Sistemas de Tempo Discretos

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1 Sistemas de Tempo Discretos Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares 23/09/09 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 1 / 22

2 Tamanho de um Sinal Calcule a energia ou a potência. Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 2 / 22

3 Tamanho de um Sinal Calcule a energia ou a potência. Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 3 / 22

4 Operações 1 f [ k] x d [n] = x[n 1] Calcule: Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 4 / 22

5 Operações 1 f [ k] x d [n] = x[n 1] Calcule: 2 f [k + 6] x d [n] = x[n m] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 4 / 22

6 Operações Calcule: 1 f [ k] x d [n] = x[n 1] 2 f [k + 6] x d [n] = x[n m] 3 f [k 6] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 4 / 22

7 Operações Calcule: 1 f [ k] x d [n] = x[n 1] 2 f [k + 6] x d [n] = x[n m] 3 f [k 6] 4 f [3k] x d [n] = x[mn] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 4 / 22

8 Operações Calcule: 1 f [ k] x d [n] = x[n 1] 2 f [k + 6] x d [n] = x[n m] 3 f [k 6] 4 f [3k] x d [n] = x[mn] 5 f [ k 3 ] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 4 / 22

9 Classificação dos Sistemas 1 Um sistema discreto é dado por y[n + 1] = x[n] x[n + 1] 1 O sistema é BIBO? Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 5 / 22

10 Classificação dos Sistemas 1 Um sistema discreto é dado por y[n + 1] = x[n] x[n + 1] 1 O sistema é BIBO? 2 O sistema é sem memória? Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 5 / 22

11 Classificação dos Sistemas 1 Um sistema discreto é dado por y[n + 1] = x[n] x[n + 1] 1 O sistema é BIBO? 2 O sistema é sem memória? 3 O sistema é causal? Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 5 / 22

12 Classificação dos Sistemas - Visão Geral As mesmas definições dos sistemas contínuos Linearidade x 1 > y 1 x 2 > y 2 k.x 1 + k.x 2 > k.y 1 + k.y 2 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 6 / 22

13 Classificação dos Sistemas - Visão Geral As mesmas definições dos sistemas contínuos Linearidade x 1 > y 1 x 2 > y 2 k.x 1 + k.x 2 > k.y 1 + k.y 2 Causalidade Causal - valor atual e passado Não-causal - valor futuro Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 6 / 22

14 Classificação dos Sistemas - Visão Geral As mesmas definições dos sistemas contínuos Linearidade x 1 > y 1 x 2 > y 2 k.x 1 + k.x 2 > k.y 1 + k.y 2 Causalidade Causal - valor atual e passado Não-causal - valor futuro Invariância variante - parâmetros variam com o tempo Invariantes - parâmetros não variam com o tempo Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 6 / 22

15 Classificação dos Sistemas - Visão Geral As mesmas definições dos sistemas contínuos Linearidade x 1 > y 1 x 2 > y 2 k.x 1 + k.x 2 > k.y 1 + k.y 2 Causalidade Causal - valor atual e passado Não-causal - valor futuro Invariância variante - parâmetros variam com o tempo Invariantes - parâmetros não variam com o tempo Inversibilidade Inversível - as entradas podem ser determinadas pelas saídas Não-inversíveis - as entradas não podem ser determinadas pelas saídas Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 6 / 22

16 Classificação dos Sistemas - Visão Geral Estabilidade Estável - entrada limitada gera saída limitada Instável - entrada limitada gera saída ilimitada Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 7 / 22

17 Classificação dos Sistemas - Visão Geral Estabilidade Estável - entrada limitada gera saída limitada Instável - entrada limitada gera saída ilimitada Memória Sem memória (instantâneos) - resposta n depende da entrada n Com memória (dinâmicos) - resposta n depende de entradas passadas, presentes e futuras Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 7 / 22

18 Equações Diferença Sobre a equação: y[n] 0,5y[n 1] = x[n] 1 Mostre as formas como a equação pode ser representada Equação Diferença y[n + N] + a 1 y[n + N 1] a n 1 y[n + 1] + a n y[n] = b N M x[n + M] b n x[n] Condição de Causalidade Para que a equação diferença seja causal M N, pois quando aplicado na equação em um instante n + M a saída não dependerá de entradas futuras. Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 8 / 22

19 Equações Diferença Sobre a equação: y[n] 0,5y[n 1] = x[n] 1 Mostre as formas como a equação pode ser representada 2 Resolva iterativamente usando a condição inicial y[ 1] = 16 e a entrada causal x[n] = n 2 (començando do zero). Equação Diferença y[n + N] + a 1 y[n + N 1] a n 1 y[n + 1] + a n y[n] = b N M x[n + M] b n x[n] Condição de Causalidade Para que a equação diferença seja causal M N, pois quando aplicado na equação em um instante n + M a saída não dependerá de entradas futuras. Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 8 / 22

20 Notação Operacional 1 Coloque a equação na notação operacional: y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] Para tornar os calculos mais simples, foi criado a notação operacional, que relaciona os termos da equação da seguinte forma: E 1 Ex[n] x[n + 1] E 2 x[n] x[n + 2]. E m x[x] x[n + m] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 9 / 22

21 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

22 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

23 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica 3 As raízes características Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

24 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica 3 As raízes características 4 A resposta de entrada nula para as condições iniciais: y[ 1] = 0,y[ 2] = 25 4 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

25 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica 3 As raízes características 4 A resposta de entrada nula para as condições iniciais: y[ 1] = 0,y[ 2] = 25 4 Resposta de Entrada Nula O sistema não recebe entrada, portanto responde como as suas características interna (modos característicos). Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

26 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica 3 As raízes características 4 A resposta de entrada nula para as condições iniciais: y[ 1] = 0,y[ 2] = 25 4 Resposta de Entrada Nula O sistema não recebe entrada, portanto responde como as suas características interna (modos característicos). 1 Polinômio Característico: Q[γ] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

27 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica 3 As raízes características 4 A resposta de entrada nula para as condições iniciais: y[ 1] = 0,y[ 2] = 25 4 Resposta de Entrada Nula O sistema não recebe entrada, portanto responde como as suas características interna (modos característicos). 1 Polinômio Característico: Q[γ] 2 Equação Característica: Q[γ] = 0 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

28 Resposta de Entrada Nula Sobre a equação y[n + 2] 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = 5x[n + 2] responda: 1 O polinômio caracteristico 2 A equação característica 3 As raízes características 4 A resposta de entrada nula para as condições iniciais: y[ 1] = 0,y[ 2] = 25 4 Resposta de Entrada Nula O sistema não recebe entrada, portanto responde como as suas características interna (modos característicos). 1 Polinômio Característico: Q[γ] 2 Equação Característica: Q[γ] = 0 3 Raízes Características ou valores característicos: raizes obtidas da equação característica Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 10 / 22

29 Forma da Resposta de Entrada Nula Lembrando que γ 1,...,γ n são as raízes características do sistema. Raízes Reais Não Repetidas y 0 [n] = C 1 γ n 1 + C 2γ n C Nγ n N Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 11 / 22

30 Forma da Resposta de Entrada Nula Lembrando que γ 1,...,γ n são as raízes características do sistema. Raízes Reais Não Repetidas y 0 [n] = C 1 γ n 1 + C 2γ n C Nγ n N Raízes Reais Repetidas y 0 [n] = (C 1 + C 2 n + C 3 n C r n r 1 )γ n 1 + (C 1 + C 2 n + C 3 n C r n r 1 )γ n (C 1 + C 2 n + C 3 n C r n r 1 )γ n N Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 11 / 22

31 Forma da Resposta de Entrada Nula Lembrando que γ 1,...,γ n são as raízes características do sistema. Raízes Reais Não Repetidas y 0 [n] = C 1 γ n 1 + C 2γ n C Nγ n N Raízes Reais Repetidas y 0 [n] = (C 1 + C 2 n + C 3 n C r n r 1 )γ n 1 + (C 1 + C 2 n + C 3 n C r n r 1 )γ n (C 1 + C 2 n + C 3 n C r n r 1 )γ n N Raízes Complexas y 0 [n] = C 1 γ n e jβn + C 2 γ n e jβn y 0 [n] = C γ n cos(βn + θ) Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 11 / 22

32 Resposta ao Impulso Unitário Sobre a equação y[n] 0,6y[n 1] 0,16y[n 2] = 5x[n], responda: 1 Qual a resposta ao impulso deste sistema. Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 12 / 22

33 Resposta ao Impulso Unitário Equação Resposta ao Impulso h[n] = A 0 δ[n] + y c [n]u[n] A 0 = bn a n Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 13 / 22

34 Resposta de Estado Nulo Determine c[n] = x[n] g[n], onde x[n] e g[n] são dados pela figura. Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 14 / 22

35 Resposta de Estado Nulo Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 15 / 22

36 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

37 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

38 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] 2 Distributiva: x 1[n] (x 2[n] + x 3[n]) = x 1[n] x 2[n] + x 1[n] x 3[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

39 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] 2 Distributiva: x 1[n] (x 2[n] + x 3[n]) = x 1[n] x 2[n] + x 1[n] x 3[n] 3 Associativa: x 1[n] (x 2[n] x 3[n]) = (x 1[n] x 2[n]) x 3[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

40 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] 2 Distributiva: x 1[n] (x 2[n] + x 3[n]) = x 1[n] x 2[n] + x 1[n] x 3[n] 3 Associativa: x 1[n] (x 2[n] x 3[n]) = (x 1[n] x 2[n]) x 3[n] 4 Deslocamento: x 1[n] x 2[n] = c[n] x 1[n m] x 2[n p] = c[n m p] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

41 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] 2 Distributiva: x 1[n] (x 2[n] + x 3[n]) = x 1[n] x 2[n] + x 1[n] x 3[n] 3 Associativa: x 1[n] (x 2[n] x 3[n]) = (x 1[n] x 2[n]) x 3[n] 4 Deslocamento: x 1[n] x 2[n] = c[n] x 1[n m] x 2[n p] = c[n m p] 5 Impulso: x[n] δ[n] = x[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

42 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] 2 Distributiva: x 1[n] (x 2[n] + x 3[n]) = x 1[n] x 2[n] + x 1[n] x 3[n] 3 Associativa: x 1[n] (x 2[n] x 3[n]) = (x 1[n] x 2[n]) x 3[n] 4 Deslocamento: x 1[n] x 2[n] = c[n] x 1[n m] x 2[n p] = c[n m p] 5 Impulso: x[n] δ[n] = x[n] 6 Largura: x 1[n] W 1ex 2 W 2 x 1[n] x 2[n] w 1 + W 2 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

43 Resposta de Estado Nulo Convolução Discreta y[n] = x[m]h[n m] m= 1 Propriedades: 1 Comutativa: x 1[n] x 2[n] = x 2[n] x 1[n] 2 Distributiva: x 1[n] (x 2[n] + x 3[n]) = x 1[n] x 2[n] + x 1[n] x 3[n] 3 Associativa: x 1[n] (x 2[n] x 3[n]) = (x 1[n] x 2[n]) x 3[n] 4 Deslocamento: x 1[n] x 2[n] = c[n] x 1[n m] x 2[n p] = c[n m p] 5 Impulso: x[n] δ[n] = x[n] 6 Largura: x 1[n] W 1ex 2 W 2 x 1[n] x 2[n] w 1 + W 2 7 Causalidade: y[n] = x[m]h[n m] m= Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 16 / 22

44 Função Transferência Determine a função transferência da seguinte equação: (E 2 3E + 2)y[n] = (E + 2)x[n] Função transferência Função da variável complexa, representada por: ou H[z] = sinal de saída sinal de entrada H[z] = P[z] Q[z] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 17 / 22

45 Resposta Total Resposta Total resposta total = entrada-nula + estado-nulo Resposta Clássica resposta total = resposta-natural + resposta-forçada Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 18 / 22

46 Resposta Natural e Forçada Use o método clássico para resolver (E 2 E + 0,16)y[n] = Ex[n] com entrada x[n] = (0,2) n u[n] e condições auxiliares y[0] = 1 e y[1] = 2. Resposta Natural Q[E]y nat [n] = 0 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 19 / 22

47 Resposta Natural e Forçada Use o método clássico para resolver (E 2 E + 0,16)y[n] = Ex[n] com entrada x[n] = (0,2) n u[n] e condições auxiliares y[0] = 1 e y[1] = 2. Resposta Natural Resposta Forçada Q[E]y nat [n] = 0 Q[E]y for = P[E]x[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 19 / 22

48 Tabela - Resposta Forçada Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 20 / 22

49 Estabilidade Determine a estabilidade BIBO e Assintótica dos sistemas abaixo: 1 y[n + 2] + 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = x[n + 1] 2x[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 21 / 22

50 Estabilidade Determine a estabilidade BIBO e Assintótica dos sistemas abaixo: 1 y[n + 2] + 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = x[n + 1] 2x[n] 2 y[n] + 3y[n 1] + 2y[n 2] = x[n 1] + 2x[n 2] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 21 / 22

51 Estabilidade Determine a estabilidade BIBO e Assintótica dos sistemas abaixo: 1 y[n + 2] + 0,6y[n + 1] 0,16y[n] = x[n + 1] 2x[n] 2 y[n] + 3y[n 1] + 2y[n 2] = x[n 1] + 2x[n 2] 3 (E 2 1)(E 2 + 1)y[n] = x[n] Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 21 / 22

52 Estabilidade BIBO - externa n= h[n] < Assintótica - interna Estável: raízes < 1 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 22 / 22

53 Estabilidade BIBO - externa n= h[n] < Assintótica - interna Estável: raízes < 1 Instável: 2 ou + raízes = 1 ou raízes > 1 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 22 / 22

54 Estabilidade BIBO - externa n= h[n] < Assintótica - interna Estável: raízes < 1 Instável: 2 ou + raízes = 1 ou raízes > 1 Marginalmente estáveis: raiz = 1 Monitoria de Sinais e Sistemas Lineares () Sistemas de Tempo Discretos 23/09/09 22 / 22