Sinais e Sistemas Introdução a Sinais

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1 Sinais e Sistemas Introdução a Sinais Profª Sandra Mara Torres Müller Aula 1

2 O que é um sinal? Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre a natureza de um fenômeno físico. O que é um sistema? Entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, produzindo assim, novos sinais. Aula 1

3 Exemplos de Sistema: Sistema Digital de Reconhecimento de Voz Filtragem: elimina ruídos e concentra o sinal na faixa de frequência desejada; Amostragem: converte o sinal da mensagem em uma sequência de números, representado a amplitude do sinal a cada instante de tempo; Quantização: representa cada número amostrado dentro de um número finito de níveis de amplitude discreta; Codificação: código binário, por exemplo. Aula 1

4 Exemplos de Sistema: Sistemas de Controle O objeto a ser controlado é chamado planta Piloto automático de avião, veículo de transporte coletivo, motores de automóveis,refinarias de petróleo, fábricas de papel, usinas elétricas, robôs. Um sistema é robusto se tem boa regulação, apesar de perturbações externas, levando ao uso de realimentação Aula 1

5 Exemplos de Sistema: Sensoreamento Remoto Processo de adquirir informações sobre um objeto de interesse sem estar em contato físico com ele Estudo de superfície planetária Sensores de radar para informações das propriedades físicas da superfície Sensores infravermelho para propriedade térmicas da superfície Sensores visíveis e próximos do infravermelho para informação da composição química Sensores de raio-x para informações sobre materiais radioativos Aula 1

6 Processamento de Sinal Analógico x Digital Analógico: resistores, capacitores, indutores, amplificadores transistorizados e diodos. Digital: somadores, multiplicadores, memória Apesar que a abordagem analógica trabalhe em tempo real, a digital possui: Flexibilidade de trabalhar com várias finalidades; Repetitividade. Os sistemas são mistos por natureza. Aula 1

7 Classificação de Sinais Considerações: Sinais unidimensionais, ou seja, para cada valor de t há um único valor de f(t); Os sinais podem ser de valor real ou complexo mas o tempo sempre é real. Pode-se identificar 5 tipos de sinais: Sinais de tempo contínuo e tempo discreto Sinais pares e ímpares Sinais periódicos e não-periódicos Sinais determinísticos e sinais aleatórios Sinais de energia e de potência Aula 2

8 Sinais de Tempo Contínuo e de Tempo Discreto Um sinal x(t) é um sinal de tempo contínuo se ele for definido para todo tempo t Um sinal de tempo discreto x[n] é definido somente em instantes isolados de tempo e pode ser derivado de um sinal de tempo contínuo fazendo amostragem deste a uma taxa uniforme Aula 2

9 Sinais Pares e Ímpares Par: x(-t) = x(t), para todo t (Eq. 1.2) Simétricos ao eixo vertical. Ímpar: x(-t) = -x(t), para todo t (Eq. 1.3) Antissimétricos ao eixo do tempo. Aula 2

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11 Sinais Pares e Ímpares O conjugado de um sinal de valor complexo, x(t) = a(t)+jb(t), é definido por x*(t) = a(t)-jb(t). Diz-se que um sinal é conjugado simétrico se x(-t) = x*(t), ou seja, Um sinal complexo é conjugado simétrico se sua parte real for par e sua parte imaginária for ímpar. Uma observação similar se aplica a um sinal de tempo discreto Aula 2

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13 Sinais Periódicos e Não-Periódicos Um sinal é periódico se satisfaz a condição x(t) = x(t+t), onde T é uma constante positiva. Se esta condição valer para T=T 0, então vale para T=2T 0, 3T 0,..., onde T 0 é o período fundamental de x(t). Assim, a frequência fundamental será f=1/t (Hz) e a frequência angular será dada por ω=2π/t (rad/s). Já o sinal não-periódico não satisfaz a condição acima. Aula 2

14 Sinais Periódicos e Não-Periódicos Aula 2

15 Sinais Periódicos e Não-Periódicos Para sinais discretos temos que a condição de periodicidade é dada por: x[n] = x[n+n], para todos os números inteiros de n. O menor valor inteiro de N para o qual a equação acima é satisfeita é chamado de período fundamental, cuja frequência angular, medida em RADIANOS, é dada por: Ω=2π/N. Aula 2

16 Sinais Periódicos e Não-Periódicos Aula 2

17 Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer instante. Podem ser modelados por uma função. Tempo contínuo: Tempo discreto: Aula 2

18 Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência real. Um sinal aleatório pertence a um grupo de sinais onde cada sinal é diferente do outro e tem sua probabilidade de ocorrência. O conjunto de sinais aleatórios é chamado de processo aleatório Exemplos: ruído gerado em um amplificador de áudio, sinal de EEG. Aula 2

19 Sinais de Energia e Sinais de Potência: Definições Como p(t) = v 2 (t)/r ou p(t) = Ri 2 (t), se R=1Ω então a potência instantânea é dada por: p(t) = x 2 (t). Portanto, a energia total do sinal de tempo contínuo x(t) será: E a potência média é definida como: Para um sinal periódico a potência média será: A raiz quadrática de P é o valor quadrático médio ou RMS do sinal x(t). Aula 2

20 Sinais de Energia e Sinais de Potência: Definições Para o caso discreto temos Para um sinal periódico com período fundamental N Aula 2

21 Sinais de Energia e Sinais de Potência Um sinal é sinal de energia se, e somente se, a energia total do sinal satisfaz: 0< E <. Um sinal é sinal de potência se, e somente se, 0< P <. Um sinal de energia tem potência média zero e um sinal de potência tem energia infinita. Os sinais periódicos e aleatórios são geralmente sinais de potência, enquanto sinais determinísticos e não-periódicos são sinais de energia. Aula 2

22 Sinais de Energia e Sinais de Potência Aula 2

23 Operações Básicas em Sinais Envolve uma combinação de algumas operações básicas Operações executadas nas variáveis dependentes, variável x(t); Operações executadas nas variáveis independentes, variável t. Aula 3

24 Operações Executadas nas Variáveis Dependentes Mudança na escala de amplitude Caso contínuo: y(t) = cx(t), onde c é o fator de mudança de escala. Exemplo: amplificador, resistor. Caso discreto: y[n] = cx[n]. Adição Caso contínuo: considere x 1 (t) e x 2 (t) como um par de sinais de tempo contínuo. A soma será y(t) = x 1 (t)+x 2 (t). Exemplo: misturador de áudio Caso discreto: y[n] = y 1 [n]+y 2 [n] Aula 3

25 Operações Executadas nas Variáveis Dependentes Multiplicação Caso contínuo: y(t) = x 1 (t)x 2 (t). Exemplo: sinal de rádio AM, onde x 1 (t) é o sinal de rádio e x 2 (t) é a portadora. Caso discreto: y[n] = y 1 [n]y 2 [n]. Diferenciação Caso contínuo, x(t): Exemplo: indutor Aula 3

26 Operações Executadas nas Variáveis Dependentes Integração Caso contínuo, x(t): Exemplo: capacitor Aula 3

27 Operações Executadas na Variável Independente Mudança de escala de tempo Caso contínuo: y(t) = x(at) Se a >1, y(t) é uma versão comprimida de x(t) Se a <1, y(t) é uma versão expandida de x(t) Caso discreto: y[n] = x[kn], k >0 e inteiro Se k >1, alguns valores do sinal de tempo discreto y[n] são perdidos Aula 3

28 Operações Executadas nas Variável Independente Reflexão Caso contínuo: y(t) = x(-t) é o sinal refletido do sinal x(t) em relação ao eixo de amplitude Sinal par: um sinal par é o mesmo que sua versão refletida Sinal ímpar: um sinal ímpar é o negativo da sua versão refletida Caso discreto: similar Aula 3

29 Operações Executadas nas Variável Independente Aula 3

30 Operações Executadas nas Variável Independente Aula 3

31 Operações Executadas nas Variável Independente Deslocamento no tempo Caso contínuo: x(t) deslocado no tempo é definido por y(t) = x(t-t 0 ) onde t 0 é o deslocamento. Se t 0 >0, x(t) é deslocado para a direita. Se t 0 <0, x(t) é deslocado para a esquerda. Aula 3

32 Operações Executadas nas Variável Independente Deslocamento no tempo Caso discreto: x[n] deslocado será y[n] = x[n-m], onde m é inteiro positivo ou negativo Aula 3

33 Regra de Precedência para Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala Suponha que y(t) seja derivado de x(t) através de uma combinação de deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo, isto é, y(t) = x(at-b). Portanto, esta relação satisfaz as condições: y(0)=x(-b) e y(b/a)=x(0) Para obtermos y(t) a partir de x(t) as operações de deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo devem ser executadas na ordem correta: 1. Operação de deslocamento no tempo (variável independente), gerando v(t) = x(t-b), e depois 2. Operação de mudança de escala (variável dependente), substituindo t por at: y(t) = v(at)=x(at-b) Aula 3

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35 Regra de Precedência para Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala Aula 3

36 Regra de Precedência para Deslocamento no Tempo e Mudança de Escala Aula 3

37 Sinais Elementares Servem como blocos de construção para sinais mais complexos e modelam sinais físicos que ocorrem na natureza Sinais exponenciais; Sinais senoidais; Sinal senoidal exponencialmente amortecido; Função degrau; Função impulso; Função rampa. Aula 4

38 Sinais Exponenciais Caso contínuo: x(t) = Be at, B e a são reais e B é a amplitude Se a <0: exponencialmente decrescente Se a >0: exponencialmente crescente Exemplos: (a) a =-6, B =5, (b) a =5, B =1 Aula 4

39 Sinais Exponenciais Caso contínuo, exemplo físico: Que gera a equação diferencial: Cuja solução é: Aula 4

40 Sinais Exponenciais Caso discreto: x[n] = Br n, onde r é definido como: r=e α Se 0< r <1: exponencial decrescente Se r >1: exponencial crescente Se r <0: um sinal exponencial de tempo discreto som sinais + e alternando-se É possível que um sinal exponencial tenha valor complexo quando B, a ou α tenham valores complexos. Exemplos: e jωt, e jωn Aula 4

41 Sinais Senoidais Caso contínuo: x(t) = Acos(ωt+φ) Aula 4

42 Sinais Senoidais Caso contínuo Um sinal senoidal é periódico, pois: Para a geração de um sinal senoidal temos o indutor e capacitor em paralelo, onde ω 0 é a frequência natural de oscilação angular Aula 4

43 Sinais Senoidais Caso discreto: x[n] = Acos(Ωn+φ) O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras, x[n] = x[n+n], onde N é o período. Então, x[n+n] = Acos(Ωn+ ΩN+φ) Para que a condição de periodicidade seja satisfeita tem-se que: ΩN=2πm ou Ω=2πm/N (radianos/ciclo), m, N inteiros Nem todos os sistemas senoidais de tempo discreto com valores arbitrários de Ω são periódicos. Ω deve ser um múltiplo na forma de razão de 2π. Exemplo: A=1, φ=0 e N=12 Aula 4

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46 Sinais Senoidais Aula 4

47 Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos Caso contínuo: Aula 4

48 Relação entre Sinais Senoidais e Sinais Exponenciais Complexos Caso discreto: Aula 4

49 Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido Resultante da multiplicação de um sinal senoidal por uma exponencial decrescente de valor real: Aula 4

50 Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido Exemplo físico: resposta natural RLC Aula 4

51 Sinal Senoidal Exponencialmente Amortecido Para o caso discreto temos que Para que o sinal decresça com o tempo: 0< r <1 Aula 4

52 Função degrau Caso discreto: Caso contínuo: Aula 5

53 Função degrau A função degrau é um sinal simples de aplicar, como uma fonte DC aplicada em t = 0 fechando-se uma chave. Como sinal de teste, um degrau é útil para revelar a rapidez com que o sistema responde a uma mudança abrupta no sinal de entrada. Uma observação similar se aplica a u[n] no contexto discreto. A função degrau também é usada de base para construção de outros sinais. Aula 5

54 Função degrau Aula 5

55 Função degrau Aula 5

56 Função Impulso Caso discreto: Caso contínuo: δ(t) é conhecido como delta de Dirac δ(t) é a derivada do degrau u(t), e então, u(t) é a integral do impulso Aula 5

57 Função Impulso Caso contínuo: δ(t) é uma função par, ou seja, δ(-t)= δ(t) Para que um impulso matemático tenha significado matemático ele tem de aparecer como um fator no integrando de uma integral com relação ao tempo. Isso leva à propriedade de peneiramento do impulso unitário Aula 5

58 Função Impulso Caso contínuo: Outra propriedade do impulso é a mudança de escala de tempo Aula 5

59 Função Rampa Caso contínuo: δ(t) é a derivada de u(t). Pelo mesmo raciocínio, a integral de u(t) é uma função rampa de inclinação unitária Em termos mecânicos, uma rampa pode ser visualizada como um sistema que tenha como entrada o deslocamento angular de um eixo com rotação constante. Assim, a velocidade angular do eixo é a função degrau, que integrada no tempo é o deslocamento angular Aula 5

60 Função Rampa Caso contínuo: Como sinal de teste, a função rampa possibilita avaliar como um sistema de tempo contínuo reagiria a um sinal que crescesse linearmente. Caso discreto: Aula 5

61 Sistema Vistos como Interconexões de Operações Um sistema pode ser visto com uma interconexão de operações que transforma um sinal de entrada em um sinal de saída diferente da entrada. Suponha que o operador global H denote a ação de um sistema, então Aula 6

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63 Sistema Vistos como Interconexões de Operações Aula 6

64 Propriedades dos Sistemas Descrevem as características do operador H que representam o sistema: Estabilidade; Memória; Causalidade; Invertibilidade; Invariância no tempo; Linearidade. Aula 6

65 Estabilidade Um sistema é BIBO estável (entrada limitada-saída limitada) se, e somente se, toda entrada limitada resulta em saída limitada. Ou seja, a saída do sistema não diverge se a entrada não divergir. O operador H é BIBO estável se o sinal de saída y(t) satisfizer Sempre que a entrada satisfizer onde M y e M x são números positivos finitos Para um sistema discreto a análise é semelhante Sempre se busca um sistema estável Aula 6

66 Aula 6

67 Estabilidade Aula 6

68 Estabilidade Aula 6

69 Memória Um sistema possui memória se sua saída depender de valores passados do sinal de entrada. Sistema sem memória é o caso contrário. A extensão temporal de valores passados, define quão longe a memória do sistema se estende no passado. Exemplos: Um resistor é sem memória, pois i(t) = v(t)/r O indutor tem memória, pois i(t) = 1/L t -infv(t)dt. Essa memória se estende no passado infinito O sistema y[n] = 1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]) tem memória O sistema y[n] = x 2 [n] é sem memória Aula 6

70 Memória Aula 6

71 Causalidade Um sistema é causal se o valor atual do sinal de saída depender somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada. Em contrapartida, o sinal de saída de um sistema não-causal depende dos valores futuros da entrada. Exemplos: Média móvel 1: y[n] = 1/3(x[n]+x[n-1]+x[n-2]) é causal Média móvel 2: y[n] = 1/3(x[n+1]+x[n]+x[n-1]) é não causal Aula 6

72 Memória Aula 6

73 Invertibilidade Um sistema é invertível se a entrada do sistema puder ser recuperada a partir da saída do sistema. Para que a igualdade seja verdadeira, temos que: H -1 é o operador inverso e o sistema associado a este operador é chamado de sistema inverso. H -1 não é o recíproco e é difícil de achar. O problema da invertibilidade pode acontecer em sistemas de telecomunicação, onde um equalizador é utilizado para compensar as distorções do canal, funcionando como o inverso deste. Aula 6

74 Invertibilidade Aula 6

75 Invertibilidade Aula 6

76 Invariância no Tempo Um sistema é invariante no tempo se um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada levar a um deslocamento de tempo idêntico na saída Supondo y(t) = H{x(t)} e que x(t) seja deslocado de t 0, resultando em x(t-t 0 ) ou x(t-t 0 ) = S t0 {x(t)}. Considere que y i (t) é a saída para x(t-t 0 ), ou seja: Agora suponha que y o (t) é a saída original do sistema deslocada de t 0 segundos O sistema será invariante no tempo se y i (t) = y o (t), ou seja, se HS t0 = S t0 H. Assim, os dois operadores devem permutar-se entre si para todo t 0. O mesmo serve para o caso discreto. Aula 6

77 Aula 6

78 Propriedades dos Sistemas Invariância no Tempo Aula 6

79 Linearidade Diz-se que um sistema é linear se satisfizer o princípio da superposição. Supondo a entrada ponderada: Onde x i é um conjunto de sinais de entrada e a i são os fatores de ponderação correspondentes. Então: Se o sistema for linear, a saída y(t) pode ser expressa como: Onde e então Ou seja, a operação de adição deve comutar-se com a operação H do sistema. Aula 6

80 Linearidade Aula 6

81 Linearidade Aula 6

82 Linearidade Aula 6

83 Linearidade Aula 6