Processamento de Sinais Multimídia
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1 Processamento de Sinais Multimídia Introdução Mylène Christine Queiroz de Farias Departamento de Ciência da Computação Universidade de Brasília (UnB) Brasília, DF de Março de 2012 Aula 02: Senóides
2 Sumário Aula Passada: Informações e Motivação Hoje: Senóides; Sinais exponenciais complexas; Espectro Aplicações; Exemplos (demos). Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
3 Senóides sinal cosseno: x(t) = A cos(ω 0 t + φ) x(t) = A cos(2πf 0 t + φ) A: amplitude φ: deslocamento em fase (radianos) phase shift ω 0 : frequência angular (radianos/s) f 0 : frequência (ciclos/s ou Hertz) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
4 Senóides Figure: Senóides com diferentes frequências. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
5 Senóides Relação frequência e período (sinal periódico com período T 0 ): x(t + T 0 ) = x(t) A cos(ω 0 (t + T 0 ) + φ) = A cos(ω 0 t + φ) cos(ω 0 t + ω 0 T 0 + φ) = A cos(ω 0 t + φ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
6 Senóides Relação frequência e período (sinal periódico com período T 0 ): x(t + T 0 ) = x(t) A cos(ω 0 (t + T 0 ) + φ) = A cos(ω 0 t + φ) cos(ω 0 t + ω 0 T 0 + φ) = A cos(ω 0 t + φ) Como sabemos que o período (T 0 ) da função cosseno é igual a 2π: ω 0 T 0 = 2π T 0 = 2π ω 0 2πf 0 T 0 = 2π T 0 = 1 f 0 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
7 Senóides Qual a relação do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t 0 )? A cos(ω 0 t + ω 0 T 0 + φ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
8 Senóides Qual a relação do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t 0 )? A cos(ω 0 t + ω 0 T 0 + φ) Fase φ: determina a localização dos valores máximo e mínimo de uma onda cosseno. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
9 Senóides Qual a relação do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t 0 )? A cos(ω 0 t + ω 0 T 0 + φ) Fase φ: determina a localização dos valores máximo e mínimo de uma onda cosseno. Deslocamento t 1 : Para uma função qualquer s(t), considere s(t t1). Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
10 Senóides Qual a relação do deslocamento em fase (φ) e o deslocamento no tempo (t 0 )? A cos(ω 0 t + ω 0 T 0 + φ) Fase φ: determina a localização dos valores máximo e mínimo de uma onda cosseno. Deslocamento t 1 : Para uma função qualquer s(t), considere s(t t1). t 1 > 0 a função é atrasada; t 1 < 0 a função é adiantada. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
11 Senóides Façamos a seguinte comparação: x 0 (t t 0 ) = A cos(ω 0 (t t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
12 Senóides Façamos a seguinte comparação: x 0 (t t 0 ) = A cos(ω 0 (t t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) A cos(ω 0 t ω 0 t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
13 Senóides Façamos a seguinte comparação: x 0 (t t 0 ) = A cos(ω 0 (t t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) A cos(ω 0 t ω 0 t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) Logo, ω 0 t 0 = φ e, portanto, t 0 = φ ω 0 = φ 2πf 0 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
14 Senóides Façamos a seguinte comparação: x 0 (t t 0 ) = A cos(ω 0 (t t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) A cos(ω 0 t ω 0 t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) Logo, ω 0 t 0 = φ e, portanto, t 0 = φ ω 0 = φ 2πf 0 O deslocamento de fase é negativo quando o deslocamento no tempo é positivo (atraso). Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
15 Senóides Façamos a seguinte comparação: x 0 (t t 0 ) = A cos(ω 0 (t t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) A cos(ω 0 t ω 0 t 0 )) = A cos(ω 0 t + φ) Logo, ω 0 t 0 = φ e, portanto, t 0 = φ ω 0 = φ 2πf 0 O deslocamento de fase é negativo quando o deslocamento no tempo é positivo (atraso). Valor principal do deslocamento de fase: π < φ < π t 0 T o /2 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
16 x(t) = 10 cos(2π1000t + π/2). % Matlab code A = 10; f0 = 1000; phi = pi/2; T0 = 1/f0; tt = -2*T0 : T0/40 : 2*T0; xx = A*cos(2*pi*f0*tt + phi); plot(tt,xx) title( Sinusoid: x(t) = 10 cos(2*pi*1000*t + pi/2) ); xlabel( Time (sec) ); grid on Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
17 Números complexos: z = (x, y) x = Real{z} y = Imag{z} z = x + jy, onde j = 1. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
18 Números complexos: z = (x, y) x = Real{z} y = Imag{z} z = x + jy, onde j = 1. Plano complexo Parte real e imaginária são as coordenadas horizontais e verticais, respectivamente. Figure: Plano complexo. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
19 x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 θ = arctan ( y ) x Figure: Plano complexo. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
20 Euler e jθ = cos θ + j sin θ z = re jθ = r cos θ + rj sin θ Figure: Plano complexo. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
21 Sinal exponencial complexo: x(t) = Ae j(ω 0t+φ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
22 Sinal exponencial complexo: x(t) = Ae j(ω 0t+φ) x(t) = A cos(ω 0 t + φ) + Aj sin(ω 0 t + φ) A é a amplitude; φ é o deslocamento em fase; ω 0 é a frequência angular (radianos/segundos); Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
23 Sinal exponencial complexo: x(t) = Ae j(ω 0t+φ) x(t) = A cos(ω 0 t + φ) + Aj sin(ω 0 t + φ) A é a amplitude; φ é o deslocamento em fase; ω 0 é a frequência angular (radianos/segundos); Parte real do sinal: x(t) = R{Ae j(ω0t+φ) } = A cos(ω 0 t + φ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
24 Forma polar: z 3 = z = re jθ z 3 = z 1 z 2 ( ) ( ) r 1 e jθ 1 r 2 e jθ 2 z 3 = (r 1 r 2 ) e j(θ 1+θ 2 ) Figure: multiplicação de fasores. Figure: Soma de fasores. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
25 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) = Ae jφ e jω 0t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
26 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) = Ae jφ e jω 0t X = Ae jφ (amplitude complexa) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
27 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) = Ae jφ e jω 0t X = Ae jφ (amplitude complexa) x(t) = Xe jω 0t Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
28 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) = Ae jφ e jω 0t ou X = Ae jφ (amplitude complexa) x(t) = Xe jω 0t x(t) = e jω 0(t), onde ω 0 (t) = ω 0 t + φ. Figure: Soma. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
29 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
30 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor está posicionada no círculo de raio A; Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
31 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor está posicionada no círculo de raio A; Se t cresce, Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
32 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor está posicionada no círculo de raio A; Se t cresce, x(t) é rotacionado a uma taxa constante (ω 0 ); Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
33 x(t) = Ae j(ω 0t+φ) Pode ser representado como um vetor em um plano complexo; A ponta do vetor está posicionada no círculo de raio A; Se t cresce, x(t) é rotacionado a uma taxa constante (ω 0 ); Em outras palavras: Multiplicando-se X = Ae jφ por e j(ω 0t), X é rotacionado. Figure: Soma. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
34 Multiplicando-se X = Ae jφ por e j(ω 0t) faz com que X seja rotacionado; Se ω 0 > 0, direção anti-horária. Se ω 0 < 0, direção horária. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
35 Multiplicando-se X = Ae jφ por e j(ω 0t) faz com que X seja rotacionado; Se ω 0 > 0, direção anti-horária. Se ω 0 < 0, direção horária. Lembrando: e j(ω 0t) = 1! Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
36 Multiplicando-se X = Ae jφ por e j(ω 0t) faz com que X seja rotacionado; Se ω 0 > 0, direção anti-horária. Se ω 0 < 0, direção horária. Lembrando: e j(ω 0t) = 1! O fasor faz uma revolução completa a cada 2π radianos; Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
37 Multiplicando-se X = Ae jφ por e j(ω 0t) faz com que X seja rotacionado; Se ω 0 > 0, direção anti-horária. Se ω 0 < 0, direção horária. Lembrando: e j(ω 0t) = 1! O fasor faz uma revolução completa a cada 2π radianos; O tempo que leva para completar uma revolução é T 0 : ω 0 T 0 = (2πf 0 )T 0 = 2π T 0 = 1 f 0 Figure: Soma. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
38 Demo: Fasor variando no tempo de acordo com a frequência angular. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
39 Fórmulas de Euler inversas: cos θ = ejθ + e jθ 2 sin θ = ejθ e jθ 2j Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
40 = R[ x(t)] Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29 Fórmulas de Euler inversas: cos θ = ejθ + e jθ 2 sin θ = ejθ e jθ 2j Podemos expressar cos(ω 0 t + φ) como uma soma de exponenciais complexas: ( ) e j(ω0t+φ) + e j(ω 0t+φ) A cos(ω 0 t + φ) = A 2 = Aejφ e jω 0t + Ae jφ e jω 0t 2 = 1 2 Xej(ω 0t) X e j(ω 0t) = 1 2 x(t) x (t)
41 Demo: Cosseno como soma de exponenciais complexas positivas e negativas. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
42 Queremos provar que: N x(t) = A k cos(ω 0 t + φ k ) = A cos(ω 0 t + φ) k=1 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
43 Queremos provar que: temos que: x(t) = N A k cos(ω 0 t + φ k ) = A cos(ω 0 t + φ) k=1 { } A cos(ω 0 t + φ) = R Ae j(ω 0t+φ) = R {Ae jω0t e jφ} Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
44 Queremos provar que: temos que: x(t) = N A k cos(ω 0 t + φ k ) = A cos(ω 0 t + φ) k=1 { } A cos(ω 0 t + φ) = R Ae j(ω 0t+φ) = R {Ae jω0t e jφ} e que { N } N R X k = R {X k } k=1 k=1 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
45 Queremos provar que: temos que: x(t) = N A k cos(ω 0 t + φ k ) = A cos(ω 0 t + φ) k=1 { } A cos(ω 0 t + φ) = R Ae j(ω 0t+φ) = R {Ae jω0t e jφ} e que Logo: { N } N R X k = R {X k } k=1 k=1 N A k cos(ω 0 t + φ k ) =? k=1 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
46 N A k cos(ω 0 t + φ k ) = k=1 N k=1 R {A } k e j(ω 0t+φ k ) { N } = R A k e jω0t e jφ k k=1 {( N ) = R A k e jφ k k=1 = R {Ae } jφ e jω 0t = A cos(ω 0 t + φ) e jω 0t } Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
47 Espectro Espectro: representação de um sinal no domínio da frequência que revela o conteúdo em freqência do sinal; Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
48 Espectro Espectro: representação de um sinal no domínio da frequência que revela o conteúdo em freqência do sinal; De acordo com a expressão inversa de Euler: x a (t) = A cos(ω 0 t + φ) = A 2 ejω 0t e jφ + A 2 e jω 0t e jφ Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
49 Espectro Espectro: representação de um sinal no domínio da frequência que revela o conteúdo em freqência do sinal; De acordo com a expressão inversa de Euler: x a (t) = A cos(ω 0 t + φ) = A 2 ejω 0t e jφ + A 2 e jω 0t e jφ Soma de dois fasores, representados por: {(X /2, F ), (X /2, F )} X = Ae jφ, X = Ae jφ e F = ω 0 /(2π) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
50 Espectro Espectro: representação de um sinal no domínio da frequência que revela o conteúdo em freqência do sinal; De acordo com a expressão inversa de Euler: x a (t) = A cos(ω 0 t + φ) = A 2 ejω 0t e jφ + A 2 e jω 0t e jφ Soma de dois fasores, representados por: {(X /2, F ), (X /2, F )} X = Ae jφ, X = Ae jφ e F = ω 0 /(2π) Espectograma: espectro vs. tempo. Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
51 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) F 1 = F c F F 2 = F c + F Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
52 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) F 1 = F c F F 2 = F c + F Frequência central: F c = (F 1 + F 2 )/2 Frequência de desvio: F = (F 2 F 1 )/2 Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
53 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) F 1 = F c F F 2 = F c + F Frequência central: F c = (F 1 + F 2 )/2 Frequência de desvio: F = (F 2 F 1 )/2 F << F c (1/2, F 1 ), (1/2, F 1 ), (1/2, F 2 ), (1/2, F 2 ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
54 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) F 1 = F c F F 2 = F c + F Frequência central: F c = (F 1 + F 2 )/2 Frequência de desvio: F = (F 2 F 1 )/2 F << F c (1/2, F 1 ), (1/2, F 1 ), (1/2, F 2 ), (1/2, F 2 ) Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
55 Espectro x a (t) = cos(2πf 1 t) + cos(2πf 2 t) Somar duas senóides com frequências muito parecidas == multiplicar duas senóides com frequências bem distantes! Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
56 Espectro Qual o efeito de multiplicar uma senóide com alta frequência (e.g., 2000 Hz) por uma de baixa (e.g., 20 Hz)? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
57 Aplicação Qual o efeito de multiplicar uma senóide com alta frequência (e.g., 2000 Hz) por uma de baixa (e.g., 200 Hz)? Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
58 Aplicação Modulação x a (t) = v a (t) cos(2πf c t) v a (t): sinal a ser transmitido; cos(2πf c t): sinal da portadora F c : frequência da portadora Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
59 Aplicação Mylène Farias (CIC-UnB) PSMM Março de / 29
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