (c) em espaço de estado com D = 0 systf=ss2tf(sysss) // cria modelo em função de transferência Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 27 / 76

28 Conversão Entre LTI e Função de Transferência estudo de caso () Tanque de Aquecimento com Agitação ( ) h(s) = T (s) }{{} Y(s) ( s+0,0 0 86,52 0,0 84,52 s+,30 s+,30 s+,30 s+0, ,0 s+,30 90,04 s+,30,0 s+,30 } {{ } G(s) Fi(s) ) Ti(s) Fi2(s) Ti2(s) Fst(s) Tst(s) }{{} U(s) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 28 / 76

29 Conversão Entre LTI e Função de Transferência estudo de caso () Tanque de Aquecimento com Agitação mostrando as 2 6 funções de transferências entre as 2 saídas [h(s)t (s)] T e as 6 entradas [Fi(s)Ti(s)Fi2(s)Ti2(s) Fst(s)Tst(s)] T, Y i (s) U j (s) : h(s) Fi(s) = s + 0, 0 h(s) Ti(s) = 0 h(s) Fi2(s) = s + 0, 0 h(s) Ti2(s) = 0 h(s) Fst(s) = 0 h(s) Tst(s) = 0 T (s) 86, 52 = Fi(s) s +, 30 T (s) 0, 0 = Ti(s) s +, 30 T (s) 84, 52 = Fi2(s) s +, 30 T (s) 0, 0 = Ti2(s) s +, 30 T (s) 90, 04 = Fst(s) s +, 30 T (s), 0 = Tst(s) s +, 30 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 29 / 76

30 Propriedades Adicionais das Transformadas de Laplace Propriedades selecionadas de acordo com sua aplicabilidade em teoria de controle, lembrando que F (s) = L{f (t)}: Teorema do Valor Final lim [f (t)] = lim [sf(s)] t s 0 desde que sf(s) seja finita. Caso contrário, f (t) não apresenta limite quando t. Teorema do Valor Inicial Translação da Transformada lim[f (t)] = lim [sf(s)] t 0 s L{e at f (t)} = F (s + a) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 30 / 76

31 Propriedades Adicionais das Transformadas de Laplace B J Transformada de uma Integral Translação da Função B J { t } L f (t)dt = F (s) 0 s L{f (t t 0 )} = e t 0s F(s) B J J J Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 3 / 76

32 Equação Diferencial de Primeira Ordem Exemplo Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem a dy dt + a 0y = b 0 u, y(t = 0) = y(0) com a, a 0, b 0 0, y(0) = 0 e u é um degrau de amplitude A. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 32 / 76

33 Equação Diferencial de Primeira Ordem Solução a dy dt + a 0y = b 0 u, y(0) = 0 Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação: { } dy L a dt + a 0y = L{b 0 u} a sy (s) y(0) }{{} + a 0Y (s) = b 0 U(s) =0 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 33 / 76

34 Equação Diferencial de Primeira Ordem Resolvendo a equação no domínio da Transformada: a sy (s) + a 0 Y (s) = b 0 U(s) (a s + a 0 ) Y (s) = b 0 U(s) Y (s) = b 0 U(s) Y (s) a s + a 0 U(s) = b 0 a s + a 0 ou Y (s) U(s) = b 0 a 0 Substituindo u pelo degrau de amplitude A: Y (s) U(s) = Y (s) = a a 0 s + (a 0 0 e pólo p = a 0 /a ) b 0 a 0 a a 0 s + Y (s) = b 0 a 0 A s( a a 0 s + ) b 0 a 0 a a 0 s + Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 34 / 76 A s

35 Equação Diferencial de Primeira Ordem Costuma-se chamar b 0 a 0 = K p e a a 0 = τ p. Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = K p A s(τ p s + ) L = y(t) = K p A ( e t/τp) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 35 / 76

36 Equação Diferencial de Primeira Ordem Exemplo Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de primeira ordem a dy dt + a 0y = b 0 u, y(t = 0) = y(0) com a = a 0 = b 0 =, y(0) = 0 e u é um degrau de amplitude unitário. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 36 / 76

37 Equação Diferencial de Primeira Ordem Solução a dy dt + a 0y = b 0 u, y(0) = 0 Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação: { } dy L a dt + a 0y = L{b 0 u} a sy (s) y(0) }{{} + a 0Y (s) = b 0 U(s) =0 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 37 / 76

38 Equação Diferencial de Primeira Ordem Resolvendo a equação no domínio da Transformada: a sy (s) + a 0 Y (s) = b 0 U(s) (a s + a 0 ) Y (s) = b 0 U(s) Y (s) = b 0 U(s) Y (s) a s + a 0 U(s) = b 0 a s + a 0 ou Y (s) U(s) = b 0 a 0 a a 0 s + (a 0 0 e pólo p = a 0 /a ) Substituindo os coeficientes a = a 0 = b 0 = e u pelo degrau unitário: Y (s) U(s) = Y (s) = b 0 a 0 s + s a a 0 s + Y (s) = s(s + ) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 38 / 76

39 Equação Diferencial de Primeira Ordem Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = s(s + ) L = y(t) = e t Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 39 / 76

40 Equação Diferencial de Segunda Ordem Exemplo Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segunda ordem d 2 y a 2 dt 2 + a dy dt + a 0y = b 0 u, y(t = 0) = y(0) e y (t = 0) = y (0) com a 2, a, a 0, b 0 0 e y(0) = y (0) = 0 e u é um degrau de amplitude A. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 40 / 76

41 Equação Diferencial de Segunda Ordem Solução d 2 y a 2 dt 2 + a dy dt + a 0y = b 0 u, y(0) = y (0) = 0 Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação: { d 2 y L a 2 a 2 } dy dt + a 0y dt 2 + a = L {b 0 u} s2 Y (s) s y(0) y (0) }{{}}{{} + a sy (s) y(0) }{{} + a 0Y (s) = b 0 U(s) =0 =0 =0 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 4 / 76

42 Equação Diferencial de Segunda Ordem Resolvendo a equação no domínio da Transformada: a 2 s 2 Y (s) + a sy (s) + a 0 Y (s) = b 0 U(s) (a 2 s 2 + a s + a 0 ) Y (s) = b 0 U(s) Y (s) = ou Y (s) U(s) = b 0 a 2 s 2 U(s) Y (s) + a s + a 0 U(s) = b 0 a 2 s 2 + a s + a 0 b 0 a 0 a 2 a 0 s 2 + a a 0 s + com a 0 0 e pólos p = p 2 = ( a + ( ) a a 2 4a 2a 0 /a a 2 4a 2a 0 ) /a e Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 42 / 76

43 Equação Diferencial de Segunda Ordem Substituindo u pelo degrau de amplitude A: Y (s) U(s) = Y (s) = b 0 a 0 a 2 a 0 s 2 + a a 0 s + Y (s) = b 0 a 0 A s( a 2 a 0 s 2 + a a 0 s + ) b 0 a 0 a 2 a 0 s 2 + a a 0 s + A s Costuma-se chamar b 0 a 0 = K p, a 2 a 0 = τp 2 e a a 0 = 2ζτ p. Neste caso, os pólos são descritos como p = ( p 2 = ζ ) ζ 2 /τ p. ( ζ + ζ 2 ) /τ p e Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 43 / 76

44 Equação Diferencial de Segunda Ordem Quando ζ =, os pólos são reais e iguais a p = p 2 = /τ p. Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = Y (s) = K p A s(τ 2 p s 2 + 2ζτ p s + ) = K p A s(τ p s + ) 2 L = y(t) = K p A K p A s(τ p s + )(τ p s + ) [ ( + t τ p ) e t/τp ] Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 44 / 76

45 Equação Diferencial de Segunda Ordem Quando ζ >, os pólos são reais e distintos: p = ( e p 2 = ζ ) ζ 2 /τ p. ( ζ + ) ζ 2 /τ p Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Y (s) = K p A s(τ 2 p s 2 + 2ζτ p s + ) = Y (s) = L y(t) = K p A onde τ p = ( ζ + ζ 2 K p A s(τ p s + )(τ p2 s + ) [ ( τ p τ τp p2 e t/τ p τ p2 e t/τ ) ] p2 ) ) τ p e τ p2 = ( ζ ζ 2 τ p Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 45 / 76

46 Equação Diferencial de Segunda Ordem Quando ( ζ <, os pólos são complexos conjugados: p = ζ + ) ( ζ 2 /τ p e p 2 = ζ ) ζ 2 /τ p. Calculando a transformada inversa de Y (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: K p A Y (s) = s(τp 2 s 2 + 2ζτ p s + ) Y (s) = L y(t) = K p A w = ζ 2 τ p φ = arctg ( ) ζ 2 ζ [ ζ 2 e ζt/τp sen(wt + φ) ], onde Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 46 / 76

47 Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes Exemplo Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segunda ordem d 2 x a 2 dt 2 + a dx dt + a 0x = b 0 u, x(t = 0) = x(0) e x (t = 0) = x (0) com a 2 =, a = 5, a 0 = 4, b 0 = e x(0) = x (0) = e u é um impulso unitário. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 47 / 76

48 Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes Solução d 2 x dt 2 + 5dx dt + 4x = u, x(0) = x (0) = Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação: { d 2 } x L dt 2 + 5dx dt + 4x = L{δ(t)} s2 X(s) s x(0) x (0) }{{}}{{} + 5 sx(s) x(0) + 4X(s) }{{} = = = = Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 48 / 76

49 Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes Resolvendo a equação no domínio da Transformada: s 2 X(s) + 5sX(s) + 4X(s) = s (s 2 + 5s + 4)X(s) = s + 5 X(s) = s + 5 s 2 + 5s + 4 Após fatorar o denominador de X(s), pode-se expandir X(s) em duas frações parciais X(s) = s 2 + 5s + 4 = (s + 4)(s + ) s + 5 A = (s + 4)(s + ) s A 2 s + Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 49 / 76

50 Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes Os coeficientes A e A 2 podem ser determinados da seguinte maneira: A : multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais por s + 4, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 4 (uma das raízes do denominador de X(s)) s + 5 (s + 4)(s + ) (s + 4) = A s + 4 (s + 4) + A 2 (s + 4) s + s + 5 s + = A + A 2 (s + 4) s + s = 4 A = = 3 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 50 / 76

51 Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes A 2 : de maneira análoga, multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais por s +, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = (uma das raízes do denominador de X(s)) s + 5 (s + 4)(s + ) (s + ) = A s + 4 (s + ) + A 2 (s + ) s + s + 5 s + 4 = A s + 4 (s + ) + A 2 s = A 2 = = 4 3 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 5 / 76

52 Inversão por Frações Parciais: raízes reais diferentes Calculando a transformada inversa de cada termo de X(s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Desta forma, /3 s + 4 4/3 s + L = 3 e 4t L = 4 3 e t x(t) = 3 e t [ 4 e 3t] Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 52 / 76

53 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Exemplo Obtenha a solução da seguinte equação diferencial linear de segunda ordem d 2 x a 2 dt 2 + a dx dt + a 0x = b 0 u, x(t = 0) = x(0) e x (t = 0) = x (0) com a 2 =, a = 2, a 0 = 5, b 0 = 2 e x(0) = x (0) = e u é um impulso unitário. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 53 / 76

54 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Solução d 2 x dt 2 2dx dt + 5x = 2u, x(0) = x (0) = Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação: { d 2 } x L dt 2 2dx dt + 5x = 2L{δ(t)} s2 X(s) s x(0) x (0) }{{}}{{} 2 [sx(s) x(0) }{{} + 5X(s) = 2 = = = Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 54 / 76

55 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Resolvendo a equação no domínio da Transformada: s 2 X(s) 2sX(s) + 5X(s) = s (s 2 2s + 5)X(s) = s + X(s) = s + s 2 2s + 5 Após fatorar o denominador de X(s), pode-se expandir X(s) em duas frações parciais X(s) = s 2 2s + 5 = [s ( + ı2)][s ( ı2)] s + A = [s ( + ı2)][s ( ı2)] s ( + ı2) + A 2 s ( ı2) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 55 / 76

56 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Os coeficientes A e A 2 podem ser determinados da seguinte maneira: A : multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais por s ( + ı2), simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = + ı2 (uma das raízes do denominador de X(s)) s + [s ( + ı2)] = [s ( + ı2)][s ( ı2)] A s ( + ı2) [s ( + ı2)] + A 2 [s ( + ı2)] s ( ı2) s + s ( ı2) = A A 2 + [s ( + ı2)] s ( ı2) + ı2 + s = + ı2 A = + ı2 ( ı2) = 2 + ı2 2ı2 = ı 2 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 56 / 76

57 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas A 2 : de maneira análoga, multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais por s ( ı2), simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = ı2 (uma das raízes do denominador de X(s)) s + [s ( ı2)] = [s ( + ı2)][s ( ı2)] A s ( + ı2) [s ( ı2)] + A 2 [s ( ı2)] s ( ı2) s + s ( + ı2) = A s ( + ı2) [s ( ı2)] + A 2 s = ı2 A 2 = ı2 + ı2 ( + ı2) = 2 ı2 2ı2 = + ı 2 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 57 / 76

58 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Calculando a transformada inversa de cada termo de X(s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: ( ı)/2 s ( + ı2) ( + ı)/2 s ( ı2) L = ı 2 e(+ı2)t L = + ı 2 e( ı2)t Assim, x(t) = ı 2 e(+ı2)t + + ı 2 e( ı2)t Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 58 / 76

59 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Utilizando a identidade trigonométrica e x+ıy = e x (cos y + ı seny): x(t) = ı 2 x(t) = et 2 + ı 2 { e t [cos(2t) + ı sen(2t)] } + et cos( 2t) +ı sen( 2t) } {{ } =cos(2t) }{{} = sen(2t) {( ı)[cos(2t) + ı sen(2t)] + ( + ı)[cos(2t) ı sen(2t)]} x(t) = e t [cos(2t) + sen(2t)] Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 59 / 76

60 Inversão por Frações Parciais: raízes complexas Utilizando a identidade trigonométrica a cos b + a 2 senb = a 3 sen(b + φ), onde a 3 e φ são calculados de a 3 = a 2 + a2 2 e φ = tan (a /a 2 ): x(t) = e t 2 sen(2t + φ) ( ) φ = arctg = 45 o Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 60 / 76

61 Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas Exemplo Obtenha a transformada inversa de X(s) = (s + 2)(s + ) 3 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 6 / 76

62 Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas Solução Pode-se expandir X(s) em suas frações parciais: X(s) = (s + 2)(s + ) 3 = A s A 2 (s + ) 3 + A 3 (s + ) 2 + A 4 s + Os coeficientes A e A 4 podem ser determinados da seguinte maneira: A : multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais por s + 2, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 2 (uma das raízes do denominador de X(s)) (s + 2)(s + ) (s + 2) = A 3 s + 2 (s + 2) + A 2 (s + 2) (s + ) 3 A 3 (s + ) (s + 2) + A 4 (s + 2) 2 s + (s + ) = A A (s + ) (s + 2) + A 3 3 (s + ) (s + 2) + A 4 (s + 2) 2 s + s = 2 A = ( 2 + ) = 3 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 62 / 76

63 Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas A 2 : multiplicam-se ambos os lados da expansão em frações parciais por (s + ) 3, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = (uma das raízes do denominador de X(s)) (s + 2)(s + ) 3 (s + )3 = A s + 2 (s + )3 + A 2 (s + ) 3 (s + )3 + A 3 (s + ) 2 (s + )3 + A 4 (s + )3 s + s + 2 = A s + 2 (s + )3 + A 2 + A 3 (s + ) + A 4 (s + ) 2 (5) s = A 2 = + 2 = Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 63 / 76

64 Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas A 3 : derivam-se ambos os lados da equação (5) com relação a s e faz-se s = (uma das raízes do denominador de X(s)) na equação resultante (s + 2) 2 = A (s + ) 2 (2s + 5) (s + 2) 2 + A 3 + 2A 4 (s + ) (6) s = A 3 = ( + 2) 2 = A 4 : derivam-se ambos os lados da equação (6) com relação a s e faz-se s = (uma das raízes do denominador de X(s)) na equação resultante 2 (s + 2) 3 = A 2(s + ) s2 + 5s + 7 (s + 2) 3 + 2A 4 s = A 4 = 2 2( + 2) 3 = Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 64 / 76

65 Inversão por Frações Parciais: raízes múltiplas Calculando a transformada inversa de cada termo de X(s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: Desta forma, L = e 2t s + 2 L (s + ) 3 = t2 e t 2 L (s + ) 2 = te t s + L = e t x(t) = e t ( t + t2 2 e t ) Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 65 / 76

66 Sistema com Interação Exemplo Obtenha a solução do conjunto de equações diferenciais lineares dx dt dx 2 dt = 2x + 3x 2 +, x (0) = 0 = 2x + x 2 + e t, x 2 (0) = 0 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 66 / 76

67 Sistema com Interação Solução Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados das equações: { dx dt = 2x + 3x 2 +, x (0) = 0 dx 2 dt = 2x + x 2 + e t, x 2 (0) = 0 { } L dx dt = L{2x + 3x 2 + } { } L dx2 dt = L{2x + x 2 + e t } sx (s) x (0) = 2X }{{} (s) + 3X 2 (s) + s =0 sx 2 (s) x 2 (0) }{{} =0 = 2X (s) + X 2 (s) + s Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 67 / 76

68 Sistema com Interação Resolvendo o sistema de equações no domínio da Transformada: { sx (s) 2X (s) 3X 2 (s) = s sx 2 (s) 2X (s) X 2 (s) = s { (s 2)X (s) 3X 2 (s) = s 2X (s) + (s )X 2 (s) = s ] [ (s 2) 3 2 (s ) [ X (s) X 2 (s) ] = ] [ X (s) X 2 (s) [ (s 2) 3 2 (s ) = [ s s ] [ s s ] ] Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 68 / 76

69 Sistema com Interação A matriz inversa de [ (s 2) 3 2 (s ) Portanto, [ X (s) X 2 (s) ] = X (s) = X 2 (s) = ] = [ (s ) 3 (s 2)(s ) 6 2 (s 2) [ (s ) 3 (s 2)(s ) 6 2 (s 2) s s + 3 s (s 2)(s ) 6 = (s ) 2 +3s 2 s + s 2 s (s 2)(s ) 6 = ] [ s s (s 2 3s 4)s(s ) = s 2 +s+ s(s )(s 4)(s+) 2(s )+s(s 2) (s 2 3s 4)s(s ) = s 2 2 s(s )(s 4)(s+) ] ] Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 69 / 76

70 Sistema com Interação Pode-se expandir X (s) e X 2 (s) em suas frações parciais { s X (s) = 2 +s+ s(s )(s 4)(s+) = A s + A 2 s + A 3 s 4 + A 4 s+ s X 2 (s) = 2 2 s(s )(s 4)(s+) = B s + B 2 s + B 3 s 4 + B 4 s+ Os coeficientes A a A 4 e B a B 4 podem ser determinados da seguinte maneira: Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 70 / 76

71 Sistema com Interação A e B : multiplicam-se ambos os lados das expansões em frações parciais por s, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 0 (uma das raízes do denominador de X (s) e X 2 (s)): { s 2 +s+ s(s )(s 4)(s+) s = A s s + A 2 s s + A 3 s 4 s + A 4 s 2 2 s(s )(s 4)(s+) s = B s s + B 2 s s + B 3 s 4 s + B 4 s+ s { s 2 +s+ (s )(s 4)(s+) = A + A 2 s s + A 3 s 4 s + A 4 s 2 2 (s )(s 4)(s+) = B + B 2 s s + B 3 s 4 s + B 4 { A = s = 0 B = ( )( 4)() = 4 2 ( )( 4)() = 2 s+ s s+ s s+ s Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 7 / 76

72 Sistema com Interação A 2 e B 2 : multiplicam-se ambos os lados das expansões em frações parciais por s, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = (uma das raízes do denominador de X (s) e X 2 (s)): s 2 +s+ s(s )(s 4)(s+) (s ) = A s (s ) + A 2 s (s ) + A 3 s 4 (s )+ A 4 s+ (s ) s 2 2 s(s )(s 4)(s+) (s ) = B s (s ) + B 2 { s 2 +s+ s(s 4)(s+) = A B 4 s+ (s ) s (s ) + B 3 s 4 s (s ) + A 2 + A 3 s 4 (s ) + A 4 s+ (s ) s 2 2 s(s 4)(s+) = B s (s ) + B 2 + B 3 s 4 (s ) + B 4 s+ (s ) { ++ A2 = ()( 4)(+) s = = 2 B 2 = 2 ()( 4)(+) = 6 (s )+ Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 72 / 76

73 Sistema com Interação A 3 e B 3 : multiplicam-se ambos os lados das expansões em frações parciais por s 4, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = 4 (uma das raízes do denominador de X (s) e X 2 (s)): s 2 +s+ s(s )(s 4)(s+) (s 4) = A s (s 4) + A 2 s (s 4) + A 3 s 4 (s 4)+ A 4 s+ (s 4) s 2 2 s(s )(s 4)(s+) (s 4) = B s (s 4) + B 2 { s 2 +s+ s(s )(s+) = A B 4 s+ (s 4) s (s 4) + B 3 s 4 (s 4)+ s (s 4) + A 2 s (s 4) + A 3 + A 4 s+ (s 4) s 2 2 s(s )(s+) = B s (s 4) + B 2 s (s 4) + B 3 + B 4 s+ (s 4) { A3 = 6+4+ s = 4 B 3 = (4)(4 )(4+) = (4)(4 )(4+) = 7 30 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 73 / 76

74 Sistema com Interação A 4 e B 4 : multiplicam-se ambos os lados das expansões em frações parciais por s +, simplificam-se os termos semelhantes e faz-se s = (uma das raízes do denominador de X (s) e X 2 (s)): s 2 +s+ s(s )(s 4)(s+) (s + ) = A s (s + ) + A 2 s (s + ) + A 3 s 4 (s + )+ A 4 s+ (s + ) s 2 2 s(s )(s 4)(s+) (s + ) = B s (s + ) + B 2 { s 2 +s+ s(s )(s 4) = A B 4 s+ (s + ) s (s + ) + B 3 s 4 (s + )+ s (s + ) + A 2 s (s + ) + A 3 s 4 (s + ) + A 4 s 2 2 s(s )(s 4) = B s (s + ) + B 2 s (s + ) + B 3 s 4 (s + ) + B 4 { +( )+ A4 = s = 0 ( )( )( 4) = B 4 = 2 ( )( )( 4) = 0 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 74 / 76

75 Sistema com Interação Calculando a transformada inversa de cada termo de X (s) e X 2 (s) utilizando uma tabela de Transformada de Laplace: /4 L s = /2 L 4 s = 2 /2 L X (s) s = et /6 L 2 X L = 2 (s) s = et 6 7e4t 7/30 L = 7e4t Desta forma, 7/20 s 4 /0 s+ 20 L = e t 0 s 4 /0 s+ x (t) = 4 et 2 + 7e4t 20 e t 0 x 2 (t) = 2 + et 6 + 7e4t 30 + e t 0 30 L = e t 0 Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 75 / 76

76 Leitura I Leitura Complementar Próxima aula: apostila do Prof. Wu a, capítulo 0 (volume I). livro do Stephanopoulos b, capítulo 0. livro do Seborg et al. c, capítulo 5. a Kwong, W. H., Introdução ao Controle de Processos Químicos com MATLAB. Volumes I e II, EdUFSCar, São Carlos, Brasil, b Stephanopoulos, G., Chemical Process Control. An Introduction to Theory and Practice. Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA, 984. c Seborg, D. E., Edgar, T. F., Mellichamp, D. A., Process Dynamics and Control. st Edition, John Wiley, New York, USA, 989. Transformada de Laplace (CP) DEQ/UFSCar 76 / 76