Princípios de Comunicações Profs. André Noll Barreto / A. Judson Braga

Transcrição

1 Prova 05/ (3/04/05) Aluno: Matrícula: Instruções A prova consiste de quatro questões discursivas A prova terá a duração de h30 A prova pode ser feita a lápis ou caneta Não é permitida consulta a notas de aula, todas as fórmulas necessárias são fornecidas no final da prova. Toda resposta deverá estar contida nas folhas da prova. Folhas de rascunho serão fornecidas, mas não devem ser entregues. Calculadoras podem ser utilizadas, mas todas as contas e respostas devem ser justificadas Questão Q Q Q3 Q4 Nota Total

2 Questão i) Esboce os sinais x(t) = e t u(t )u( t) + δ(t )cos (πt) y(t) = rect ( t 3 ) ii) Calcule o coeficiente de correlação entre eles Solução: i) x(t) y(t) / 5/ ii) O coeficiente de correlação ρ = x(t),y(t) = 0, já que a energia E x =, devido à presença do impulso E x E y Também é aceito o cálculo da correlação ou produto interno, x(t), y(t) = (e t δ(t))dt = e e

3 Questão Utilizando a transformada de Fourier de um pulso triangular de largura unitária (t), conforme a tabela no final da prova, ache a série de Fourier exponencial do sinal g(t) = t 4k ( ) k= Solução: É um sinal periódico com = 4, e portanto, f 0 = /4. A série é dada por com D n = 4 g(t) = D n e jπn/ n= (t ) e jπnf0t dt = 4 (t ) e jπnf0t dt = sinc (nπ/4) 4 = 4 F{ (t/)} f=nf 0

4 Questão 3 Dado um sinal x(t) = cos(4πt) + sin(3πt) cos (5πt) a) Qual sua largura de banda B x? b) Suponha que o sinal passe por uma não-linearidade, modelada por y(t) = x(t) + 0,5 x (t) Esboce o espectro de amplitude e de fase do sinal y(t). Qual sua largura de banda? c) Suponha agora que o sinal y(t) seja filtrado por um filtro passa-baixa ideal, de modo que todos os componentes de frequência maior que B x sejam eliminados. Chamando o sinal filtrado de z(t), qual a razão (em db) entre a potência do sinal x(t) e a potência da distorção e(t) = x(t) z(t)? Solução: a) x(t) = cos(4πt) + sin(8πt) sin(πt) = cos (πt + π ) + cos(4πt) + cos (8πt π ) * A largura de banda é a frequência do componente de maior frequência, ou seja B x = 4Hz b) y(t) = cos (πt + π ) + cos(4πt) + cos (8πt π ) + 8 cos (πt + π ) + cos (4πt) + 8 cos (8πt π ) + cos (πt + π ) cos(4πt) + 4 cos (πt + π ) cos (8πt π ) + cos(4πt) cos (8πt π ) y(t) = cos (πt + π ) + cos(4πt) + cos (8πt π ) cos(4πt + π) cos(8πt) cos(6πt π) + 4 cos (πt π ) + 4 cos (6πt + π ) + 8 cos(0πt) + cos(6πt π) cos (πt π ) + 4 cos (4πt π ) y(t) = 6 6 sin(πt) + 4 sin(πt) + cos(4πt) + 4 sin(4πt) 6 cos(4πt) 4 sin(6πt) 8 cos(6πt) + sin(8πt) + 4 cos(8πt) + 8 cos(0πt) + 4 sin(πt) 6 cos(6πt) y(t) = cos(πt + π/) cos (4πt + 4 tan 5 ) cos(6πt + tan + π) cos(8πt + tan ) + 8 cos(0πt) + 4 cos(πt π/) + cos(6πt + π) 6

5 Portanto, o espectro de amplitude e fase pode ser dado pela seguinte tabela Freq (Hz) Ampl Fase π tan 4 tan tan 0 π π c) Da equação * P x = ( ) + () + ( ) = 3 4 Da equação **, eliminando todos os termos com frequência maior que 4, podemos achar z(t) = cos (πt + π ) + cos(4πt) + cos (8πt π ) cos(4πt + π) + 4 E, portanto, e + 4 cos(8πt) cos (πt π ) + 4 cos (6πt + π ) + cos(6πt π) cos (4πt π ) e(t) = sin(πt) 6 cos(4πt) + 4 sin (4πt π ) 4 sin(6πt) 8 cos(6πt) + 4 cos(8πt) P e = ( 3 8 ) + ( 4 ) + ( 6 ) + ( 4 ) + ( 4 ) + ( 8 ) + + ( 4 ) A razão sinal-distorção é γ = 3/4 4/5 = 8 47 = 4,35dB = 4 5

6 Questão 4 i )Ache a transformada de Fourier do sinal abaixo 4 ii) supondo agora que o sinal é amostrado 8 vezes no intervalo de t = 0 a 4, ache a sua transformada de Fourier discreta. A DFT será igual à transformada de Fourier amostrada? Por quê? i) g(t) = rect ( t 3 ) + rect (t ) E portanto G(f) = sinc(πf)e jπf + sinc(πf)e j6πf = sinc(πf)e jπf ( + e j4πf ) ii) o intervalo de amostragem será T a = 4 N = /. Portanto g n = T a g(nt a ), e o vetor amostrado será g = [g(0) g(0,5) g() g(,5) g() g(,5) g(3) g(3,5)] / = [ 0,5 0,5 0,5 0,5 ] A DFT é dada por 7 G = g n e jπn/4 7 7 G 0 = g n = ,5 + 0,5 + 0,5 + 0,5 = 6 = + e jπ/4 + e jπ/ + e j3π/4 + 0,5e jπ + 0,5e j5π/4 + 0,5e j3π/ + 0,5e j7π/4 = + + j + j + j 0,5 0,5 0,5j 0,5j + 0,5 0,5j = 0,5 ( + ) j G = g n e jπn/ = + e jπ/ + e jπ + e j3π/ + 0,5e jπ + 0,5e jπ/ + 0,5e jπ + 0,5e j3π/ 7 G 3 = g n e j3πn/4 = + j j + 0,5 + 0,5j 0,5 0,5j = 0 = + e j3π/4 + e j3π/ + e jπ/4 + 0,5e jπ + 0,5e j7π/4 + 0,5e jπ/ + 0,5e j5π/4 = + j j + + j + 0,5 + 0,5 0,5j + 0,5j 0,5 0,5j = 0,5 ( ) j

7 7 G 4 = g n e jπn = + + 0,5 0,5 + 0,5 0,5 = 0 G 5 = G 3 = G 3 = 0,5 + ( ) j G 6 = G = G = 0 G 7 = G = G = 0,5 + ( + ) j Embora a DFT represente uma amostra da transformada de Fourier nas frequências f k = k, já NT a que o sinal tem uma banda infinita, como vimos no item i, devido ao aliasing, haverá diferença entre a DFT e a transformada de Fourier.

8 Fórmulas Úteis Identidades Trigonométricas: sin(x) = sinxcosx cos(x) = cos x sin x sin x + cos x = cos x = ( + cosx) sin x = ( cosx) sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsiny cos(x ± y) = cosxcosy sinxsiny tanx ± tany tan(x ± y) = tanxtany acosx + bsinx = a + b cos(x + tan ( b a)) Integrais xsinaxdx = (sinax axcosax) a xcosaxdx = (cosax + axsinax) a x sinaxdx = a 3 (axsinax + cosax a x cosax) x cosaxdx = a 3 (axcosax sinax + a x sinax) xe ax dx = eax (ax ) a x e ax dx = eax a 3 (a x ax + ) e ax cosbx dx = eax (acosbx + bsinbx) a + b e ax sinbx dx = eax (asinbx bcosbx) a + b x + a dx = x a tan a x x + a dx = ln(x + a ) x a 4 + x 4 dx = x tan a a Funções Importantes:, t < τ rect(t/τ) = { /, t = τ 0, t > τ Δ(t/τ) = rect(t/τ)( t /τ)

9 e jθ = cosθ + jsenθ cosθ = ejθ + e jθ senθ = ejθ e jθ j g(t) h(t) = Fórmula de Euler Convolução g(τ)h(t τ)dτ = h(t) g(t) g(t) = n= c n = E n c n x n (t) g(t)x n * dt Série de Fourier Generalizada: g(t) = a 0 + n= Série de Fourier Trigonométrica: a n cos(πnf 0 t) + a 0 = g(t)dt; a T n = 0 n= b n sin(πnf 0 t) = C 0 + g(t)cos(πnf 0 t); b n = n= C n cos(πnf 0 t + θ n ) g(t)sin(πnf 0 t) C 0 = a 0 ; C n = a n + b n D n = g(t) = n= g(t)e jπnf0t dt = Série de Fourier Exponencial: D n e jπnf 0t C n ejθ n; D n = C n e jθ n N G k = n=0 Transformada de Fourier Discreta (DFT) jπkn N g n e, g n = T a g(nt a ) = N N jπkn N G k e Produto Interno e correlação x(t), y(t) = x(t), y(t) ρ = E x E y x(t)y (t)dt

10 g(t) = n= Tabela de Transformadas de Fourier: G(f)e jπft df F G(f) = δ(t) F g(t)e jπft dt F δ(f) t n e at F n! u(t) (a + jπf) n+ e a t F a a + 4π f e jπf 0t F δ(f f 0 ) cos(πf 0 t) F [δ(f f 0) + δ(f + f 0 )] sin(πf 0 t) F j [δ(f f 0) δ(f + f 0 )] u(t) F δ(f) + jπf sgnt F jπf rect ( t τ ) F τ sinc(πfτ) sinc(πbt) F B rect(f B) Δ(t) F sinc ( πf ) δ(t nt) F T n= δ (f n T ) k g (t) + k g (t) F k G (f) + k G (f) G(t) F g( f) g(at) F a G (f a ) g(t t 0 ) F G(f)e jπft 0 g(t)e jπf 0t F G(f f 0 ) g (t) g (t) F G (f)g (f) g (t)g (t) F G (f) G (f) d n g(t) dt n F (jπf) n G(f)