Resumo. Sistemas e Sinais Definição de Sinais e de Sistemas (2) Definição de Sistemas. Esta Aula

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1 Resumo Sistemas e Sinais Definição de Sinais e de Sistemas (2) Instituto Superior Técnico Definição de sistemas. Espaço de funções. Equações diferenciais e às diferenças. Sistemas com e sem memória. Diagramas de blocos. Estabilidade. Invariância temporal. Linearidade. Sistemas e Sinais p.1/23 Sistemas e Sinais p.2/23 Esta Aula Definição de Sistemas O que é o comportamento de um sistema? Qual a diferença entre um sistema com e sem memória? Caracterize o domínio e o contradomínio de um sistema discreto. O que é uma equação às diferenças. Num diagrama de blocos o que representam as setas que ligam os blocos? O que é um sistema estável? Qual a diferença entre um sistema sem memória e um sistema invariante no tempo? De que propriedades goza um sistema linear? Um sistema pode ser definido por uma função em que o domínio e o contra-domínio são espaços de funções: S : [D C] [D C ] Para descrever um sistema precisamos então de especificar: o seu domínio (o espaço de sinais de entrada) o seu contra-domínio (o espaço de sinais de saída) uma regra pela qual o sistema atribui um sinal de saída a cada sinal de entrada. Sistemas e Sinais p.3/23 Sistemas e Sinais p.4/23

2 Comportamento Podemos chamar de comportamento do sistema aos pares (x, y) tal que: Comportamento(S )={(x, y) x [D C] y=s (x)} Sistemas Contínuos e Discretos Um sistema de tempo contínuo é um sistema que tem como domínio e contra-domínio sinais em tempo contínuo: C : [ ] [ ] Um sistema de tempo discreto é um sistema que tem como domínio e contra-domínio sinais em tempo discreto: D : [ ] [ ] Sistemas e Sinais p.5/23 Sistemas e Sinais p.6/23 Equações Diferenciais Equações às Diferenças O comportamento de sistemas em tempo contínuo pode ser muitas vezes descrito por equações diferenciais. Por exemplo a tensão e a corrente num condensador e numa resistência relacionam-se por: i= C dv dt i= v R Um circuito com uma resistência ligada a um condensador pode ser descrito por: C dv dt + 1 R v=0 Os sistemas em tempo discreto são muitas vezes descritos por equações às diferenças: Um sistema que calcula a média das últimas 2 entradas (sistema de média móvel): n, y(n)= x(n)+ x(n 1) 2 No caso geral, para as últimas M entradas: n, y(n)= 1 M M x(n k) k=0 Sistemas e Sinais p.7/23 Sistemas e Sinais p.8/23

3 Sistemas Com e Sem Memória Exemplos Um sistema F : [ Y] [ Y] diz-se sem memória se a saída do sistema no instante t ((F(x))(t)) depende apenas do valor da entrada nesse mesmo instante (x(t)) não depende nem de valores passados nem futuros. y(t)= x 2 (t) sem memória y(n)= x(n)+ x(n 1) com memória y(n)= x(n) y(n 1) com memória y(t)= t x(τ)dτ com memória Sistemas e Sinais p.9/23 Sistemas e Sinais p.10/23 Somatórios Somas Famosas A notação forma M 1 k=0 representa uma soma com M parcelas: M 1 x(n k)= x(n)+ x(n 1)+...+ x(n M+ 1) k=0 Os somatórios são usados nos sistemas discretos da mesma forma que os integrais nos contínuos: t, y(t)= 1 M t t M x(τ)dτ Soma de uma progressão geométrica de razão α: N 1 α n = 1 αn 1 α n=0 Soma de uma série geométrica de razãoα: n=0 α n = 1 1 α, α <1 Sistemas e Sinais p.11/23 Sistemas e Sinais p.12/23

4 Diagrama de Blocos Composição em Cascata X= [D X C X ] S : X Y Y= [D Y C Y ] z Z S 1 : X Y S 2 : Y Z X= [D X C X ] Y= [D Y C Y ] Um diagrama de blocos é uma colecção de blocos interligados por setas. As setas são etiquetadas por sinais. Cada bloco representa um sistema com um sinal de entrada e um sinal de saída. a composição em cascata é descrita por: S= S 2 S 1 ou seja, S (x)=s 2 (S 1 (x)) Sistemas e Sinais p.13/23 Sistemas e Sinais p.14/23 Sistema Inverso Outra Composição Um sistema é invertível se entradas distintas produzirem saídas distintas. Se um sistema é invertível pode-se encontrar um sistema inverso que ligado em cascata com o primeiro produza na sua saída a entrada original x X S : X Y S i : Y X w W W= [D W C W ] z Z S 2 : W Y Z S 1 : X Y X= [D X C X ] Y= [D Y C Y ] Esta composição é difícil de descrever na notação O sistema resultante pode ser facilmente descrito por análise do diagrama de blocos: (x, w) X W, S (x, w)=s 2 (w, S 1 (x)) Sistemas e Sinais p.15/23 Sistemas e Sinais p.16/23

5 Retroação Retroação S 1 : X Y z Z S 2 : W Y Z z Z X= [D X C X ] Y= [D Y C Y ] Esta composição pode ser descrita a partir da composição anterior:, S (x)=s 2 (S (x), S 1 (x)), S (x)=s 2 (S (x), S 1 (x)) Fazendo S (x)=z, para determinar a solução é necessário resolver a equação: z=s 2 (z, S 1 (x)) à solução, se existir, chamar-se-á ponto fixo. A equação pode não ter solução, ou ter mais do que uma solução. Notar que a solução da equação não é um número, mas uma função. Sistemas e Sinais p.17/23 Sistemas e Sinais p.18/23 Estabilidade Sistema Acumulador Um sistema S : [D X C X ] [D Y C Y ] é estável se todos os sinais de entrada limitados produzirem sinais de saída limitados: x C X, x B x < estabilidade y C Y, y B y < S : [ ] [ [ ] n y(n)= x(k) k= Se a entrada for o escalão unitário (x(n)=u(n)) a saída será: n y(n)= x(k)=(n+1)u(n) k= O sistema acumulador é instável: para uma entrada limitada produz uma saída que cresce indefinidamente. Sistemas e Sinais p.19/23 Sistemas e Sinais p.20/23

6 Invariância Temporal Linearidade S (x) = y invariante no tempo S (D τ(x))=d τ (y) em que D τ é um sistema que introduz um atraso deτ: y(t)= x(t τ). Exemplos: 1. y(t)= x(t 2) invariante 2. y(t) = x(2t) variante 3. y(n) = sen(x(n)) invariante 4. y(n) = nx(n) variante Propriedade da aditividade { y1 = S (x 1 ) y 2 = S (x 2 ) aditividade Propriedade da homogeneidade y=s (x) homogeneidade S (x 1 + x 2 )=S (x 1 )+S (x 2 )=y 1 + y 2 S (ax)=as (x)=ay em que a é uma constante arbitrária. Um sistema linear tem de verificar as propriedades da aditividade e da homogeneidade. Sistemas e Sinais p.21/23 Sistemas e Sinais p.22/23 Problema Quais dos seguintes sistemas são lineares? 1. y(t) = tx(t) 2. y(t)= x 2 (t) 3. y(n)=r{x(n)} 4. y(n)=2x(n)+3 Sistemas e Sinais p.23/23

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