Aula 1 Sinais e Sistemas Discretos

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1 Aula 1 Sinais e Sistemas Discretos

2 Conteúdo: 1) Introdução; 2) Sinais Discretos e Propriedades e operações com sinais; 3) Sequências (Sinais) básicos; 4) Sistemas Discretos; 5) Propriedades de Sinais Discretos; 6) Sistemas Lineares Invariantes com (no) Tempo (LIT); 7) Propriedades de Sistemas LIT; 8) Exercícios; I

3 1) Introdução Sinais são informações que podem ser transmitidas ou processadas. Para a Engenharia podem ser de tempo contínuo ou discreto, ainda podendo ser analógicos ou digitais. Exemplo Microfone transformando sinal de voz (onda sonora mecânica) em uma tensão variável (sinal anal lógico) e amostrando para processamento (sinal digital). I

4 1) Introdução Exemplos de Sinais: - Analógico: a) Som como onda mecânica no ar, água ou fio; b) Potencial elétrico, sendo esta a diferença de potencial elétrico entre dois fios; c) O nível de óleo do carro utilizando uma régua para fazer a medição. - Digital: a) Arquivo de áudio MP3 armazenado com amostras por segundo e 16bits de resolução a cada amostra; b) Redes de Computadores, onde a camada física recebe uma sequência de bits; I

5 1) Introdução Matematicamente um sinal pode ser representado por uma função em um domínio específico. O exemplo do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela tensão capturada. Para que um sinal possa ser manipulad do pelo processador é preciso discretizá-lo. O sinal discreto é aquele que pode ser representado apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo números inteiros. I

6 1) Introdução Matematicamente um sinal pode ser representado por uma função em um domínio específico. O exemplo do microfone pode representar o sinal em função do tempo pela tensão capturada. Para que um sinal possa ser manipulad do pelo processador é preciso discretizá-lo. O sinal discreto é aquele que pode ser representado apenas por valores específicos de um domínio, como por exemplo números inteiros. I

7 2) Sinais Discretos É representado por uma sequência numérica, um vetor. Esta sequência é representada por n, n Z*, ou seja, inteiros. Exemplo, discretizar uma imagem: - Não é amostrada em função do tempo e sim em função das distâncias horizontal e vertical, de um ponto tomado como origem; - Uma imagem pode ser definida co omo uma função bidimensional f(x, y), que define a intensidade ou nível de cinza da imagem no ponto x e y. - Os elementos do vetor que forma uma imagem é chamado de elementos pictóricos, pels, ou pixels. Uma função discreta pode ser obtida por meio de uma função contínua através da operação de amostragem: x[n] = x c (nt a ) x[n]: é o vetor discreto; x c c(t): é a função analógica; n: é a amostra; T a : é o período de amostragem. I

8 2) Sinais Discretos Exemplo: Seja x c (t) = cosπt e T a = 0,1s n nt a x c (nt a ) x[n] 0 0, ,1 cos(0,1π) cos(0,1π) 2 0,2 cos(0,1π) cos(0,1π) 3 0,3 cos(0,1π) cos(0,1π) Fonte: (Nalon, 2009) I

9 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Operações Algébricas: - As operações algébricas devem ser feitas amostra por amostra: Adição: y[n] = x 1 [n] + x 2 [n] Subtração: y[n] = x 1 [n] x 2 [n] Multiplicação: y[n] = x 1 [n] x 2 [n] Divisão: y[n] = x 1 [n] / x 2 [n], se x 2 [n] 0. Mudança de Escala de Amplitude: - Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um escalar. y[n] = cx[n] 2COP231 O efeito de tal operação é a modificação na amplitude das amostras x[n]. Se x<1, a sequência terá amplitude menor, caso x>1 a amplitude será maior. Em um arquivo de áudio tal mudança reflete no volume do som armazenado. O efeitofade(in/out) ) utiliza tal conceito. I

10 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Mudança de Escala de Amplitude: 2COP231 Utilizando o software Audacity paraa diminuir a amplitude de um arquivo de áudio. I

11 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Mudança de Escala do Tempo: - Ajusta o valor de cada amostra de acordo com um escalar. y[n] = x[mn], M Z* M: número inteiro, M<0 resultará em um espelhamento do sinal com relação a origem, M>1 irá realizar a compressã ão o sinal, M sendo uma fração é possível realizar a operação de expansão (adicionando 0 quando o elemento não existir). Deslocamento no Tempo: - Também chamado de atraso no tempo, é definido como: y[n] = x[ [n-k], k Z* k: é o atraso aplicado à sequência 2COP231 I

12 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Diferenças e Acumulação: Diferença é análoga à diferenciação (derivada), que pode ser dita como a diferença entre a amostra e sua subseqüente, descrita em: x[n] = x[ [n] - x[n-1] A segunda diferença, seria a difere ença da diferença 2 y[n] = ( x[n]) A diferença é utilizada para calcular a derivada de uma função contínua amostrada a um período T a dx c (t) / dt x c (t) / t 2COP231

13 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Diferenças e Acumulação: A acumulação é definida como a soma das amostras ao longo do tempo discreto até um instante específico. y [ n] = n k= = 2COP231 x [ k] Desta forma podemos afirmar que: n k= x[k ] = x [ n]

14 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Parte real e imaginária: Uma sequência complexa pode ser decomposta em partes real e imaginária: O complexo conjugado é: x[ n] = x [ n] + R x* [ n] = x [ n] jx [ n] R 2COP231 jx [n] I I

15 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Paridade e Simetria Conjugada: Uma sequência real é par se satisfaz a seguinte condição: x [ n] = x [ n] Uma sequência é ímpar quando: x[ n] = x[ n] 2COP231 Uma sequência x[n] = 0 é a única que não é nem par nem ímpar. Uma sequência pode ser decomposta em parte par x e e parte ímpar x o : x e 1 [ n] = ( x[ n] + x[ n]) 2 x o 1 [ n] = ( x[ n] x[ n]) 2

16 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Paridade e Simetria Conjugada: Exemplo: 2COP231 x [ n ] = π cos n 4 π 8 Em (a), o sinal x[n], em (b) a parte par x e [n] e em (c) a parte ímpar x o [n]. Fonte: (Nalon, 2009)

17 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Periodicidade: Diz-se que uma sequência é periódica quando após um intervalo inteiro constante (período) a função repete as mesmas amostras na mesma sequência. Matematicamente: x [ n] = x[ n+ N] 2COP231 Onde N é o período da sequência. É chamada de frequência fundamental a sequência senoidal que tem o mesmo período N da sequência original, descrita como: ω 0 = 2 2π N

18 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Periodicidade: Exemplo: x[ n] π = sen n x[nn 4 π 4 N N = 2COP231 π π + N] = sen n+ N 4 4 = 8 2 π Operação com sinais periódicos normalmente resultam em outros sinais periódicos, com períodos diferentes

19 2) Propriedades e operações com Sinais Discretos Energia de um Sinal: Exemplo: A energia de um sinal pode ser calculada com base na teoria dos circuitos, descrevendo: E = n= 2COP231 x [ n] ²

20 3) Sequências Básicas - Desejável decompor um problema em outros menores; - Reduzir a complexidade e aumentar a capacidade de análise; - Impulso Unitário Também chamado de delta de Kroenecker; δ[ n] = 1, se 0, se n n = 0 0 Imagem 1.6

21 3) Sequências Básicas - Impulso Unitário Decomposição de um sinal como uma soma de impulsos deslocados: x[ n] = 2δ [ n+ 1] 1δ [ n] + 1δ [ n 1] + 3δ [ n 2]

22 3) Sequências Básicas - Degrau Unitário É definida como: u[ n] = 1, se 0, se n n < 0 0 Imagem 1.9

23 3) Sequências Básicas - Sequência Exponencial É definida como: x [ n] = n Aα Se A e α são números reais, então Se 0 < α < 1 e A é positivo então a descrescente. a sequência será real. sequência tem o valor positivo e Se -1 < α < 0, a sequência é decrescente, mas o sinal das amostras se alternarão. Se α > 1, então a sequência será crescente em magnitude.

24 3) Sequências Básicas - Sequência Exponencial Se α for um número complexo, então a sequência será complexa, e escreve-se α como: α = re jω A freqüência da oscilação é definido por ω. Uma série exponencial também pode ser chamada como série geométrica.

25 3) Sequências Básicas - Sequência Senoidais Uma sequência senoidal é definida como: x[ n] = A cos( ω n+ θ ) ω Onde, é a frequência em radianos; θ é o ângulo de fase em radianos. No tempo contínuo, a função senoidal sempre é periódica. x[ n+ N] = Acos( ω ( n+ N) + θ ) ωn = 2πr N = 2πr ω

26 3) Sequências Básicas - Sequência Senoidais Exemplo: x [n] = π cos( n) 4 Onde, ω=π/4, assim temos: N 2πr = π / 4 = 8r

27 4) Sistemas Discretos Algumas operações são realizadas por sistemas de processamento de sinais digitais, exemplos: - Transmissão de Vídeo; - Transmissão de Áudio; - Armazenamento de música e imagem; - Enriquecimento e recuperação de imagens degradadas pelo tempo; - Posicionamento de dispositivos; - Reconhecimento de Padrões; - Detecção de Características; O objetivo de um sistema é transformar um sinal de entrada x[n] em um sinal de saída y[n]. Matematicamente um sistema é repres y ] = [ n H sentado pela transformação dada por: { x[ n]}

28 4) Sistemas Discretos Representação de um sistema de processamento: x[n] H y[n] Exemplo: 1 y[ n] = ( x[ n] + x[ n 1] + x[ n 3 Imagem ])

29 4) Propriedades de Sistemas Discretos As propriedades descritas são propriedades de sistemas discretos. - Linearidade: Um sistema é linear quando satisfaz os princípios da: a) Homogeneidade; 2COP231 H { ax [ n ]} = ah { x [ n ]} b) Superposição; H { x [ n] + x [ n]} = H { x [ n]} + H{ x [ n]}

30 4) Propriedades de Sistemas Discretos 2COP231 De forma compacta: H N i= 1 a i x i [ n] = N i= 1 a i H{ x i [ n]} Imagem 1.14

31 4) Propriedades de Sistemas Discretos - Invariância com o Tempo: O atraso na sequência da entrada não causa distorções na saída, apenas um atraso da mesma magnitude na saída. y { n k} = H { x[ n k]} 2COP231 Esta propriedade é chamada de invariância com o deslocamento.

32 4) Propriedades de Sistemas Discretos - Memória Quando as amostras da sequência da saída dependem de amostras passadas, seja da sequência de entrada, seja da própria saída. Se o sistemas precisa armazenar amostras do sinal de entrada ou do sinal de saída para obter a próxima amostrada da saída. y [ n] = x[ n k] 2COP231 com k diferente de 0.

33 4) Propriedades de Sistemas Discretos 2COP231 - Causalidade O sistema é causal se as amostrass do sinal de saída dependem apenas da amostra atual e das amostras passadas do sinal de entrada. Sistemas de tempo real são invariavelmente causais, uma vez que é impossível, em tempo real, obter amostras futuras do sinal de entrada. 1 y[ n] = ( x[ n+ 1] 3 + x[ n] + x[ n 1])

34 4) Propriedades de Sistemas Discretos - Realimentação Quando a amostra atual do sistema de saída depende de outra amostra passada do sistema de saída. Para que as amostrar possam ser aproveitadas, utiliza-se a memória. 1 1 y[ n] = x[ n ] y[ n 1] 2 4 Imagem COP231

35 4) Propriedades de Sistemas Discretos 2COP231 - Estabilidade Instabilidade: quando a saída apresenta distorções. Existem vários critérios para determinar a estabilidade, o mais comum é o entrada limitada, saída limitada. Sistemas lineares sem realimentação e com memória limitada não terão problemas de estabilidade, pois o número de amostras é limitado. Sistemas realimentados podem ser instáveis, pois elementos de saída são utilizados para recomposição. Realimentação ampliada na saída transforma o sistema em um instável.

36 4) Propriedades de Sistemas Discretos - Invertibilidade: É a capacidade de retornar ao sinal original com base no sinal de saída. Se dada saída obtida de um sistema de processamento for possível recuperar o sinal de entrada, dizemos que o sinal é inversível. H 1 { H{ x[ n ]}} = x[ n] 2COP231 H -1 é chamado de inverso de H.

37 5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT) - Resposta ao Impulso Sistemas LIT podem ser descritos pela sua resposta ao impulso. h [ n] = H{ δ[ n]} 2COP231 Se conhecemos a resposta do si istema ao impulso, podemos descrever como ele se comporta para qualquer entrada.

38 5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT) - Convolução A convolução é representada por um * (asterisco). 2COP231 x [ n]* h[ n] = k= x [ k] h[ n k] A saída de um sistema pode ser dado pela Convolução da entrada pela sua resposta ao impulso; A convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas Transformadas de Fourier no Domínio da Freqüência.

39 5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT) - Filtros Lineares Sistemas que convertem x[n] em y[ [n] recebem o nome de Filtro, isso porque um H{x[n]}, normalmente é utilizado para selecionar características do sinal. Se o sistema é linear, o filtro é chamado de filtro linear. 2COP231 Quando o filtro é linear, as características selecionadas e filtradas são frequências componentes do sinal. Todo sinal pode ser decomposto em um somatório de cossenos com frequências determinadas.

40 5) Sistemas Lineares Invariantes com o Tempo (LIT) - Filtros Lineares Os filtros podem ser: - Filtro passa-baixas: A saída apresenta apenas baixas frequências; - Filtro passa-altas: A saída apresenta somente altas frequências; - Filtro passa-faixas: Permite apenas frequências intermediárias; - Filtro rejeita-faixas: Bloqueia certas frequências; - Filtro ideal: Rejeita frequências indesejadas e mantém a amplitude idêntica da banda desejada. A principal característica de um filtro é sua frequência de corte, chamada ω c. Os filtros passa-baixas e passa-altas ideais tem resposta ao impulso: h[ n] = sen π ω n c n 2COP231 h[ n] = ( 1) sen π ω n c n

41 6) Propriedades de Sistemas LIT Sistemas LIT são representados pela convolução com a resposta ao impulso h[n] e apresentam várias propriedades - Elemento Neutro: Em uma operação o elemento neutro é aquele que quando é um dos operandos, faz com que o resultado da operação seja o outro operando. Por exemplo o elemento neutro da ou seja: convolução seria a função impulso, x[ n]* δ[ n] = x[ n]

42 6) Propriedades de Sistemas LIT - Extensão: Considerando x[n] e h[n] com sequências, contendo N x e N h amostras, o resultado de y[n] = x[n]*h[n] ] será uma sequência com N y = N x + N y -1 amostras. x [ n ]* δ [ n ] = x [ n ]

43 6) Propriedades de Sistemas LIT - Comutatividade: A ordem em que os operando estão não tem importância. A convolução é comutativa. Sua representação matemática é: x [ n]* h[ n] = h[ n]* x[ n]

44 6) Propriedades de Sistemas LIT - Distributividade ou Paralelismo: A convolução é distributiva: x [ n]*( h [ n] + h [ n]) = x [ n]* h [ n] + x[ n]* h [ n] Imagem 1.19

45 6) Propriedades de Sistemas LIT - Associativa ou Cascateamento: Sistemas subseqüentes podem ser combinados em um único sistema por meio da propriedade do cascateamento. Por exemplo os processos de amplificação e cancelamento de eco para arquivos de áudio. ( 2 x [ n]* h [ n])* h [ n]) = 1 x [ 2 n]*( h [ n]* h [ n]) 1 Imagem 1.20

46 6) Propriedades de Sistemas LIT - Causalidade Um sistema LIT será causal se e somente se: h[ n] = 0, n< 0 A contribuição de cada uma das amostras futuras do sinal de entrada deve ser nula, independente das pr ropriedades do sinal.

47 6) Propriedades de Sistemas LIT - Estabilidade Um sistema LIT é estável se: k= h [ n] x[ n k] h[ k]. Ou seja, a resposta ao impulso deve ser absolutamente somável.

48 6) Propriedades de Sistemas LIT - Resposta a Sinais Senoidais Uma propriedade importante é a fidelidade das funções senoidais. A resposta de um LIT é uma senóide de mesma frequência, possivelmente com amplitude e fas x[ n] = e jwn se modificada. = cos n jsen n Para uma frequência fixa ω, portanto, H(ω) será um valor único e determinado. O resultado é uma função senoidal de mesma frequência ω, com amplitude e fase modificada. Por esse motivo as funções senoidais são chamadas de auto-funções de sistemas lineares, analogamente a autovetores e autovalores da álgebra matricial. H ( ω)e jwn sω + =αe A função H(ω) é chamada como resposta em frequência do LIT. jwn ω

49 Referências: NALON, J.A. - INTRODUÇAO AO PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS ( I