Processamento de Sinais 2013/14
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- Pedro Henrique Salgado Mirandela
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1 Processamento de Sinais / Instituto Superior Técnico MEAer Respostas ao. Exame 7 de Janeiro de Nota: As respostas dadas são apenas sumariamente justificadas, destinando-se a validar as resoluções dos alunos.. [Transformada de Fourier, projecto de filtros] Considere o sinal xn) cuja transformada de Fourier é dada por Xe jω cos ωn), ω ) N, N N < ω., N onde S /N ω) Xe jω ) ejωn S /N ω) + e jωn S /N ω),, ω, N N, < ω. F Pela propriedade de modulação da transformada de Fourier s /N n) sin N cos N cos N }} xn) s /Nn + N) + s /N n N) sin N + ) }} sin + N ) + N) N) cos N n + N ) N cos N n N N n ) O sinal decai assimptoticamente para zero com /n. He jω ) N Xejω ) Y e jω ), com Y e jω ), ω,, < ω.. Portanto, He jω ) é a convolução de uma arcada de sinusoide Xe jω ) com um rectângulo de amplitude unitária Y e jω ).
2 A largura de banda total de He jω ) é, enquanto o patamar constante em torno da origem tem largura. c) Quanto mais suave for o andamento no domínio da frequência, mais rápido será o decaimento do sinal no domínio do tempo. Portanto hn) decai para zero mais depressa que o sinc de um passa-baixo ideal, e para uma dada precisão de aproximação pode assim ser truncado mais cedo, conduzindo a um filtro FIR de ordem mais baixa. d) Por exemplo, com ripple máximo de db na banda passante e atenuação mínima de db na banda de atenuação poderia especificar-se: ω p, δ p δp., ω s, δ s.. e) Após transformação bilinear com T ) ωp ) ) ) Ω p tan tan 6.5, Ω s tan.7. Factores de discriminação e selectividade: [ δp ) ] / d δs 5., κ Ω p Ω s. Ordem e frequência de corte:.66 Ω p [ δp ) ] N N log d. N 5, log κ Ω c Ω s δ s ) N.69. Escolhendo Ω c como o limite inferior do intervalo obtém-se um filtro que cumpre exactamente as especificações na banda passante, e que as excede ligeiramente) na banda de atenuação.. [Transformada Z] Y z) + z + z ) z ) z z + ) z + ) z ) Zeros :,, }, Polos :,, }. ROC H : z < H estável), ROC X : z >, ROC Y ROC H ROC X : < z < Y z) A z + B + z + B + z ). A z ) Y z) + z z + z ) + z + ) 5, B + z ) Y z) z + z z 6 +, z B )} d + w) Y d + w } dw w dw w w w 5 6 w) w 5. yn) A ) n un) B ) n u n ) B n + ) ) n u n ).
3 c). [Amostragem] s T z + z polo duplo). z H L z) z ), H R z) z ). ) z Uz) z ) Xz), V z) Uz ) z ) Xz ), Y z) z Xz ). c) e jω G ω e jω ) ω e jω j sin ω e j ω j sin ω ) ω e j ω sin ω ω ω sin ω ) ω ω 6. ω d) Na secção da esquerda o filtro FIR H L e jω ) anula boa parte do conteúdo espectral de Xe jω ) ao criar Ue jω ). O espectro V e jω ) na saída do expansor é uma versão comprimida de Ue jω ). A figura mostra também H R e jω ) e H L e jω ), que é a resposta de um hipotético) filtro equivalente colocado na saída do expansor que criaria a partir de uma versão expandida do sinal xn) o mesmo sinal vn) representado na figura. A acção conjunta de H L e jω ) e H R e jω ) é amplificar a réplica centrada em ω em V e jω ), restituindo-lhe praticamente a forma original de Xe jω ), e atenuar as restantes réplicas centradas em múltiplos de /L.
4 O sistema comporta-se assim como um filtro interpolador, tendo a vantagem prática de apresentar muito baixa complexidade computacional só requer o cálculo de somas e diferenças).. [Análise em frequência de filtros FIR FLG] A resposta impulsiva é simétrica, porém não existe uma amostra central. Isso significa que o filtro é de fase generalizada do tipo II. He jω ) + e jω + e jω e jω + e jω ) + e jω + e jω ) e j ω ω ω ω ω ω cos + e j cos e j cos cos ω ) sin ω sin ω e j ω Aω) sin ω sin ω, α, β. c) He jω ) He jω )/ Aω) Aω) e H e jω ) anulam-se para ω múltiplo de. No entanto, no intervalo [, [ só ocorre troca no sinal algébrico de Aω) para ω, o que induz um salto de na fase de He jω ) a essa frequência. Para as restantes frequências a fase tem andamento linear com declive α atraso de grupo) e partindo de em ω. No gráfico de Hejω ) vê-se também o wrap around da fase em ω e ) quando esta atinge o extremo do intervalo normalizado [, [. Aω) é o produto de duas funções trigonométricas com períodos e, sendo o seu período. Não obstante, He jω ) Aω) tem período, tal como He jω ).
5 5. [DFT/FFT] Valores numéricos ao longo do grafo da FFT de dimensão, onde e [W] designam a passagem por um conjunto de borboletas e de ganhos WN k, respectivamente x) 6 X) x) X) x) j j X) x6) x) j x5) x) x7) j Pela dualidade da DFT sabe-se que [W] 6 [W] 6 j 6 X) X). X5) j X6) X7) xn) DFT Xk), Xn) DFT Nx k N ). Equivalentemente, IDFT Xk)} xn), DFT Xn)} Nx k N ). A variável temporal é muda; por palavras, esta relação diz-nos que se partirmos de uma sequência finita X e calcularmos simultaneamente a sua DFT e a DFT inversa o resultado é a mesma sequência x, a menos de uma inversão temporal circular e de um factor de escala. Basta portanto inverter circularmente o output da FFT acima e dividir por N para obter a DFT inversa pedida [ ] DFT 6 j 6 j [ j j ]. Existem diversas possibilidades para calcular uma DFT com um dado comprimento a partir de uma DFT com o dobro do comprimento. A mais simples talvez seja concatenar a sequência original com zeros, calcular a DFT de comprimento 6, e reter apenas os coeficientes pares do resultado. 6. [DFT] Parte-se do resultado conhecido xn) F Xe jω ), r xn rn) DFT Xe j k N ), n, k N. Por palavras, se amostrarmos numa grelha uniforme de N frequências a transformada de Fourier de um sinal arbitrário xn) e interpretarmos o resultado como um vector de coeficientes da DFT, a correspondente sequência finita no domínio do tempo obtém-se sobrepondo réplicas deslocadas de N amostras no tempo da sequência original xn) e truncando o resultado à gama de índices,... N. Neste caso concreto xn) ) n un) e N 6, donde ) n 6r ) n yn) r r n ), n 5. 6 ) 6r 5
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