Filtros de tempo discreto

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1 Filtros de tempo discreto ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 25 de março de 2019 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 28

2 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 28

3 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 28

4 Apresentação Objetivos da aula de hoje: Apresentar os filtros de resposta ao impulso infinita (IIR) e resposta impulso finita (FIR). Discutir a respeito das principais características dos filtros IIR e FIR. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 28

5 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 28

6 Revisão Equações a diferenças com coeficientes constantes A resposta em frequência caracteriza o comportamento de um sistema. Por definição H(e jω ) = F{h[n]}. Para o sistema a seguir: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M] temos H(e jω ) = Y M (ejω ) X(e jω ) = k=0 b ke jkω N k=0 a ke. jkω Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 28

7 Revisão Equações a diferenças com coeficientes constantes A resposta em frequência caracteriza o comportamento de um sistema. Por definição H(e jω ) = F{h[n]}. Para o sistema a seguir: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M] temos H(e jω ) = Y M (ejω ) X(e jω ) = k=0 b ke jkω N k=0 a ke. jkω Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 28

8 Revisão Equações a diferenças com coeficientes constantes A resposta em frequência caracteriza o comportamento de um sistema. Por definição H(e jω ) = F{h[n]}. Para o sistema a seguir: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M] temos H(e jω ) = Y M (ejω ) X(e jω ) = k=0 b ke jkω N k=0 a ke. jkω Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 28

9 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 28

10 Introdução Filtro seletores de sinais (passa-baixas ideal). Para um filtro passa-baixas ideal: { H(e jω 1, Ω Ωc ) =. 0, Ω > Ω c Assim temos h[n] = 1 2π π π H(e jω )e jωn dω = 1 Ωc e jωn dω = sen(ω cn). 2π Ω c πn Resposta ao impulso infinita, não-causal e oscilatória. Para evitar distorção do sinal no tempo, é desejável comportamento de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 28

11 Introdução Filtro seletores de sinais (passa-baixas ideal). Para um filtro passa-baixas ideal: { H(e jω 1, Ω Ωc ) =. 0, Ω > Ω c Assim temos h[n] = 1 2π π π H(e jω )e jωn dω = 1 Ωc e jωn dω = sen(ω cn). 2π Ω c πn Resposta ao impulso infinita, não-causal e oscilatória. Para evitar distorção do sinal no tempo, é desejável comportamento de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 28

12 Introdução Filtro seletores de sinais (passa-baixas ideal). Para um filtro passa-baixas ideal: { H(e jω 1, Ω Ωc ) =. 0, Ω > Ω c Assim temos h[n] = 1 2π π π H(e jω )e jωn dω = 1 Ωc e jωn dω = sen(ω cn). 2π Ω c πn Resposta ao impulso infinita, não-causal e oscilatória. Para evitar distorção do sinal no tempo, é desejável comportamento de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 28

13 Introdução Filtro seletores de sinais (passa-baixas ideal). Para um filtro passa-baixas ideal: { H(e jω 1, Ω Ωc ) =. 0, Ω > Ω c Assim temos h[n] = 1 2π π π H(e jω )e jωn dω = 1 Ωc e jωn dω = sen(ω cn). 2π Ω c πn Resposta ao impulso infinita, não-causal e oscilatória. Para evitar distorção do sinal no tempo, é desejável comportamento de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 28

14 Introdução Filtros lineares invariante no tempo (tempo discreto). Existem duas grandes classes de filtros de tempo discreto: Filtros recursivos ou de resposta ao impulso infinita (IIR): N M y[n] = a k y[n k] + b k x[n k]. k=1 k=0 Filtros não-recursivos ou de resposta ao impulso finita (FIR): M y[n] = b k x[n k]. k= N Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 28

15 Introdução Discussão via equações a diferenças (filtro IIR). Na aula passada discutimos sobre a resposta em frequência de sistemas de sistemas do tipo: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M]. No caso de um filtro IIR, y[n] = a 1 a 0 y[n 1]... a N a 0 y[n N]+ b 0 a 0 x[n]+ b 1 a 0 x[n 1]+...+ b M a 0 x[n M]. Assim temos y[n] = N M ã k y[n k] + b k x[n k]. k=1 com ã k = a k /a 0 e b k = b k /a 0. k=0 Devido à recursão em y[n], h[n] 0 quando n. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 28

16 Introdução Discussão via equações a diferenças (filtro IIR). Na aula passada discutimos sobre a resposta em frequência de sistemas de sistemas do tipo: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M]. No caso de um filtro IIR, y[n] = a 1 a 0 y[n 1]... a N a 0 y[n N]+ b 0 a 0 x[n]+ b 1 a 0 x[n 1]+...+ b M a 0 x[n M]. Assim temos y[n] = N M ã k y[n k] + b k x[n k]. k=1 com ã k = a k /a 0 e b k = b k /a 0. k=0 Devido à recursão em y[n], h[n] 0 quando n. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 28

17 Introdução Discussão via equações a diferenças (filtro IIR). Na aula passada discutimos sobre a resposta em frequência de sistemas de sistemas do tipo: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M]. No caso de um filtro IIR, y[n] = a 1 a 0 y[n 1]... a N a 0 y[n N]+ b 0 a 0 x[n]+ b 1 a 0 x[n 1]+...+ b M a 0 x[n M]. Assim temos y[n] = N M ã k y[n k] + b k x[n k]. k=1 com ã k = a k /a 0 e b k = b k /a 0. k=0 Devido à recursão em y[n], h[n] 0 quando n. Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 28

18 Introdução Discussão via equações a diferenças (filtro FIR). Na aula passada discutimos sobre a resposta em frequência de sistemas de sistemas do tipo: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M]. No caso de um filtro FIR temos a 1 = 0, a 2 = 0,..., a N = 0, ou seja: y[n] = b 0 a 0 x[n] + b 1 a 0 x[n 1] b M a 0 x[n M]. Assim chegamos ao filtro abaixo Assim temos com b k = b k /a 0. y[n] = M b k x[n k]. k=0 Como não há recursão em y[n], h[n] = 0 para n > M. Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 28

19 Introdução Discussão via equações a diferenças (filtro FIR). Na aula passada discutimos sobre a resposta em frequência de sistemas de sistemas do tipo: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M]. No caso de um filtro FIR temos a 1 = 0, a 2 = 0,..., a N = 0, ou seja: y[n] = b 0 a 0 x[n] + b 1 a 0 x[n 1] b M a 0 x[n M]. Assim chegamos ao filtro abaixo Assim temos com b k = b k /a 0. y[n] = M b k x[n k]. k=0 Como não há recursão em y[n], h[n] = 0 para n > M. Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 28

20 Introdução Projeto de filtros em tempo discreto. Filtros IIR: Aproximação de um filtro de tempo contínuo; Projeto a partir da noção da resposta em frequência de filtros de baixa ordem. Filtros FIR: Os coeficientes são determinados para aproximar a magnitude de uma resposta em frequência desejada. Observação: filtro FIR são sempre BIBO estáveis (reposta ao impulso absolutamente somável). Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 28

21 Introdução Projeto de filtros em tempo discreto. Filtros IIR: Aproximação de um filtro de tempo contínuo; Projeto a partir da noção da resposta em frequência de filtros de baixa ordem. Filtros FIR: Os coeficientes são determinados para aproximar a magnitude de uma resposta em frequência desejada. Observação: filtro FIR são sempre BIBO estáveis (reposta ao impulso absolutamente somável). Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 28

22 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 28

23 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso mais simples Filtro média móvel: y[n] = 1 (x[n] + x[n 1]). 2 Resposta em frequência H(e jω ) = 1 2 [1 + e jω ]. Alternativamente H(e jω ) = e jω/2 cos(ω/2). Filtro passa-baixas com resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 28

24 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso mais simples Filtro média móvel: y[n] = 1 (x[n] + x[n 1]). 2 Resposta em frequência H(e jω ) = 1 2 [1 + e jω ]. Alternativamente H(e jω ) = e jω/2 cos(ω/2). Filtro passa-baixas com resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 28

25 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso mais simples Filtro média móvel: y[n] = 1 (x[n] + x[n 1]). 2 Resposta em frequência H(e jω ) = 1 2 [1 + e jω ]. Alternativamente H(e jω ) = e jω/2 cos(ω/2). Filtro passa-baixas com resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 28

26 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso mais simples Filtro média móvel: y[n] = 1 (x[n] + x[n 1]). 2 1 Magnitude 0 Fase H(e jω ) ω (rad/s) /_ H(e jω ) (graus) ω (rad/s) Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 28

27 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso completo (não-causal) Filtro média móvel: y[n] = Resposta em frequência 1 N + M + 1 H(e jω ) = ejω(n M)/2 N + M + 1 M k= N x[n k]. sen[ω(m + N + 1)/2]. sen(ω/2) Filtro passa-baixas com resposta de fase linear. Se (N M)/2 = m com m um inteiro negativo. Então m é um simples atraso temporal. Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 28

28 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso completo (não-causal) Filtro média móvel: y[n] = Resposta em frequência 1 N + M + 1 H(e jω ) = ejω(n M)/2 N + M + 1 M k= N x[n k]. sen[ω(m + N + 1)/2]. sen(ω/2) Filtro passa-baixas com resposta de fase linear. Se (N M)/2 = m com m um inteiro negativo. Então m é um simples atraso temporal. Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 28

29 Comportamentos dos filtros FIR Filtro média móvel - caso completo (não-causal) Filtro média móvel: y[n] = 1 N + M + 1 M k= N x[n k]. 1 Magnitude (N=M=1) 1 Magnitude (N=M=10) H(e jω ) H(e jω ) ω (rad/s) ω (rad/s) Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 28

30 Comportamentos dos filtros FIR Transformação passa-baixas / passa-altas Exemplo 5.7 (Oppenheim) Considere um filtro passa-baixas com resposta em frequência H pb (e jω ). Neste caso, H pa (e jω ) = H pb (e j(ω π) ) é a resposta em frequência de um filtro passa-altas. Usando a propriedade de deslocamento na frequência, chegamos à seguinte relação: h pa [n] = e jπn h pb [n] = ( 1) n h pb [n], sendo h pa [n] a resposta ao impulso do filtro passa-altas e h pb [n] a resposta ao impulso do filtro passa-baixas. Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 28

31 Comportamentos dos filtros FIR Filtro passa altas Considere: y[n] = 1 (x[n] x[n 1]). 2 Resposta em frequência H(e jω ) = 1 2 [1 e jω ]. Alternativamente H(e jω ) = je jω/2 sen(ω/2). Filtro passa-altas com resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 28

32 Comportamentos dos filtros FIR Filtro passa altas Considere: y[n] = 1 (x[n] x[n 1]). 2 Resposta em frequência H(e jω ) = 1 2 [1 e jω ]. Alternativamente H(e jω ) = je jω/2 sen(ω/2). Filtro passa-altas com resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 28

33 Comportamentos dos filtros FIR Filtro passa altas Considere: y[n] = 1 (x[n] x[n 1]). 2 Resposta em frequência H(e jω ) = 1 2 [1 e jω ]. Alternativamente H(e jω ) = je jω/2 sen(ω/2). Filtro passa-altas com resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 28

34 Comportamentos dos filtros FIR Filtro passa altas Considere: y[n] = 1 (x[n] x[n 1]). 2 1 Magnitude 90 Fase H(e jω ) /_ H(e jω ) (graus) ω (rad/s) ω (rad/s) Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 28

35 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 21/ 28

36 Projeto via aproximação Janela quadrada É comum aproximar multiplicar h d [n] = sen(ωcn) πn por uma janela finita rect N [n] a exemplo de { 1, n N rect N [n] = 0, n > N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] tende ao ideal com N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] é não causal. Como h d [n] = sen(ωcn) πn e h[n] são do tipo é par e real, então H(e jω ) é real. Caso seja necessário um filtro causal, utiliza-de h[n N]. O atraso N implica numa resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 28

37 Projeto via aproximação Janela quadrada É comum aproximar multiplicar h d [n] = sen(ωcn) πn por uma janela finita rect N [n] a exemplo de { 1, n N rect N [n] = 0, n > N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] tende ao ideal com N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] é não causal. Como h d [n] = sen(ωcn) πn e h[n] são do tipo é par e real, então H(e jω ) é real. Caso seja necessário um filtro causal, utiliza-de h[n N]. O atraso N implica numa resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 28

38 Projeto via aproximação Janela quadrada É comum aproximar multiplicar h d [n] = sen(ωcn) πn por uma janela finita rect N [n] a exemplo de { 1, n N rect N [n] = 0, n > N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] tende ao ideal com N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] é não causal. Como h d [n] = sen(ωcn) πn e h[n] são do tipo é par e real, então H(e jω ) é real. Caso seja necessário um filtro causal, utiliza-de h[n N]. O atraso N implica numa resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 28

39 Projeto via aproximação Janela quadrada É comum aproximar multiplicar h d [n] = sen(ωcn) πn por uma janela finita rect N [n] a exemplo de { 1, n N rect N [n] = 0, n > N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] tende ao ideal com N. O filtro de resposta ao impulso h[n] = h d [n]rect N [n] é não causal. Como h d [n] = sen(ωcn) πn e h[n] são do tipo é par e real, então H(e jω ) é real. Caso seja necessário um filtro causal, utiliza-de h[n N]. O atraso N implica numa resposta de fase linear. Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 28

40 Projeto via aproximação Janela quadrada Resposta o impulso de rect N [n] = { sen[2πn/33] πn, n 32 0, n > 32. Prof. Tito Luís Maia Santos 23/ 28

41 Exemplo Filtro média móvel Prof. Tito Luís Maia Santos 24/ 28

42 Exemplo Filtro diferenciador Prof. Tito Luís Maia Santos 25/ 28

43 Exemplo Estrutura Geral de um Sistema TIE Filtro diferenciador Imagem Complexa Etapa de Localização Localização apa - Geração Verificação das Regiões Candidatas a Texto SISTEMA TIE Extração Classificação dos Métodos de Localização Identificação Textual Proposta Objetivos do Método de Localização Proposto Arquitetura do Método de Localização Proposto Comentários Imagem Complexa ocalização OCR Texto Plano Contornos candidatos a texto Regiões candidatas a texto erificação André P. N. Tahim Localização e Extração Automática de Textos em Imagens Complexas Extração OCR Texto Plano Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 28

44 Sumário 1 Apresentação 2 Revisão 3 Introdução 4 Comportamentos dos filtros FIR 5 Projeto via aproximação 6 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 28

45 Comentários Finais Nesta aula foram apresentados alguns conceitos de filtragem. Prof. Tito Luís Maia Santos 28/ 28

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