ANÁLISE E SÍNTESE DE FILTROS DIGITAIS FIR

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1 AÁLISE E SÍTESE DE FILTROS DIGITAIS FIR Aldo Kazumi Kuzuo bolsista CPq PIBIC, aldokuzuo@yahoo.com Profa. MsC Valquiria Gusmão Macedo DEEC / CT UFPA, vgmacedo@ufpa.br Universidade Federal do Pará Departamento de Engenharia Elétrica e de Computação Laboratório de Processamento de Sinais UFPa DEEC - LaPS Campus Universitário do Guamá CEP: Belém Pará Tel.: Resumo: O método de projetos de filtros baseado no uso de janelas para truncar a resposta ao impulso e obter o espectro desejado foi o primeiro método proposto para projetar filtros FIR Resposta ao Impulso Finita com fase linear. O método da amostragem em freqüência e o método de aproximação de Chebyshev foram desenvolvidos na década de 97 e desde então têm sido muito populares em projetos práticos de filtros FIR com fase linear, existindo atualmente vários algoritmos para projetos de filtros através das especificações, e usando métodos de aproximação. Os filtros FIR são largamente empregados em processamento digital de imagens por serem de fácil implementação. Este plano de trabalho tem como objetivo a implementação de filtros com resposta ao impulso finita, empregando o método da amostragem em freqüência, o método de janelas e o método através das especificações, com o uso do aplicativo MATLAB. Abstract: The filters design method based in windows to truncate the impulse response and to get the desired spectrum was the first considered method to project filters FIR Finite Impulse Response with linear phase. The method of the sampling in frequency and the Chebyshev s approach method had been developed in 97 decade and since then they have been very popular in practical FIR filters designs with linear phase. Currently there are some algorithms for filters design through the specifications, and using approximation methods. FIR Filters are used in image digital processing for due to of easy implementation. The objective of this work is the filter implementation with finite impulse response, using the method of the sampling in frequency, the method of windows and the method through the specifications, with the use of the MATLAB program.. ITRODUÇÃO As diversas técnicas originalmente desenvolvidas para tratamento de sinais unidimensionais foram, em primeiro lugar, adaptadas para tratamento de imagens obtidas de satélites e de naves espaciais. Posteriormente, com o rápido avanço das opções de hardware e software, estas mesmas técnicas passaram a ser aplicadas em inúmeros domínios tais como medicina, ciência dos materiais, microscopia, artes, etc... este trabalho serão abordados projetos de filtros digitais com resposta ao impulso finita FIR, que na prática, são empregados em problemas de filtragem onde existe a necessidade de uma característica de fase linear dentro da banda passante do filtro. Uma das técnicas utilizadas é a filtragem no domínio da freqüência usando a Transformada de Fourier FT das imagens. este caso, a imagem original é transformada através de um algoritmo de Transformada Rápida de Fourier FFT, máscaras são aplicadas sobre a imagem da transformada, selecionando regiões que serão mantidas ou eliminadas e, finalmente, a imagem filtrada é obtida através da FFT inversa IFFT.. REPRESETAÇÃO DE IMAGES DIGITAIS O termo imagem monocromática ou imagem, refere-se a uma função bidimensional de intensidade da luz, onde x e y são as coordenadas espaciais e o valor de f em qualquer ponto x, é proporcional ao brilho ou níveis de cinza da imagem naquele ponto. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

2 A figura ilustra a convenção adotada nesse trabalho. Às vezes é útil a visualização da função da imagem em perspectiva com um terceiro eixo representando o brilho. Dessa maneira a figura apareceria como uma série de picos em regiões com numerosas modificações do nível do brilho, e regiões planas em que os níveis de brilho variaram pouco ou eram constantes. Usando a convenção de atribuir proporcionalmente valores mais altos para áreas de maior brilho fará a altura dos componentes da figura proporcional ao brilho correspondente na imagem. Origem y fx, x Figura - Convenção dos eixos para representação de imagens digitais Uma imagem digital é uma imagem discretizada tanto em coordenadas espaciais quanto em brilho. Uma imagem digital pode ser considerada como sendo uma matriz cujos índices de linhas e colunas identificam um ponto na imagem, e o correspondente valor do elemento da matriz identifica o nível de cinza naquele ponto. Os elementos dessa matriz digital são chamados de elementos da imagem ou de pixels. Embora o tamanho de uma imagem digital varie de acordo com a aplicação usa-se matrizes quadradas com tamanhos e números de níveis de cinza com potências de. Um tamanho típico comparável em qualidade de imagem com aquela de uma TV preto e branco seria uma matriz de 5 x 5, com 8 níveis de cinza. 3. FUDAMETOS DE IMAGES DIGITAIS 3. UM MODELO SIMPLES DE IMAGEM O termo imagem refere-se a uma função de intensidade luminosa bidimensional, denotada por, em que o valor ou amplitude de f nas coordenadas espaciais x, dá a intensidade brilho da imagem naquele ponto. Como a luz é uma forma de energia, deve ser positiva e finita, isto é, < < As imagens que as pessoas percebem em atividades visuais corriqueiras consistem de luz refletida dos objetos. A natureza básica de pode ser caracterizada por dois componentes: a quantidade de luz incidindo na cena sendo observada e a quantidade de luz refletida pelos objetos na cena. Apropriadamente, esses componentes são chamados de Revista Científica da UFPA Vol 3, março

3 iluminância e reflectância, respectivamente, e são representados por i x, e r x,. O produto das funções resulta : f x, i x, r x, < i x, < 3 < r x, < 4 Ao longo deste trabalho denomina-se a intensidade de uma imagem monocromática f nas coordenadas x, de nível de cinza l da imagem daquele ponto. Das equações a 4 é evidente que l fica restrito no intervalo Lmin l L max Em teoria, as restrições sobre l é que L seja um valor positivo e L seja finito. a prática, L min imin rmin e L max i r max max. O intervalo [ L ] min, Lmax é denominado escala de cinza. A prática comum é deslocar esse intervalo para [, L], onde l é considerado negro e l L é denominado branco. Todos os intervalos intermediários são tons de cinza variando continuamente entre branco e negro. 3. AMOSTRAGEM E QUATIZAÇÃO 3.. AMOSTRAGEM E QUATIZAÇÃO UIFORMES Para ser adequada para processamento computacional, uma função f x, precisa ser digitalizada tanto espacialmente quanto em amplitude. A digitalização das coordenadas espaciais x, é denominada amostragem de imagens e a digitalização da amplitude é chamada quantização em níveis de cinza. Suponha que uma imagem contínua seja aproximada por amostras igualmente espaçadas, arranjadas na forma de matriz x M como mostrado na equação 5, em que cada elemento é uma quantidade discreta: f, f,... f, M f, f,... f, M 5 f, f,... f, M O lado direito da equação 5 representa uma imagem digital. Cada elemento da matriz representa um elemento da imagem ou pixel. 4. ITRODUÇÃO À TRASFORMADA DE FOURIER Seja f x uma função contínua de uma variável real x. A Transformada de Fourier de f x, denotada por I{fx}, é determinada pela equação min max I{ f x} f x exp[ jπ ux] dx 6 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

4 onde j. Dado, f x pode ser obtida através do uso da transformada inversa de Fourier I { } f x exp[ jπux] du 7 As equações 6 e 7, chamadas de par de transformadas de Fourier, existem se f x for contínua e integrável e for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática. A transformada de Fourier de uma função real é geralmente complexa; isto é: F R + ji 8 onde R e I são componentes real e imaginário de F, respectivamente. ormalmente é conveniente expressar a equação 8 na forma exponencial, isto é, jθ e 9 [ R I ] F + u φ tan I R A função magnitude F é chamada de espectro de Fourier de f x e φ é o ângulo de fase. O quadrado do espectro, P 3 R + I é comumente denominado como espectro de Potência de f x. O termo densidade espectral também é usado para expressar o espectro de potência. A variável u que aparece freqüentemente na Transformada de Fourier é denominada variável da freqüência. Esse nome deriva da expressão do termo exponencial, exp[ jπux], usando a fórmula de Euler, na forma exp[ jπux] cos πux j sen πux 4 A interpretação da integral na equação 6 como o somatório do limite de termos discretos, torna evidente que F é composta de uma soma infinita de termos seno e cosseno e que cada valor de u determina a freqüência de seu correspondente par seno cosseno. 4. A TRASFORMADA DISCRETA DE FOURIER Suponha que uma função contínua f x seja discretizada numa seqüência { f x, f x + x, f x + x,..., f x + [ ] x} 5 tornando-se amostras separadas de x unidades. Definindo f x f x + x x 6 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

5 em que x assume os valores discretos,,,...,. A seqüência {f, f, f,..., f-} denota qualquer amostragem de valores uniformemente espaçadas de uma função contínua correspondente. O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por 7 f xexp[ jπ ux / ] onde u,,,...,, e x f x exp[ jπ ux / ] u para x,,,...,. Os valores u,,,..., na transformada discreta de Fourier equação 7 correspondem a amostras de uma transformada contínua nos valores,..., u. Ou seja, representa u. Esta notação é similar àquela usada para a representação discreta f x, exceto que as amostras de F iniciam-se na origem do eixo da freqüência. Os termos u e x são relacionados pela expressão 9 u x o caso de duas variáveis, o par de transformadas discretas de Fourier é 8 M exp[ jπ ux M M x v para u,,,..., M, y,,,...,. + vy ] A amostragem de uma função contínua é agora feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente. Como no caso unidimensional, a função discreta representa amostras da função f x + x x, y + y para x,,,..., M e y,,,...,. Analogias podem ser feitas para a função. O incremento da amostragem nos domínios do espaço e freqüência são relacionados por u M x e v y Quando as imagens são amostradas em uma matriz quadrada, M e exp[ jπ ux + v / ] x y para v,,,...,, e exp[ jπ ux + v / ] u v 3 4 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

6 para x, y,,,...,. ota-se que o fator / em ambas as equações 3 e 4. Sendo F e um par de transformadas de Fourier, o agrupamentos destes fatores multiplicativos constantes é arbitrário. a prática, as imagens são tipicamente digitalizadas em matrizes quadradas, de modo que é de maior interesse o par de transformadas de Fourier das equações 3 e 4. O espectro de Fourier, fase e espectro de energia das funções discretas unidimensional e bidimensional podem ser calculadas pelas equações a 3, respectivamente. A única diferença é que as variáveis independentes são discretas. Ao contrário do caso contínuo, a existência da transformada discreta de Fourier não é de interesse porque F e sempre existem. o caso unidimensional, por exemplo, isso pode sr mostrado pela substituição direta da equação 8 na equação 7. x r r r rexp[ jπ rx / ] exp[ jπux / ] x exp[ jπrx / ]exp[ jπux / ] 5 A identidade da equação 5 segue da condição de ortogonalidade se r u jπ rx / ]exp[ jπux / ] caso contrário 6 exp[ x A substituição da equação 7 na equação 8 resultaria numa identidade sobre f x, indicando que o par de transformadas de Fourier destas equações sempre existe. Um argumento similar aplica-se para o par de transformadas discretas de Fourier em duas dimensões. 4. PROPRIEDADES DA TRAFORMADA DE FOURIER FT PARA SIAIS BIDIMESIOAIS - D DISCRETOS Existem diversas propriedades da Transformada de Fourier Bidimensional que são de grande interesse para o processamento de imagens. Muitas delas são derivações de propriedades semelhantes da transformada de Fourier unidimensional. Outras só fazem sentido para sinais bidimensionais, como a propriedade da separabilidade. 4.. SEPARABILIDADE O par de Fourier das equações 3 e 4 pode ser decomposto em: exp x para v,,,...,, e u para x, y,,,...,. jπ ux jπ ux exp y v exp jπvy jπvy exp 7 8 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

7 A principal vantagem desta decomposição é permitir que a FT bidimensional possa ser obtida através de duas aplicações do algoritmo de FT unidimensional. Esta vantagem se torna evidente ao reescrevermos a equação 7 da seguinte forma x, exp[ jπ ux / ] 9 onde x x, exp[ jπ vy / ] 3 y Para cada valor de x, a expressão entre colchetes da equação 3 é uma transformada -D, com valores de freqüência ν,,,...,. Portanto, a função -D F x, ν é obtida calculando-se a transformada ao longo de cada linha de f x, e multiplicando o resultado por. O resultado final, F ν será obtido mediante uma nova aplicação da FT -D, desta vez ao longo das colunas do resultado intermediário F x, ν, como indica a equação 9. Este procedimento é ilustrado na Figura. Sua principal vantagem é a possibilidade de aproveitar todas as otimizações já publicadas sobre o algoritmo da Transformada Rápida de Fourier FFT, aplicando seus resultados a problemas bidimensionais. Figura - Cálculo da transformada de Fourier bidimensional a partir de duas aplicações do algoritmo da transformada de Fourier unidimensional 4.. TRASLAÇÃO As propriedades de translação do par de Fourier bidimensional são resumidas nas relações: exp[ jπ u x + v / ] u u, v v 3 e f x x, y y exp[ jπ ux + vy / ] 3 onde as setas duplas indicam a correspondência entre uma função e sua transformada de Fourier e vice-versa. Para o caso particular em que u x + y v F u, v /, a relação 3 se reduz a O deslocamento expresso na relação 33 é utilizado com bastante freqüência para uma melhor visualização do resultado de uma transformada de Fourier de uma imagem. Pode-se provar que tal deslocamento não altera a componente de magnitude da transformada resultante PERIODICIDADE E SIMETRIA COJUGADA A transformada discreta de Fourier e sua inversa são periódicas, com período, ou seja, 33 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

8 F u +, v + u +, v + 34 Se é real, sua transformada de Fourier exibe também a propriedade conhecida como simetria conjugada: ou * onde F é o conjugado complexo de. * F DISTRIBUTIVIDADE A transformada de Fourier obedece à propriedade distributiva para a adição, mas não para a multiplicação, ou seja: e, em geral, I + } I{ } + I{ } 37 { y I. } I{ }. I{ } 38 { y 4..5 ROTAÇÃO A propriedade da rotação estabelece que, se uma imagem for rotacionada de um certo ângulo θ, sua transformada,, será rotacionada do mesmo ângulo ESCALA Sejam dois escalares a e b. Pode-se mostrar que e a a 39 u v f ax, b F, ab a b VALOR MÉDIO O valor médio de uma função bidimensional é dado por x y 4 Substituindo u v na equação 7, obtemos F, x y 4 Logo, o valor médio de uma função bidimensional está relacionado à sua transformada de Fourier através da relação, 43 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

9 4..8 LAPLACIAO O laplaciano de uma função de duas variáveis é definido por f x f y + 44 A transformada de Fourier do laplaciano de uma função bidimensional é: I{ } π u + v 45 O laplaciano é um operador útil no processo de detecção de bordas COVOLUÇÃO O teorema da convolução, que no caso de funções unidimensionais, pode ser resumido pelos pares de Fourier das equações 46 e 47, também pode ser estabelecido ao caso bidimensional, conforme indicado nas equações 48 e 49. estas equações, a operação de convolução é denotada por um asterisco. f x * g x G 46 f x g x * G 47 * g x, G 48 g x, * G PROJETOS DE FILTROS FIR USADO O METODO DA AMOSTRAGEME EM FREQÜÊCIA E O MÉTODO DAS JAELAS O problema no projeto de filtro é basicamente determinar h n, n, ou H z, z, que significa a especificação do projeto. h n, n é a resposta ao impulso do filtro e H z, z é a função do sistema. 5. O METODO DAS JAELAS o método das janelas, nos sabemos a resposta em freqüência, H ω, ω d, do filtro. A transformada inversa de Fourier de H ω, ω é dado por, n d h d n. o método das janelas, o filtro FIR é obtido multiplicando n, n com a janela n, n w, obtendo h d h n, n hd n, n w n, n 5 Se h n, n e w n d, n são simétricos com suas respectivas origens, então h n, n terá como resultado um filtro de fase zero. Existe a propriedade da transformada de Fourier H ω, ω H d ω, ω π π θ π θ π π * W ω, ω H d θ, θ W ω θ, ω θ dθ dθ 5 Revista Científica da UFPA Vol 3, março

10 Pela equação 5 o efeito da janela no domínio da freqüência é suavizar ω, ω. H d Queremos que a largura do lóbulo principal de W ω, ω seja pequeno para que a largura de transição de H ω, ω d seja pequeno. O objetivo é ter pequenas amplitudes dos lóbulos laterais para assegurar que as ondulações das regiões de passa banda e rejeita banda tenham amplitudes pequenas. As janelas bidimensionais são normalmente obtidas através de janela unidimensionais. O método para obter uma janela bidimensional w n, n é t n, t w n, n w n w n wc t, t n 53 wc t, t wa t wb t 54 As funções w a t e w b t são as janelas unidimensionais. Pode-se supor que w a t e w como seqüências de janelas unidimensionais. O resultado da seqüência n, n b t w pode ser separado, e sua transformada de Fourier W ω, ω é simplificada pela expressão W ω, ω W ω W 55 ω onde W ω e W ω são transformadas unidimensionais de w n e w n respectivamente. 5. MÉTODO DA AMOSTRAGEM EM FREQÜÊCIA o método da amostragem em freqüência, a resposta em freqüência desejada, ω, ω, é amostrada igualmente em pontos do espaço cartesiano, e o resultado é a H d inversa da transformada de Fourier discreta. Especificamente, temos obtido por H ' H k, k que será ' k, k H d ω, ω exp[ jω / ]exp[ jω / ] ω π ω π k / k, / k, k 56 onde H ω, ω d é a resposta em freqüência de fase zero desejada, e e são ímpares. A ' correspondente seqüência h n, n é obtida da equação 56 ' ' h n, n IDFT[ H k, k ] 57 Finalmente, o filtro de fase zero, h n, n, projetado é dado por ' h n, n h n +, n + 58 O termo da fase linear na equação 56 e o resultado da troca de seqüências na equação 58 são dois dos fatos que fazem a Transformada de Fourier Discreta ser definida somente para o primeiro quadrante da seqüência, onde sua fase não é zero. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

11 5.3 MÉTODO DAS ESPECIFICAÇÕES O método de especificações consiste em criar algoritmos para limitar as oscilações de amplitude do sinal em uma determinada faixa de freqüência para um filtro unidimensional. o caso bidimensional, utiliza-se a propriedade da separabilidade para projetar filtros em duas dimensões. 6. RESULTADOS Foi feito um programa no MATLAB que juntasse o método das janelas, o das especificações e o método da transformação em freqüência. O método das especificações foi feito em um outro programa a parte. o programa podem ser vistos a imagem original, a filtrada, os coeficientes do filtro e a sua resposta em freqüência. Os campos indicam a imagem, o tipo de filtro, janelas a serem utilizadas, corte, ordem e o método a ser usado. o campo Design Method ou o método do filtro, os campos são comandos do MATLAB cujos significados são: fsamp implementa o projeto de amostragem em freqüência para filtros FIR bidimensionais. fsamp retorna um filtro h com uma reposta em freqüência que passa através dos pontos na entrada da matriz Hd.; fwind cria uma janela bidimensional pela extensão de uma janela unidimensional; fwind usa uma janela bidimensional especificada diretamente; ftrans implementa o método de transformação de freqüência. Esta matriz de transformação padrão da função produz filtros com simetria aproximadamente circular. Por definição com sua própria matriz de transformação você pode obter diferentes simetrias. O método da transformação em freqüência preserva algumas características do filtro unidimensional, particularmente a largura da banda de transição e as características da ondulação ripple. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

12 6. PARA UM FILTRO PASSA BAIXA COM FREQÜÊCIA DE CORTE,5 E ORDEM 5 - Método da amostragem em freqüência Figura 3 - Filtro passa baixa com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5, usando o método da amostragem em freqüência - Método usando a janela de Hamming unidimensional Figura 4 - Filtro passa baixa com freqüência de corte,5hz e ordem 5. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

13 - Método usando a janela de Hamming bidimensional Figura 5 - Filtro passa baixa com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5. - Método usando a transformação em freqüência Figura 6 - Filtro passa baixa com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

14 6. PARA UM FILTRO PASSA ALTA COM FREQÜÊCIA DE CORTE,5 E ORDEM 5 - Método da amostragem em freqüência Figura 7 - Filtro passa alta com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5. - Método usando a janela de Hamming unidimensional Figura 8 - Filtro passa alta com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

15 - Método usando a janela de Hamming bidimensional Figura 9 - Filtro passa alta com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5. - Método usando a transformação em freqüência Figura - Filtro passa alta com freqüência de corte,5 Hz e ordem 5. Revista Científica da UFPA Vol 3, março

16 - Método das especificações criando uma resposta em freqüência passa baixa Figura - Filtro passa baixa circular com corte em,5 Hz Usando a amostragem em freqüência Figura - Filtro passa baixa circular com corte em,5 Hz Revista Científica da UFPA Vol 3, março

17 7. COCLUSÃO 7. Para um filtro passa baixa: o método em amostragem em freqüência, a sua resposta em freqüência possui algumas pequenas ondulações no topo da resposta. Mas, aplicando o filtro, houve um pequeno borrão em relação à figura original. o método das janelas, tanto o comando fwind, como o fwind, apresentaram características muito próximas. o entanto, a resposta em freqüência da segunda é mais acentuada que a primeira. o comando fwind a resposta em freqüência do filtro se assemelha mais ao filtro ideal passa baixa. Para o método da transformação em freqüência, a resposta em freqüência possui uma pequena elevação no centro. O resultado, em relação à figura original, é que houve uma diminuição do brilho. O método das especificações apresentou muitas ondulações nas laterais, em relação ao ideal, que deveria aproximar-se de um cone circular. 7. Para um filtro passa alta o método em amostragem em freqüência houve um contraste nas bordas evidenciando um ponto no lado direito inferior da figura. Ao redor desse ponto nota-se também um círculo. o método das janelas, pelo comando fwind houve uma melhora na detecção das bordas e o ponto é facilmente percebido. Pelo comando fwind manteve-se a boa detecção de bordas, mas um maior clareamento da figura. O método da transformação em freqüência levou a um maior borramento da figura nas bordas e também ao redor do ponto. 8. REFERÊCIAS BIBLIOGRÁFICAS ARRIFAO, atache do Socorro Dias " Análise Espectral" CPGEE, UFPa, 998 LIM, Jae S. Two Dimensional Signal and Image Processing Prentice Hall,99. CAMARA ETO, G. Métodos de Interpolação em Imagens Digitais por meio de Técnicas de Projeto de Filtros FIR, Tese de Mestrado, IPE, 983 GOZALES, C. R. & WOODS, R. E. Processamento Digital de Imagens Digitais Edgard Blücher, MACEDO, V. G. "Projetos de Filtros Digitais com resposta ao impulso finita FIR" CPGEE, UFPa, 998. MARQUES FILHO, O. & VIEIRA ETO, H. Processamento Digital de Imagens Brasport, 999. PROAKIS, J. & MAOLKIS, D. Digital Signal Processes Principles, Algoriythms and Applications, Macmillan, 99 RABIER, Lawrence R. & GOLD, Bernard - Theory and Application of Digital Signal Processing Prentice-Hall, 975. Revista Científica da UFPA Vol 3, março