ANÁLISE DE SINAIS ANÁLISE ESPECTRAL

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1 ANÁLISE DE SINAIS Larissa Driemeier Marcilio Alves Rafael T Moura Tarcísio H Coelho 1 ANÁLISE ESPECTRAL Domínio do tempo Análise Síntese Domínio da frequência Amplitude do deslocamento Massa Mola papel a velocidade constante Força 2 1

2 O que é transformação????? É o mapeamento entre domínios! Poli Mecânica, Mecatônica e Naval GPS: Av Prof Mello Moraes, 2231 Todos tem a mesma informação! 3 DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA OUTRA FORMA DE OLHAR PARA O SINAL A A análise espectral é uma forma alternativa de identificar, descrever e analisar sinais, complementar à análise no tempo frequência frequência tempo A análise espectral permite: - Identificar e suprimir fontes de interferência - Identificar as componentes de um sinal 4 2

3 Existem infinitas formas de onda que podem ser usadas na decomposição: onda quadrada, triangular, etc Porque usar a senoide? O sistema diminuiu o ganho em X=3/5 e deslocou (shifted) para a direita de =4 LTI Portanto, senoides não mudam a forma em sistemas lineares invariantes no tempo (LTI systems) Essa propriedade é chamada fidelidade senoidal: senoides que entram em um sistema de transformação linear saem como senoides com (possíveis) mudanças na amplitude e fase, mas mantendo a frequência original Esta propriedade é bastante útil, e apenas as senoides a possuem Em resumo, outras decomposições são possíveis, mas não são úteis 5 COMO PASSAR DO DOMÍNIO DO TEMPO PARA FREQUÊNCIA E VICE VERSA??? 3

4 A base de tudo é a série de Fourier!!!! Jean Baptiste Joseph Fourier ( ), francês A obra principal de Fourier tem o título: Mémoire sur la théorie de la chaleur, publicada no Extrait du mémoire lu à l'académie des sciences le 1er décembre 1828, 1829, t 11 p SÉRIE DE FOURIER Uma função periódica f(t) que satisfaça as condições de Dirichlet pode ser expressa como uma série de Fourier, com termos seno e cosseno harmonicamente relacionados, x t = a n=1 a n cos nω 0 t + b n sin nω 0 t a 0 = 2 x t dt, ω T 0 = 2π T T média do sinal num período, ie, termo DC ou componente de frequência zero a n = 2 T T x t cos nω 0 t dt b n = 2 T T x t sin nω 0 t dt n = 1,2, formam uma base ortogonal do espaço de sinais 8 4

5 CONDIÇÕES DE DIRICHLET Em um intervalo periódico: 1) O sinal deve ser absolutamente integrável: t 0 +T t f t 0 dt não tendem ao infinito 2) f(t) deve ter um número finito de descontinuidades; 3) f(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos Não atende ao item 1: A integral é infinita x t = 1 t x t = sin 2π t Não atende ao item 3: nesse intervalo a função varia entre infinitos valores de máximo e mínimo e não há como representar tal função usando os coeficientes da série de Fourier Não atende ao item 2: 9 EXEMPLO: ONDA QUADRADA x t = 1 se 1 < t < 0 1 se 0 < t < 1 x t + 2n = x t, n inteiro (período T = 2s) ω 0 = 2π T = π 10 5

6 SOLUÇÃO x t = a a n cos nω 0 t + b n sin nω 0 t n=1 a 0 = 2 T 0 Tx t dt a 0 = dt dt = 0 Esta parte da solução pode ser eliminada, pois trata-se de uma função ímpar, a n = 0 a n = 2 T 0 Tx t cos nω 0 t dt a n = cos nω 0 t dt + a n = 1 nπ sin nω 0 0t cos nω 0 t dt sin nω0 t 0 1 = 0 11 b n = 2 T 0 Tx t sin nω 0 t dt b n = sin nπt dt + b n = 1 nπ cos nπt sin nπt dt cos nπt 0 1 = 2 nπ 1 cos nπ Como cos nπ = 1 n b n = 2 nπ 1 1 n = 4 nπ, n ímpar 0, n par x t = b n sin nπt com b n = n=1 4 nπ, n ímpar 0, n par 12 6

7 Obviamente, na prática, não é possível trabalhar com infinitas parcelas e um número finito deve ser empregado

8 FENÔMENO DE GIBBS Como podemos ver, quanto maior o número de harmônicos considerados, melhor é a aproximação da função de onda quadrada pela série de Fourier Também podemos notar a partir desses resultados que os "picos" perto das descontinuidades não reduzem de altura Talvez um pouco no começo, mas logo convergem a uma dimensão não nula Este fenômeno é chamado de fenômeno de Gibbs e ocorre sempre que você tentar reconstruir uma função com saltos de descontinuidade usando a série de Fourier e 1000 primeiros harmônicos! 15 O QUE QUEREMOS NO ESTUDO DE ANÁLISE DE SINAIS???? x(t) Sinal CT de um sensor Conversor f s x[n] amostragem x[0] x[1] x[n] memória DENTRO DO COMPUTADOR via FFT processador X[0] X[1] X[n] memória 16 8

9 NOSSO MAPA Sinal Sinal Transformada Contínuo no tempo Discreto no tempo Não periódico Periódico Contínua na frequência Discreta na frequência Transformada de Fourier (FT) Série de Fourier (FS) FS: Série de Fourier FT: Transformada de Fourier DTFS: Série de Fourier em tempo discreto DTFT: Transformada de Fourier em tempo discreto DFT: Transformada discreta de Fourier FFT: Transformada rápida de Fourier (DFT via computador) DTFT DTFS, DFT, FFT 17 A maioria dos sinais físicos são contínuos, pex, posição e velocidade de um corpo, fala ou música captada por um microfone, tensão ou corrente num circuito elétrico SINAIS CONTÍNUOS NO TEMPO x(t) t 9

10 FS Um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infinito T e 1 T dω 2π FT Síntese x t = c n e jnω 0t n= Síntese x t = 1 2π + X ω e jωt dω Análise c n = 1 x t e jnω0t dt T T Harmônicos c n distanciados ω = ω 0 = 2π/T Análise + X ω = x t e jωt dt 19 TREM PERIÓDICO DE IMPULSOS (OU TREM DE IMPULSO) s t = k= δ t kt T 2 c n = 1 T T 2 δ t e jnω 0t dt = 1 T s t = 1 T n= e jn1 T t 20 10

11 EXEMPLO 1 Calcular a transformada da função pulso retangular: x t = 1 se a < t < a 0, cc Essa função é comumente chamada de rect t 2a 21 + X ω = x t e jωt dt + = 1 x t e jωt dt = a jω e jωt a a a 1e jωt dt = = ejωa e jωa jω = 1 2 sin ωa ω cos θ = ejθ + e jθ 2 sin θ = ejθ e jθ 2j sin ωa X ω = 2a ωa = 2a sinc ωa 22 11

12 Largura de banda 23 Diagrama de módulo (Só tem parte real) Diagrama de fase X ω = 0 se X ω > 0 π se X ω <

13 AFINAL, O QUE É A FUNÇÃO SINC? sinc (x) é o produto de um sinal de oscilação sin(x) pela função decrescente 1 x Por isso, é um amortecimento da oscilação com período 2π e amplitude decrescente 1 x sinc(x) é uma função par de x sinc(x) = 0 quando sin(x) = 0, exceto quando x = 0 Isto é, somente quando x = ±π, ±2π, ±3π, sinc 0 = 1 25 FT PARA IMPULSO UNITÁRIO δ(t) Se, X ω = + x t e jωt dt = + δ(t)e jωt dt = 1 Impulso unitário contém componente em todas as frequências x t = δ(t) X ω = 1 t ω 26 13

14 INVERSA DA FT PARA δ ω Se, X ω = 2π δ ω Então, aplicando-se a equação de síntese da FT, + x t = 1 2π X ω e jωt dω = 1 2πδ ω e jωt dω = 1 2π x t = 1 X ω = 2π δ ω t 0 27 ω INVERSA DA FT PARA δ ω ω 0 Se, X ω = 2π δ ω X ω = 2π δ ω ω 0 ω 0 ω Então, aplicando-se a equação de síntese da FT, x t = 1 + X ω e jωt dω = 1 2π Similarmente: 2π 2π δ ω ω 0 e jωt dω = e jω 0t X ω = 2π δ ω + ω 0 x t = e jω 0t 28 14

15 TREM DE IMPULSOS Então, considere agora um trem de impulso X ω = 2πc k δ ω kω 0 k= Exatamente a síntese da série de Fourier x t = k= c k e jkω 0t X ω que satisfaz essa equação é chamado de Trem de impulsos e define a transformada de Fourier para sinais periódicos em função dos coeficientes c k da série de Fourier exponencial 29 FT PARA SINAIS PERIÓDICOS Síntese x t = c k e jkω 0t k= Análise X ω = 2πc k δ ω kω 0 k= 30 15

16 TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO COSSENO COS ω 0 t x t = cos ω 0 t = ejω 0t + e jω 0t 2 X ω = π δ ω + ω 0 + δ ω ω 0 Espectro de sinal cosseno tem dois impulsos em frequências positiva e negativa cos ω 0 t x t 0 t π X ω π ω 0 0 ω 0 ω 31 FUNÇÃO RETANGULAR Suponha que a função retangular do exemplo anterior seja estendida e transformada em uma função periódica 1, se t < a x t = 0, se a < t < T 2 x t + T = x t T = 4a, ω 0 = 2π T = π 2a 32 16

17 1, se t < a x t = 0, se a < t < T 2 x t + T = x t Já conhecemos, c n = 1 T T x t e jnω 0t dt Inicialmente n = 0: Para n 0: a c 0 = 1 T a 1 dt = 2a T, n = 0 a c n = 1 T a e jnω 0t dt = 2 sin nω 0a Tnω 0 c n = sin nω 0a nπ, n 0 33 Logo, a FT deste sinal é o trem de impulsos X ω = 2πc k u 0 ω kω 0 k= X ω = 2π 2a T u 0 ω kω 0 + k= k 0 2π sin kω 0a kπ u 0 ω kω 0 X ω = γ k u 0 ω kω 0 k= γ k = 4πa T 2 sin kω 0a k k = 0 k

18 Para T = 4 (ω 0 = π 2, a = 1), 35 X ω 2 2/5 11ω 0 7ω 0 3ω 0 13ω 0 9ω 0 5ω 0 3ω 0 7ω 0 11ω 0 ω 0 ω 0 5ω 0 9ω 0 13ω 0 0 ω 2/

19 Só os sinais discretos podem ser armazenados e processados em computadores digitais SINAIS DISCRETOS x[n] n AMOSTRAGEM Sinal analógico é contínuo no tempo e contém infinitos valores Como temos um espaço de tempo e memória limitados, temos que transmitir apenas uma amostra deste sinal Ou seja, a forma de onda original, infinita e definida em um tempo contínuo, passa a ser representada em tempo discreto por amostras obtidas a cada intervalo de tempo T s O inverso do intervalo de amostragem é a frequência de amostragem, f s = 1 T s Quanto maior a frequência de amostragem, mais fácil de reproduzir o sinal, maior a largura de banda 38 19

20 FUNÇÃO DISCRETA t = t 0, t 1, t 2,, t N 1 = NT s, onde T s é o intervalo de amostragem e N é o número de pontos 1 T s = f s é a taxa de amostragem ou freqüência fundamental Ex Um aparelho mede 500 pontos a uma taxa de 10 khz Determine a duração da amostragem t = s = 50 ms t = T s = 1 f s 39 DFS DFT Síntese N 1 c k = 1 x n e j2π N kn N n=0 Síntese N 1 X k = x n e j2π N kn n=0 Análise N 1 x n = c k e j2π N kn k=0 Análise N 1 x n = 1 X k e j2π N kn N k=0 20

21 DTFT Síntese X ω = x n e jωn n= Síntese DFT N 1 X k = x n e j2π N kn n=0 Análise x n = 1 π 2π π X ω e jωn dω Análise N 1 x n = 1 X k e j2π N kn N k=0 41 DTFT VS DFT A DTFT é a transformada de Fourier (FT convencional) de um sinal de tempo discreto Sua saída é periódica e contínua em frequência A DFT pode ser visto como a versão de amostragem (no domínio da frequência) da saída DTFT Ela é usada para calcular o espectro frequência de um sinal discreto no tempo usando o computador, já que os computadores só podem lidar com um número finito de valores A DFT e a sua inversa estão implementadas no Matlab como fft and ifft 42 21

22 DFT Na verdade o que se deseja é: FT (Transformada de Fourier) No entanto o que é realmente realizado é a : DFT (Transformada Discreta de Fourier) DFT é uma amostragem da TDFT, que é a FT em tempo discreto, no domínio da frequência 43 CTFT, DTFT E DFT DFT é utilizada para implementar numericamente a FT Porém, precisamos entender o que os valores da DFT nos dizem sobre os valores da CTFT de x(t) Portanto, precisamos entender a relação entre CTFT, DTFT e DFT DENTRO DO COMPUTADOR x(t) Sinal CT de um sensor Conversor f s x[n] amostragem x[0] x[1] x[n] memória DFT via FFT processador X[0] X[1] X[n] memória 44 22

23 ERROS ACUMULADOS ALIASING FT x(t) Conversor AD x[n] x[0] x[1] x 2 x[n] DENTRO DO COMPUTADOR DFT via FFT X[0] X[1] X 2 X[n] DTFT do sinal completo aliasing 45 TEOREMA DE NYQUIST DA AMOSTRAGEM Existe a perda de informações quando se faz uma amostragem de um sinal contínuo no tempo? Sim, em geral, mas nem sempre Diz o teorema: Se um sinal analógico x a (t) tem banda limitada, ou seja, se a frequência mais elevada do sinal é F max ou seja, X ω = 0 para F > F max, então, é suficiente uma amostragem a qualquer taxa f s > 2F max, e podemos exatamente recuperar (em princípio) sinal analógico x a (t) a partir de tais amostras utilizando a seguinte fórmula: x a t = onde x n = x a n f s n= x n 2F max sinc 2F f max t n f s s 46 23

24 PORTANTO, Para que seja possível reconstituir o sinal original é necessário que a frequência de amostragem seja, no mínimo, igual ao dobro da frequência máxima contida no sinal analógico Caso contrário produz-se um fenômeno bastante indesejado, denominado de aliasing, que se traduz numa sobreposição de espectro que inviabiliza a correta recuperação do sinal A frequência de amostragem mínima chama-se frequência de Nyquist, em homenagem à Nyquist que, em 1928 estudou a amostragem de sinais nas séries de Fourier 47 Três sinais sinusoidais distintos cujas amostras são idênticas: ALIASING 48 24

25 FT SINAL AMOSTRADO VS FT SINAL CONTÍNUO s t = δ t nt s n= x s t = x t s t = x t n= δ t nt s X s ω = 1 T k= X ω kω s 49 A amostragem de sinal de entrada x(t) pode ser obtida multiplicando x(t) por um trem de impulsos δ(t) de período T s A saída do multiplicador é um sinal discreto chamado sinal amostrado y[t], que está representada com y (t) nos seguintes diagramas x(t) x(t) t δ(t) y[t] δ(t) y[t] 50 25

26 51 ENTÃO Os sons audíveis pelo ouvido humano têm uma frequência entre 20Hz e 20kHz Qual o intervalo máximo de amostragem T s que podemos usar para amostrar um sinal sem perda de informação audível? A 100 μs B 50 μs C 25 μs D 100π μs E 50π μs F 25π μs 52 26

27 DESAFIO Sonata No 1 In G Minor Presto - Johann Sebastian Bach, amostrada a: A 441 khz B 22 khz C 11 Hz D 55 khz E 28 khz Use um filtro anti-aliasing e repita a amostragem anterior Melhorou? Não? Sim? Porque? 53 ANTIALIASING 54 27

28 FILTROS 55 DTFT VS DFT EM DOIS CASOS 56 28

29 ERROS ACUMULADOS sinal truncado FT x(t) Conversor AD x[n] x[0] x[1] x[n] DENTRO DO COMPUTADOR DFT via FFT X[0] X[1] X[n] DTFT do sinal completo aliasing DFT do sinal truncado 57 DFT E DTFT: CASO DE DURAÇÃO FINITA Se x[n] = 0 para n < 0 e n N, então a DTFT é: X ω = n= x n e jωn = N 1 n=0 x n e jωn Se, com N amostras computa-se a DFT, então N 1 X k = x n e j2π N kn k = 0,1,2,, N 1 n=0 Comparando-se os dois casos: X k = X k2π/n 58 29

30 Os pontos da DFT caem sobre a curva definida pela DTFT Isto é, X k são amostras de X ω em ω = k2π/n X ω X k 59 TRUQUE ZERO-PADDING Depois de coletados os N pontos de amostragem, colocamos alguns zeros adicionais ao final da lista para enganar o processo DFT (como são zeros não alteram os valores na soma DFT) Supondo que tenhamos N z pontos, incluindo os zeros que adicionamos O espaçamento entre os pontos da DFT será de 2π/N z, que é menor que 2π/N No MatLab, X = fft x, N ; % FFT size N = number of zeros > length(x) 60 30

31 EXEMPLO IMPORTÂNCIA DO ZERO-PADDING 1 Fazer a DFT da sequência x[n] = δ[n] δ[n 8] com 8 pontos 2 Utilizar o truque do zero-padding para 16, 32, e 64 pontos DTFT do sinal x[n] = δ[n] δ[n 8] u[n] 1 X ω = 1 e j8ω 1 e jω

32 EXEMPLO x n = 1 para n = 0,1,2,, 2q 0 cc x[n] 1 0 2q 63 Podemos consultar tabelas DTFT sin q + X ω = 1 2 ω sin ω 2 e jqω DFT sin q + X k = 1 2 2π k N sin πk N e jq2πk N 64 32

33 x t Se não usarmos o truque do zero padding todos os valores, exceto para k = 0 serão nulos na DFT 2q = 10 N = 2q + 1 = Aumentando o número de zeros é possível representar de maneira correta a DTFT através da DFT 2q = 10 N = 22 (foram adicionados 11 zeros) 2q = 10 N = 88 (foram adicionados 77 zeros) 66 33

34 DFT E DTFT: CASO DE DURAÇÃO INFINITA Nossa amostragem tem uma dimensão finita E o sinal real é maior que essa amostragem x n n =, 3, 2, 1,0,1,2,3, Obviamente, perdemos informação 67 Imagina-se que o sinal tenha duração finita x N n = x n para n = 0,1,2,, N 1 0 cc E aí pode-se calcular a DFT de N amostras: N 1 X N k = x N n e j2πkn/n n=0 para k = 0,1,, N 1 A questão é: qual a relação entre a DFT obtida do sinal truncado x N n em relação àquela obtida com x n? 68 34

35 Verdadeira DTFT: X ω = n= DTFT do sinal truncado: X N ω = n= N 1 = DFT do sinal coletado: N 1 X N ω = n=0 n=0 x n e jωn x N n e jωn x n e jωn x n e jk2π N n O que QUEREMOS ver DFT não mostra a DTFT do sinal completo A visão DISTORCIDA do que queremos ver DFT é uma amostra da DTFT do sinal truncado O que PODEMOS ver Vamos entender qual o erro que está na DTFT truncada e, consequentemente, na DFT Depois disso, entender como minimizar o erro! 69 Vamos entender como X N (ω) se relaciona com X(ω)!!!! x N n = x n u q n q DTFT Convolução: multiplicação no domínio da frequência U q ω = sin Nω 2 sin ω 2 e j N 1 ω/2 N = 2q + 1 X N ω = 1 2π X λ U q ω λ dλ Causa distorção de X ω Quanto mais dados coletar, menor é a distorção, dado que U q ω δ ω 70 35

36 EXEMPLO 71 PONTOS SOBRE SINAL DE DURAÇÃO INFINITA DTFT de um sinal coletado é uma versão distorcida da DTFT do sinal de duração infinita ; A DFT do sinal representa pontos da curva DTFT uma visão não exata da verdadeira DTFT! Nosso truque Zero-padding aumenta a densidade de pontos da DFT, gerando uma visão melhor da DTFT distorcida! 72 36

37 ERROS ACUMULADOS DENTRO DO COMPUTADOR FT X(t) DTFT do sinal completo Conversor AD x[n] x[0] x[1] x[n] DFT via FFT X[0] X[1] X[n] aliasing sinal truncado DFT do sinal truncado 73 LEAKAGE OUTRO PROBLEMA DO SINAL TRUNCADO 74 37

38 JANELAMENTO Diferentes tipos de janelas podem ser utilizados A mais simples é a retangular, que é igual a 1 durante o intervalo de tempo que se pretende analisar, e igual a zero fora desse intervalo Lóbulo principal define a resolução: largura de 4π τ Componentes importantes a altas frequências são atenuadas pelos lóbulos secundários X ω ω 75 N=25 N=

39 JANELAMENTO Quanto mais estreito for o lóbulo principal, melhor a resolução frequencial No entanto, quanto mais estreito o lóbulo principal, mais altos se tornam os lóbulos laterais, que aparecem como ruído de fundo no espectrograma A janela retangular fornece boa resolução frequencial, mas os lóbulos laterais são muito altos, resultando em muito ruído de fundo 77 OUTRAS JANELAS As janelas de Hamming e Hanning são criadas com base em funções trigonométricas 78 39

40 HANNING 79 HANNING Por exemplo, a janela de Hanning (também chamado de Hann), em homenagem ao vienense Julius Ferdinand von Hann ( ), é dada por: No MatLab, w k = cos 2πk M 1 w = hanning(m); ou w = hann(m); Que equivalem, respectivamente, a: w = cos(2 pi (1: M) /(M + 1)); k = 0,, M 1 w = cos(2 pi (0: M 1) /(M 1)); >> hanning(3) ans = >> hann(3) ans =

41 HAMMING 81 HAMMING O janelamento começa em 0,08, sobe para 1 no meio do período, e depois cai novamente até 0,08 no final 2πk w k = 0,54 0,46 cos, k = 0,, M 1 M 1 No MatLab, w = hamming(m); Que é equivalente a: w = cos(2 pi (0: M 1) /(M 1)); >> hamming(3) ans = Opção periodic no MatLab utiliza M em vez de M 1 >> hamming(3,'symmetric') ans = >> hamming(3,'periodic') ans = >> hamming(4) ans =

42 83 Erro de distorção (smearing): controlar através da escolha apropriada do tamanho da amostra e do uso de windowing FT DFT DFT N Erro de aliasing: controlar através da escolha apropriada da taxa de amostragem Este é o único dado que conseguimos computar Com todos esses erros pendurados DFT Erro de Grid: controlar através da escolha apropriada do tamanho da amostra N e do uso do truque de zero padding 84 42

43 EXEMPLO Vamos analisar o sinal sinusoidal composto de três frequências, x = cos(2πf 1 nt) + cos(2πf 2 nt) + cos(2πf 3 nt) onde f s é a taxa de amostragem, e T s = 1 f s é o período de amostragem 2πf 1 2πf 2 2πf 3 ω 85 ALIASING f 1 = 2000 Hz f 2 = 2500 Hz f 3 = 3000 Hz f s = 200 Hz ; f s = 5000 Hz ; f s = Hz 86 43

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45 89 FFT (FAST FOURIER TRANSFORM) É simplesmente uma forma mais rápida de calcular a DFT: A FFT utiliza alguns algoritmos que permitem reduzir o número de operações para Nlog 2 N Para utilizar a FFT, é necessário que o número de amostras seja uma potência de 2 a FFT é executada mais rapidamente com um vetor cujo comprimento é uma potência de 2 Para N = 1000, DFT = , FFT = operações A FFT no Matlab Matlab permite o cálculo fácil da DFT via FFT Se tivermos um vetor A, de n elementos, >>FFTdeA = fft(a); 90 45

46 ENTENDENDO UM POUCO MAIS A FFT Com o exemplo de uma amostra de 30 pontos de uma função cosseno, frequência de 10 amostras por período Serão analisadas duas situações: 3 i diferentes valores de N na fft: fft(x,n) ii Diferentes valores de N na amostragem aumentando o número de períodos e mantendo a taxa de aquisição constante 91 n = [0:29]; x = cos(2*pi*n/10); N1 = N; N2 = 64; N3 = 128; N4 = 256; %%% X1 = abs(fft(x,n1))/(length(x)/2); X2 = abs(fft(x,n2))/(length(x)/2); X3 = abs(fft(x,n3))/(length(x)/2); X4 = abs(fft(x,n4))/(length(x)/2); 92 46

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