Transformadas de Laplace Engenharia Mecânica - FAENG. Prof. Josemar dos Santos

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1 Engenharia Mecânica - FAENG SISTEMAS DE CONTROLE Prof. Josemar dos Santos

2 Sumário Transformadas de Laplace Teorema do Valor Final; Teorema do Valor Inicial; Transformada Inversa de Laplace; Expansão em Frações Parciais; Resolução de EDO s.

3 TEOREMA DO VALOR FINAL Relacionado ao comportamento em regime permanente de f(t ganho estacionário da função TEOREMA: Se uma transformada ada de Laplace ace é multiplicada por s, s,o valor do produto fazendo s tender a zero é o valor da transformada inversa com t tendendo a infinito f ( = f ( t = sf ( s lim lim t s 0 3

4 TEOREMA DO VALOR INICIAL Não fornece o valor de f(t em t = 0, mas num tempo ligeiramente superior a ZERO TEOREMA: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto fazendo s tender a infinito é o valor da transformada inversa com t tendendo a zero + ( 0 = ( = ( lim f f t sf s t 0 lim s 4

5 TEOREMA DO VALOR INICIAL Gs ( = 5s + s( 5s+ 4 G 5 = = s + lim = 5 s 4 ( + 0 lim sg ( s s s + G ( sg( s = = lim s 0 5s + lim = 5 s + 4 s 0 5

6 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE O método mais conveniente é utilizar a tabela de transformadas inversas A função deve estar numa forma reconhecível na tabela SeatransformadaF(snãopuder ser encontrada diretamente na tabela, deve-se expandir em frações parciais para obter funções com transformadas conhecidas 6

7 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS O denominador deve ser fatorado O numerador deve ser, pelo menos, um grau abaixo do denominador Quando o grau do numerador for igual ou maior que o denominador, o numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que seja pelo menos um grau abaixo do denominador 7

8 TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS - FATORES LINEARES NO DENOMINADOR Expressão: ( G s = z ( s ( s+ p ( s+ p ( s+ p... n p i (i = :n raízes distintas 8

9 TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS - FATORES LINEARES NO DENOMINADOR (Cont. Frações Parciais: G s A B N = s + p s + p s + p (... n ( ( A = lim s + p G s s p ( ( B = lim s + p G s s p ( ( N = lim s + pn G s s p n 9

10 TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR Expressão: ( G s = z ( s k ( s+ p ( s+ p ( s+ p... n k raízes iguais 0

11 TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR Frações Parciais: ( G s A A i Ak B N = s + p s + p s + p k ( s + p ( s + p ( ( n i n

12 TIPOS DE FRAÇÕES PARCIAIS - FATORES LINEARES REPETIDOS NO DENOMINADOR Frações Parciais: k ( p ( A = lim s + p G s k s p d A k = lim s+ p G s s p ds ( k k ( ( A s p G s ds d k = lim ( k ( + ( s p ( ( B = lim s + p G s s p ( ( N = lim s + pn G s s p n

13 EXPANÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS EXEMPLOS Exemplo ( G s = ( s ( s+ ( s+ ( s+ 3 s s s s = Gs ( A = + s B C D + + ( s + ( s + ( s + 3 3

14 EXPANÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS EXEMPLOS Exemplo A= lim ( s+ = 0 s 0 0 s( s + ( s + ( s B= lim ( s+ = s s( s + ( s + ( s + 3 C = lim ( s + = s ss ( + ( s+ ( s+ 3 D= lim + = ( s s 3 3 ss ( + ( s+ ( s

15 EXPANÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS EXEMPLOS Exemplo G ( s = s ( s+ + 6 ( s+ 6( s+ 3 5

16 EXPANÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS EXEMPLOS Exemplo G s s + ( 4s 4 s + ( = = s s + + ( s s+ Gs ( A B C = + + s ( s + ( s + 6

17 EXPANÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS EXEMPLOS Exemplo s + B= lim ( s+ 0 = s 0 s ( s + 4 A A d s d s = lim + = lim = lim = s ds s ds s s s + + ( s+ s( s+ 4 s+ s+ = + = = s s s+ s ( lim ( s lim s 7

18 EXPANÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS EXEMPLOS Exemplo G ( s = + 4s 4( s+ ( s + 8

19 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE PROCEDIMENTO - Transformar cada termo da equação diferencial em sua transformada de Laplace - Pesquisar todas as manipulações Exemplo: Comportamento quando um degrau é aplicado ao sistema 3 - Converter a função de Laplace em uma função do tempo através da transformada inversa. Freqüentemente é necessário expandir em frações parciais 9

20 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE 0

21 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Seja a equação diferencial 3 d y( t d y( t dy( t ( ( yt = ut dt dt dt com as seguintes condições iniciais d y dt ( ( 0 dy 0 = 0, = 0, y( 0 = 0 dt aplique um degrau unitário em u u(t =

22 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Etapa ( Aplicação da Transformada de Laplace d 3 y t d y t dy t + dt 3 dt + dt ( ( ( L 6L L + 6L yt = L[ ut ] [ ( ] ( ( ( sys ( sy( s dy 3 0 d y 0 0 dt dt 6 s y( s sy( 0 + ( dy 0 dt + [ sy( s y( ] y( s u( s =

23 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Etapa ( Aplicação da Transformada de Laplace sys 3 ( + 6sys ( + sys ( + 6ys ( = us ( y ( s = u ( s s 3 + 6s + s+ 6 L[ ut ( ] = us ( = s 3

24 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Etapa ( Operação com a função de transferência ( ys = 3 s + 6s + s + 6 s y ( s = ( ss s s ys ( = ss ( + ( s+ ( s+ 3 4

25 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Etapa 3a ( Expansão em Frações Parciais ys ( A B C D = s ( s + ( s + ( s + 3 A= lim ( s + 0 s 0 B= lim ( s+ s ss ( + ( s+ ( s+ 3 = 6 ss ( + ( s+ ( s+ 3 = 5

26 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Etapa 3a ( Expansão em Frações Parciais C= lim ( s+ s = s( s + ( s + ( s + 3 D= lim ( s + 3 s ss ( + ( s+ ( s+ = y ( s = 6s ( s+ + ( s+ 6( s+ 3 6

27 SOLUÇÃO DE EDO s POR LAPLACE EXEMPLO Etapa 3b (Aplicação da Transformada Inversa de Laplace - [ y( s ] = 6 s ( s+ + ( s+ 6 ( s+ 3 L L L L L y ( t = e + e e 6 6 t t 3 t 7

28 ATIVIDADE 0 8