Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

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1 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo x(n): X e jω = x(n)e jωn n= A DTFT é uma função complexa da variável real e contínua ω. A DTFT é uma função periódica com período 2π: X e j(ω+2πk) = x(n)e j(ω+2πk)n n= = x(n)e jωn = X e jω n=

2 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Por ser uma função complexa da variável real ω, pode ser expressa como: ou, na forma polar: X e jω = X R e jω + jx I e jω X e jω = Π ω e jθ(ω) onde Π ω = X(e jω ) = X R e jω 2 + X I e jω 2 e Θ ω = X e jω = atan (X I e jω /X R e jω ) são os espectros de módulo e de fase, respectivamente, de x n.

3 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Exemplo: A DTFT de é x n = (0,6) n u(n) X e jω = (0,6) n e jωn = n= ,6e jω ou seja, e Π ω = X(e jω ) = 1 1 0,6cos (ω) 2 + (0,6 sen ω ) 2 Θ ω = X e jω = atan (0,6 sen ω /(1 0,6 cos ω ))

4 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

5 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Relações de simetria da DTFT: Para uma sequência x(n) real: X e jω = x(n)e jωn n= = x(n)e jωn n= = X e jω Portanto: X R e jω = X R e jω função par X I e jω = X I e jω função ímpar

6 Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Também tem-se, para uma sequência x(n) real: X(e jω ) = X(e jω ) função par X e jω = X e jω função ímpar Para uma sequência x(n) par: X I e jω = 0 Para uma sequência x(n) ímpar: X R e jω = 0

7 DTFT Inversa A sequência x(n) pode ser obtida a partir de X e jω através da IDTFT: x n = 1 π X e jω e jωn dω 2π π Existe uma relação de unicidade entre uma sequência e sua DTFT: x(n) X e jω A expressão da IDTFT exprime x(n) como uma soma contínua de sequências exponenciais complexas cujas amplitudes e fases são determinadas por X e jω.

8 Convergência da DTFT A DTFT existirá se a série convergir. X e jω = x(n)e jωn n= Se x(n) for absolutamente somável, ou seja: n= x(n) < então a série acima convergirá uniformemente para uma função contínua de ω, tal que X e jω <, ω A série é então denominada absolutamente convergente.

9 Convergência da DTFT Exemplo: a sequência x n pois n= x(n) = = (0,6) n u(n) é absolutamente somável n=0 (0,6) n = 1 1 0,6 = 2,5 indicando que a série para 1 1 0,6e jω. n=0 (0,6) n e jωn converge uniformemente Sequência absolutamente somável tem energia finita: n= x(n) 2 x(n) n= No entanto, uma sequência com energia finita não necessariamente será absolutamente somável.

10 Convergência da DTFT Exemplo: a sequência x n = 1 u(n 1) n tem energia mas não é absolutamente somável. A série que define a sua DTFT converge no sentido médio quadrático para uma função de ω.

11 Convergência da DTFT Definido a soma parcial: l X l e jω = x(n)e jωn n= l a sequência de funções X l e jω, l = 1,2,3, convergirá uniformemente para a série que define a DTFT X e jω se existir um inteiro L tal que: X e jω X l e jω < ε, ω, l > L para um ε tão pequeno quanto se queira. Ou seja: lim X l l e jω = X(e jω ) A DTFT de uma função absolutamente somável é contínua, pois é o limite de funções contínuas X l e jω.

12 Convergência da DTFT Convergência no sentido médio quadrático: l X l e jω = x(n)e jωn n= l a sequência de funções X l e jω, l = 1,2,3, convergirá no sentido para médio quadrático se existir um inteiro L tal que: X e jω X l e jω 2 dω < ε, l > L para um ε tão pequeno quanto se queira. Ou seja: lim l X e jω X l e jω 2 dω = 0

13 Convergência da DTFT Exemplo: Seja x n = sen(ω cn) πn Esta sequência não é absolutamente somável, mas tem energia finita (ω c /π). A soma finita: X l e jω = l n= l sen(ω c n) πn e jωn apresenta oscilações que não diminuem de amplitude quando se aumenta l. Este comportamento é conhecido como fenômeno de Gibbs.

14 Convergência da DTFT

15 Convergência da DTFT Representação em Transformada de Fourier de sequências que não são absolutamente somáveis nem tem energia finita: Exemplo: a série da DTFT da sequência senoidal complexa x n = e jω 0 n não converge uniformemente nem quadraticamente. É possível entretanto definir a DTFT desta sequência pelo trem de impulsos de Dirac: X e jω = 2πδ D (ω ω 0 + 2πk) k=

16 Convergência da DTFT Uma outra sequência importante que não é absolutamente somável nem tem energia finita é o degrau unitário u n. Esta sequência pode ser representada no domínio da frequência por. U e jω = 1 1 e jω + πδ D(ω + 2πk) k=

17 Propriedades da DTFT Sejam g(n) G(e jω )e h(n) H(e jω ). Então as seguintes propriedades são validas: (i) Linearidade: αg n + βh n αg e jω + βh e jω (ii) Deslocamento no tempo: g(n n 0 ) e jωn 0G(e jω ) (iii) Deslocamento na frequência: e jω 0n g(n) G(e j(ω ω 0) )

18 Propriedades da DTFT (iv) Reversão no tempo: g( n) G(e jω ) (v) Diferenciação na frequência: (vi) Convolução: ng(n) j dg(ejω ) dω g n h n G e jω H e jω

19 Propriedades da DTFT (v) Modulação: g n h n 1 2π π π G e jθ H e j(ω θ) dθ Relação de Parseval: n= h n 2 = 1 2π π π H e jω 2 dω

20 Propriedades da DTFT DTFTs mais usadas: δ n 1 1 < n < 2πδ ω + 2πk k= u n 1 + πδ ω + 2πk 1 e jω k= e jω 0n 2πδ ω ω 0 + 2πk k= α n u n, ( α < 1) 1 1 αe jω (n + 1)α n u n, ( α < 1) 1 1 αe jω 2 α n u n 1, ( α > 1) 1 1 αe jω h LP n = sen(ω cn) πn, < n < H LP e jω = 1, 0 ω ω c 0, ω c < ω π