Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto

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1 Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto 28

2 Sistemas Lineares de Tempo Discreto Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e que a equação do sistema envolva apenas operadores lineares. Pode se utilizar a superposição para um sistema com condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear. Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas adicionais. 29

3 Sistemas Lineares de Tempo Discreto Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero (devido apenas à entrada). Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas lineares na presença de condições iniciais distintas de zero. Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero obedecem à superposição. 30

4 Sistemas Invariante de Tempo Discreto Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada x[n] e não do instante de tempo que é aplicada y[n] sin(a.x[n]) n n n Deslocamento na entrada duas unidades de tempo n Deslocamento na saída duas unidades de tempo 31

5 Exemplo 1 Determinar se o sistema é invariante no tempo y[n] sin( x[n]) SOLUÇÃO: Para uma entrada x1[n] a saída do sistema é : y1[n] sin( x1[n]) (1) Considerando-se uma entrada x2 [n] x1 [n n0 ], a saída é : y2 [n] sin( x2 [n]) sin( x1[n n0 ]) (2) Para um deslocamento da saída y1[n] y1[n no ] sin( x1[n no ]) Comparando (2) e (3): y2 [n] y1[n no ] Portanto, o sistema é invariante no tiempo (3) SLIT

6 Exemplo 2 Determinar se o sistema é invariante no tempo y[n] nx[n] SOLUÇÃO: Para uma entrada x1[n] a saída do sistema é : y1[n] nx1[n] (1) Considerando-se uma entrada x2 [n] x1[n n0 ], a saída é : y2 [n] nx2 [n] nx1[n n0 ] (2) Para um deslocamento da saída y1[n] y1[n no ] (n no ) x1[n no ] Comparando-se (2) e (3) : y2 [n] y1[n no ] Portanto, o sistema é variante no tempo (3) SLIT

7 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Sistemas em tempo discreto podem ser descritos com equações em diferença que relacionam a entrada e a saída. y[n] 1 1 y[n 1] y[n 2] 4 x[n]

8 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo discreto, deve-se considerar que: Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída trazem como consequência a não linearidade do sistema. Um termo constante também torna não linear o sistema. Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções explícitas de n tornam o sistema variante no tempo. As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar, por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no tempo. 35

9 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos de uma somatória de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo. 36

10 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes x[n]= + 7 [n+2] + 5 [n+1] + 3 [n] + 5 [n 1] +... x[n]= +x[ 2] [n+2] + x[ 1] [n+1] + x[0] [n] + x[1] [n 1] +... x[n] x[k ] [n k ] k 37

11 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a um impulso localizado no instante k [n-k] T{ } T n k hhkk[n]n Sendo o sistema invariante no tempo: hk n T n k h n k 38

12 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos x[n] x n x k n k k T{ } y[n] y n T x k n k k y n x k T n k k y n x k h n k k 39

13 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Somatoria da Convolução y n k k x k h n k h k x n k y n x n h n h[n]* x[n] Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução. 40

14 Exemplo da Convolução de um SLIT y ( n) h(i) x(n i) i 41

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20 Resultado da Convolução y ( n) h(i) x(n i) i O método da convolução permite encontrar a resposta do sistema a uma entrada arbitraria, conhecendo-se previamente a resposta ao impulso h[n]. 47