Introdução ao Processamento Digital de Imagens. Aula 6 Propriedades da Transformada de Fourier

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1 Introdução ao Processamento Digital de Imagens Aula 6 Propriedades da Transformada de Fourier Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira mvieira@sc.usp.br

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3 Uma linha de uma imagem formada por uma sequência de pixels de diferentes intensidades: Pode ser representada no domínio do espaço como uma forma de onda: 3

4 Representação de uma Imagem como uma função bidimensional 4

5 E no Domínio da Frequência pode ser representada por uma soma de senos e cossenos, através de suas frequências (f) e amplitudes (a): Que podem ser colocadas no formato de uma imagem como uma linha de amplitudes em escala de cinza. 5

6 Diz-se então, que a imagem gerada através das amplitudes das frequências: É a Transformada no domínio da frequência da imagem original dada no domínio do espaço: É possível aplicar sobre a imagem no domínio da frequência, uma Transformada Inversa, obtendo a Imagem original. 6

7 1) Periodicidade e Simetria Conjugada 7

8 8 1) Periodicidade e Simetria Conjugada A transformada discreta de Fourier (DFT) e sua inversa são periódicas: ), ( ), ( ), ( ), ( v u F v u F v u F v u F + + = + = + = Sendo a dimensão da imagem. Se f(x,y) for real, a DFT apresenta simetria conjugada: ), ( ), ( * v u F v u F = ou ), ( ), ( v u F v u F =

9 1) Periodicidade e Simetria Conjugada F ( u) = F( u + ) F( u) = F( u) Magnitude centrada na origem Reflexões A transformada é formulada para valores de u no intervalo [0, -1] 9

10 Espectro de Fourier 2-D (imagem) Para uma função unidimensional, o espectro de Fourier fornece informação (frequência, amplitude e fase) sobre as senóides (1D) que devem ser somadas para formar a função desejada; Para uma função bidimensional, o espectro de Fourier fornece informação (frequência, amplitude, fase e direção) sobre as ondas senoidais (2D) que devem ser somadas para formar a função desejada; 10

11 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) 11

12 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) 12

13 2) Translação Multiplicar f(x,y) pelo termo exponencial, conforme abaixo, e fazer a transformada deste produto, resulta em um deslocamento da origem do plano das frequências para o ponto (u 0,v 0 ). f [ j2π ( u x + v y) / ] F( u u, v ) ( x, y)exp v0 Multiplicar F(u,v) pelo termo exponencial, conforme abaixo, e fazer a Transformada Inversa deste produto, resulta em um deslocamento da origem do plano espacial para o ponto (x 0,y 0 ). f [ j2π ( ux vy ) / ] ( x x0, y y0) F( u, v)exp

14 Fazendo u 0 = v 0 = /2 a origem da transformada de Fourier de f(x,y) pode ser movida para o centro do quadrado de frequências x. exp [ ] jπ ( x+ y) x+ y j2π ( u x + v y) / = e = cosπ + jsen = ( 1) 0 0 π Ou seja: Multiplicar f(x,y) por (-1) x+y e realizar a transformada de Fourier, simplesmente muda a origem das frequências para o centro do quadrado. A magnitude da Ttansformada não é afetada: [ j2π ( ux + vy ) / ] F( u, ) F ( u, v)exp 0 = 0 v 14

15 Para exibir um período inteiro, basta mover a origem da transformada para o ponto u = /2 Baixas frequências

16 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) Frequência Zero deslocada para o centro 16

17 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) Frequência Zero deslocada para o centro 17

18 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) Frequência Zero deslocada para o centro Baixas Frequências [ j2π ( ux + vy ) / ] F( u, ) F ( u, v)exp 0 = 0 v Baixas Frequências 18

19 Espectro Unidimensional e Bidimensional 19

20 Espectro Unidimensional e Bidimensional 20

21 Exemplos: Padrão com variação de freqüência em apenas uma direção (x). as outras direções a frequência é zero. 21

22 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) Frequência Zero deslocada para o centro 22

23 Espectro de Fourier Bidimensional (imagem) Frequência Zero deslocada para o centro 23

24 Exemplos de Texturas: Padrão Senoidal Padrão ão Senoidal 24

25 Exemplos de Texturas: Padrão ão Senoidal com interferências em outras direções Textura 25

26 Visualização do espectro Forma Retangular X Forma Polar a1,a2,a3... Amplitudes dos Cossenos Parte Real Parte Imaginária Módulo (Espectro) Fase b1,b2,b3... Amplitudes dos Senos 26

27 Visualização do espectro A escala dinâmica dos espectros de Fourier mostrados como funções de Intensidades, são geralmente muito mais alta do que a capacidade de reprodução dos dispositivos. Uma técnica útil é comprimir a escala através da exibição de uma função logaritmo. F( u, v) D ( u, v) = clog[1 + F( u, v ] [0 a 2,5x10 6] [0 a 6,4]

28 Visualização do espectro Deslocamento do espectro Transformação logaritma 28

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31 Espectro de uma imagem 31

32 Exemplos: a) b) 32

33 Exemplos: 33

34 Exemplos: 34

35 Exemplos: Alta resolução espacial: presença de componentes de alta frequência Baixa resolução espacial: perda de componentes de alta frequência 35

36 Espectro Unidimensional e Bidimensional 36

37 37 3) Separabilidade )] ( 2 )exp[, ( 1 ), ( vy ux j y x f v u F x y + = = = π = = = ] / 2 )exp[, ( ] / 2 exp[ 1 ), ( y x vy j y x f ux j v u F π π )] ( 2 )exp[, ( 1 ), ( vy ux j v u F y x f u v + = = = π = = = ] / 2 )exp[, ( ] / 2 exp[ 1 ), ( v u vy j v u F ux j y x f π π

38 38 A vantagem da Separabilidade é que a F(u,v) e a f(x,y) podem ser obtidas em dois passos por aplicações sucessivas da transformada de Fourier unidimensional: = = 1 0 ] / 2 )exp[, ( 1 ), ( x ux j v x F v u F π = = 1 0 ] / 2 )exp[, ( 1 ), ( y vy j y x f v x F π

39 4) Rotação Introduzindo as coordenadas polares: x = r cosθ y = r senθ u = wcosφ v = wsenφ f ( x, y) e F( u, v) tornam-se : f ( r, θ ) e F( w, φ ) A substituição direta no par de Transformadas resulta: f ( r, θ + θ0) F( w, φ + θ0) Ou seja, a rotação de f(x,y) de um ângulo rotação de F(u,v) deste mesmo ângulo. θ 0 implicará em uma 39

40 4) Rotação 40

41 5) Distributividade A Transformada de Fourier e sua Inversa são Distributivas com relação à Adição. I { f x, y) + f ( x, y) } = I{ f ( x, y) } + I{ f ( x, )} 1( y A Transformada de Fourier e sua Inversa ão são Distributivas com relação à Multiplicação. I { f x, y). f ( x, y) } I{ f ( x, y) }. I{ f ( x, )} 1( y 41

42 6) Mudança de Escala: Para dois escalares a e b: af ( x, y) af( u, v) 7) Valor Médio: Substituindo-se u = v = 0 na equação da transformada 2-D: 1 1 F(0,0) = f ( x, y) Logo, o valor médio de f(x,y) é: x= 0 y= 0 1 f ( x, y) = F(0,0)

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44 Soma de todos os valores de pixel da imagem = Valor Médio * (M x )

45 Complexos Conjugados

46 8) Convolução Teorema da Convolução. f ( x, y) g( x, y) F( u, v) G( u, v) f ( x, y) g( x, y) F( u, v)* G( u, v) Convolução no domínio do tempo/espaço Multiplicação no domínio do tempo/espaço Multiplicação no domínio da frequência Convolução no domínio da frequência

47 O que é mais importante? MÓDULO: Amplitude de cada onda 2D FASE: Direção de cada onda 2D 47

48 O que é mais importante? Transformação inversa usando apenas o MÓDULO Transformação inversa usando apenas a FASE 48

49 Transformação inversa usando apenas a parte REAL Transformação inversa usando apenas a parte IMAGIÁRIA 49

50 FIM 50