ELETROTÉCNICA. Impedância

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1 ELETROTÉCNICA Impedância 1 Números complexos As equações algébricas do tipo x =-3não possuem soluções no campo dos números reais. Tais equações podem ser resolvidas somente com a introdução de uma unidade imaginária operador imaginário, que representamos pelo símbolo j. Por definição j = 1. O produto de um número real por um operador imaginária é chamado de número imaginário e a soma de um número real e um número imaginário é chamada número complexo. Assim, um número com a forma a+jb, onde a e b são números reais, éumnúmero complexo. O número complexo é representado por:  = a + jb (1) O número complexo  é descrito como tendo uma componente real a e uma componente imaginária b, que podem ser representadas por: Re[Â] =a () Im[Â] =b (3) A componente imaginária de  não é jb. Por definição, a componente imaginária éumnúmero real. Como qualquer número complexo é completamente caracterizado por um par de números reais, podemos representá-lo num sistema de coordenadas cartesianas como mostra a Figura 1. Eixo imaginário j4 j3 j j1 Plano complexo diagrama de Argand A(3,1) j1 3 4 Eixo real -j -j3 B(,3) -j4 Figura 1 - Representação de números complexos

2 FASORES 1.1 Formas de representação dos números complexos Existem quatro formas de representação dos números complexos: 1. Forma retangular cartesiana. Forma exponencial 3. Forma polar 4. Forma trigonométrica Os números complexos representados pela Equação 1 estão na forma retangular cartesiana. Para representar na forma exponencial utilizamos a identidade de Euler, seja: e jθ = cosθ + jsenθ (4) Multiplicando ambos os membros da identidade de Euler pelo número real, A temos: Ae jθ = Acosθ + jasenθ (5) Comparando a Equação 5 com a Equação 1 temos: Acosθ = a (6) Asenθ = b (7) Elevando as Equações 6 e 7 ao quadrado e somando, temos: e Dividindo a Equação 7 pela Equação 6: A = a + b (8) A = a + b (9) b = tanθ (10) a θ = arctan( b a ) (11) A representação de um número complexo na forma polar é essencialmente a mesma da forma exponencial, exceto por uma pequena diferença de simbologia, seja: Â = A θ (1) O segundo membro da Equação 5 éaprópria representação na forma trigonométrica. Fasores Sejam: e v = V p sen(ωt) (13) i = I p sen(ωt ϕ) (14) A representação gráfica das Equações 13 e 14 é dada na Figura, e conforme vimos no tópico anterior (Circuitos RC e RL séries) trata-se de um circuito RL, que passaremos a chamá-lo de circuito indutivo. Aanálise de um circuito de corrente alternada seria muito trabalhosa se tivéssemos que recorrer sempre a este tipo de gráfico. Assim, o método fasorial vem facilitar bastante a análise. Sabemos que: Ae jθ = Acosθ + jasenθ (15)

3 FASORES 3 v, i v i t Figura - Tensão e corrente instantâneas num circuito indutivo e, por definição: Re[Ae jθ ]=Acosθ (16) Im[Ae jθ ]=Asenθ (17) A partir destas definições a Equação 13 pode ser reescrita por: v = Im[V p e jωt ] (18) Da mesma maneira, a Equação 14 pode ser escrita sob a forma: v = Im[( V p )e jωt ] (19) i = Im[I p e j(ωt ϕ) ] (0) i = Im[( I p e jϕ )e jωt ] (1) As quantidades Vp e Ip e jϕ são definidas respectivamente por fasor de tensão e fasor de corrente. Portanto: ˆV = V p = V ef () Então, a representação por diagrama fasorial édadanafigura3. Î = I p e jϕ = I ef e jϕ (3) ϕ V I Figura 3 - Diagrama fasorial de um circuito indutivo Considerando a tensão como referência e efetuando um desenvolvimento análogo para um circuito RC (circuito capacitivo) obtém-se o fasor da corrente dado pela Equação 4:

4 3 IMPEDÂNCIA 4 cujo diagrama fasorial é mostrado na Figura 4. Î = I p e jϕ = I ef e jϕ (4) I ϕ V Figura 4 - Diagrama fasorial de um circuito capacitivo Vale ressaltar que: o método fasorial só é aplicável às funções senoidais; os módulos dos fasores ˆV e Î são valores eficazes ( V ef e I ef ); todas as propriedades dos vetores são aplicáveis nos fasores. 3 Impedância A função impedância, simplesmente impedância, é a relação entre os fasores da tensão e da corrente. Portanto: Para um circuito indutivo, teremos: Ẑ = ˆV Î (5) Ẑ = V ef I ef e jϕ (6) Ẑ = Ze jϕ (7) AEquação 7 representa a impedância na forma exponencial. As representações nas tras formas são dadas a seguir: Ẑ = Z ϕ (8) Considerando: Ẑ = Zcosϕ + jzsenϕ (9) R = Zcosϕ (30) X L = Zsenϕ (31) A representação na forma retangular é dada por: Ẑ = R + jx L (3) onde R é a resistência e X L éareatância indutiva. O valor da reatância indutiva X L depende da frequência e da indutância, assim: X L = ωl =πfl (33) Um desenvolvimento análogo para um circuito capacitivo resulta a função impedância dada pela Equação 34: Ẑ = Ze jϕ (34)

5 3 IMPEDÂNCIA 5 que colocadas nas tras formas teremos: Ẑ = Z ϕ (35) Ẑ = Zcosϕ jzsenϕ (36) Ẑ = R jx C (37) X C representa a indutância capacitiva e depende da frequência e da capacitância, assim: X C = 1 ωc = 1 (38) πfc AEquação 38 é aplicável quando a capacitância C édadaemfarad. Para C em µf arad temos: X C = 106 πfc (39)