Filtro FIR. Processamento Digital de Sinais - ENG de julho de 2016 IFBA. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

Transcrição

1 Filtro FIR Processamento Digital de Sinais - ENG420 Fabrício Simões IFBA 22 de julho de 2016 Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

2 1 Método de Projeto Usando Janelas 2 Tipos de Filtros FIR 3 Janela de Kaiser 4 Resposta em Fase do Filtro FIR Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

3 Filtro FIR - Características 1 Filtro FIR é sempre estável. Os pólos do filtro FIR estão localizados em z=0; 2 Filtros FIR são empregados em problemas de filtragem onde exigem resposta de fase linear; 3 Comparando ao filtro IIR, a ordem do filtro FIR para atender as especificações desejadas é maior. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

4 Projeto de um Filtro FIR : Considerações São baseados em uma aproximação direta da resposta em frequência desejada O método mais simples é chamado de window method. Esse método geralmente começa com uma resposta em frequência ideal desejada, H d (ω). Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

5 Resposta em Frequência Desejada. 1 Considere as respostas em frequência IDEAIS a seguir: H lp (ω) H hp (ω) 1 1 ω c π ω ω c π ω h lp [n] = sen((n D)ω c) π(n D) h hp [n] = sen((n D)π) π(n D) sen((n D)ω c) π(n D) 2 h d [n] é a resposta ao impulso de um sistema IIR e não-causal. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

6 Como Obter um Filtro FIR Causal? 1 Podemos obter um filtro FIR e causal h[n] de ordem M, usando uma versão truncada da resposta h d [n] h[n] = { hd [n], n = 0, 1,..., M 0, n < 0 e n > M (1) 2 O truncamento pode ser matematicamente escrito por em que w r [n] é uma janela retangular. h[n] = h d [n]w r [n], (2) Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

7 Observando o Efeito do Truncamento a partir da Convolução H(ω) = H d(ω) W r (ω) 2π W r (ω) = sen(ω(m+1)/2) sen(ω/2) Efeito da largura do lóbulo principal Figura: Efeito do truncamento sobre a resposta em frequência do filtro - OPPENHEIM. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

8 Resposta em Frequência do Filtro FIR e Causal M H(ω) = h d [n]e jωn, (3) n=0 em que h[n] = h d [n] para n = 0, 1, 2,... M. H lp (ω) 1 N 1 N 2 N 2 > N 1 ω c π ω Figura: Efeito do truncamento sobre a resposta em frequência do filtro Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

9 Tipos de Filtro FIR - Resposta ao Impulso Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

10 Tipos de Filtro FIR Como já sabemos, a Resposta em Frequência Desejada H(ω) é dada por H(ω) = R(ω)e jdω, em que R(ω) é a magnitude e Dω, a fase. D = M/2 para M par e ímpar A depender da ordem M do filtro (par ou ímpar) e dos coeficientes b m (simétrico e anti-simétrico), os filtros FIR podem ser classificados como: Filtro Tipo I: M é par e os coeficientes b m são simétricos. h[n] = h[m n] Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

11 Tipos de Filtro FIR - Continuação Filtro Tipo II: M é ímpar, o atraso D = M/2 não é inteiro e os coeficientes b m são simétricos. h[n] = h[m n] Zeros: z=-1. Qual a influência desse zero na resposta em frequência H(ω)? Filtro Tipo III: M é par e os coeficientes b m são anti-simétricos. h[n] = h[m n] zeros: z=± 1. Qual a influência desse zero na resposta em frequência H(ω)? Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

12 Tipos de Filtro FIR - Continuação Filtro Tipo IV: M é impar, D = M/2 não é inteiro e os coeficientes b m são anti-simétricos. h[n] = h[m n] zeros: z=1. Qual a influência desse zero na resposta em frequência H(ω)? Tabela: Filtros FIR Tipo de Resposta Passa-Baixa Passa-Alta Passa-Faixa Rejeita-Faixa Tipo de Filtro FIR Tipo I ou II Tipo I ou IV Qualquer Tipo Somente Tipo I Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

13 Exemplo de Projeto Considere o sinal x(t) = cos(100t) + cos(500t). Projete um filtro passa-baixa de ordem M=4 para eliminar a frequência de 500 rad/s. Considerando a frequência máxima igual a 500 rad/s, adotou-se ω a = 2000 rad/s (tempo de amostragem T = 3, 14ms). As frequências devem ser normalizadas no intervalo ω [ π, π]. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

14 Exemplo de Projeto 1 Frequências normalizadas: 100 = 0, 314 rad 500 = 1, 57 rad ω c = (0, , 57)/2 = 0,942 rad - Uma regra prática. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

15 Exemplo de Projeto 1 Resposta ao impulso do filtro h[n] = h d [n] = sen((n 2)0, 942) π(n 2) para n = 0, 1, 2,..., 4 h[0] = b 0 h[1] = b 1 h[2] = b 2 h[3] = b 3 h[4] = b 4 Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

16 Exemplo de Projeto 1 Equação de Diferenças : y[n] = 0, 1514(x[n] + x[n 4]) + 0, 2574(x[n 1] (4) 2 Arquivo Aula Simulacao + x[n 3]) + 0, 2998x[n 2] Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

17 Outras Janelas Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

18 Como Reduzir o Efeito do Truncamento? Para reduzir o efeito dos ripples, deve-se usar janelas com truncamento menos abrupto. Tabela: Janelas : Equações Tipo de Janela Triangular Hamming Blackman Equação w 2 [n] = 1 2 n M/2 M w 3 [n] = 0, 54 0, 46 cos(2πn/m) w 4 [n] = 0, 42 0, 5 cos(2πn/m) + 0, 08 cos(4πn/m) Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

19 Características da Resposta em Frequência Lóbulo principal estreito: A largura do lóbulo principal afeta a largura da banda de transição; Intensidade dos lóbulos laterais: Quanto maior a intensidade dos lóbulos laterais, maior é a intensidade dos ripples nas bandas de passagem e de rejeição. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

20 Comparação entre as Janelas Tabela: Janelas : Comparação Tipo de Janela Amplitude (db) Largura Aproximada (lóbulo lateral) (lóbulo principal) Retangular -13 4π/(M + 1) Triangular -25 8π/M Hamming -41 8π/M Blackman π/M Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

21 Usando a Janela de Hamming Aplicando a janela de Hamming. w h [n] = 0, 54 0, 46 cos(2πn/4) h h [n] = h[n]w h [n] para n = 0, 1, 2, 3, 4. Equação de Diferenças y(n) = 0, 0121(x[n] + x[n 4]) + 0, 139(x[n 1] (5) + x[n 3]) + 0, 2998x[n 2] Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

22 Resposta em Frequência dos Filtros Figura: Resposta em frequência usando janelas Retangular e de Hammimg. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

23 Janela de Kaiser Diferentemente dos métodos anteriores, usando a janela de Kaiser é possível especificar os parâmetros do filtro. A equação da janela para n = 0, 1, 2,..., M é dada por w k [n] = I 0(0, 5Mβ (0, 5M) 2 (n 0, 5M) 2 ) I 0 (0, 5Mβ) em que β controla a relação entre a largura do lóbulo principal e a intensidade dos lóbulos laterais e I 0 (.) é uma função de bessel modificada de primeiro tipo. 0, 1102(R s 8, 7), 50 < R s β = 0, 5842(R s 21) 0, (R s 21), 21 R s 50 0, R s < 21 Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

24 Equações de Projeto do Filtro Usando Janela de Kaiser H(jω) R s = 20 log δ s 1 + δ s 1 δ s M = R s 8 2,285 ω H(jω p ) = 1 δ s H(jω s ) = δ s δ s ω p ω s ω ω Figura: Equações de Projeto e Gabarito do Filtro Passa-Baixa. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

25 A Janela de Kaiser e o RESTO Tabela: Obtendo outras janelas usando a de Kaiser Tipo de Janela R s = 20log(δ s )(db) β ω Retangular ,81 π/m Triangular -25 1,33 2,37 π/m Hamming -53 4,86 6,27 π/m Blackman -74 7,04 9,19 π/m Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

26 Projeto de um Filtro Passa-Alta Usando Janela de Kaiser 1 Considere o sinal x(t) = cos(100t) + cos(500t). Projete um filtro passa-alta para atenuar a frequência de 100 rad/s. ω a = 2000 rad/s 2 Resposta em frequência do filtro passa-alta ideal { 0, ω < ωc H(ω) = e jωm/2, ω c ω π 3 Resposta ao impulso de um filtro passa-alta ideal h hp [n] = sen(π(n M/2)) π(n M/2) sen(ω c(n M/2)) π(n M/2) Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

27 Gabarito de Projeto do Fitro Passa-Alta H(jω) R s = 20 log δ s 1 + δ s 1 δ s M = R s 8 2,285 ω H(jω p ) = 1 δ s H(jω s ) = δ s δ s ω ω s ω ω p Figura: Equações de Projeto e Gabarito do Filtro Passa-Alta. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

28 Continuação 1 Especificações do Filtro: H(ω) δ s para ω ω s 1 δ s H(ω) 1 + δ s, em que δ s = 0, 01, redução do sinal por um fator de 100, ω p = 450 e ω s = 150 rad/s ( ω = 300 rad/s). 2 Parâmetros da Janela : ω = 0, 942 valor normalizado R s = 20 log δ s = 40, 0 M = 40, 0 8 2, 285(0, 942) = 15 Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

29 Continuação 1 Para obter um Filtro FIR tipo I, adotou-se M=38; 2 Como 21 R s 50, então β = 0, 5842(40 21) 0,4 + 0, 07886(Rs 21) = 3, Resposta ao impulso do filtro [ I 0 (0, 5Mβ ] (0, 5M) h[n] = h hp [n] 2 (n 0, 5M) 2 ), I 0 (0, 5Mβ) para ω c = ωp+ωs 2 Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

30 Porque o Filtro FIR tem Fase Linear? 1 Note que as janelas são simétricas em torno de D = M/2, ou seja, { w[m n], 0 n M w[n] = 0, cc 2 Como a janela é simétrica, a sua transformada de Fourier W d (ω) pode ser representada por W d (ω) = W e (ω)e jωm/2, em que W e (ω), uma função real, é a transformada de Fourier de uma janela de duração M e simétrica em torno de n = 0. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

31 Porque o Filtro FIR tem Fase Linear? 1 A resposta ao impulso desejada h d [n] pode ser simétrica ou antisimétrica, portanto simétrica: H d (ω) = H e (ω)e jωm/2 antisimétrica: H d (ω) = jh e (ω)e jωm/2 2 Resposta em frequência H(ω) do filtro obtido considerando resposta h d [n] simétrica. H(ω) = H d(ω) W (ω) 2π H(ω) = π π H e(θ)e jθm/2 W e ((ω θ))e j(ω θ)m/2 dθ 2π Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30

32 Porque o Filtro tem Fase Linear? 1 Resposta em frequência do filtro 2 Reescrevendo H(ω) = π R(jω) { }}{ Fase Linear 1 π {}}{ H e (jθ)w e (j(ω θ))dθ e j(ωm/2) 2π H(ω) = R(ω)e jωm/2 3 Usando h d [n] simétrico (tipos I e II) ou anti-simétrico (tipos III e IV) e janelas simétricas é possível obter um filtro FIR com fase linear. Fabrício Simões (IFBA) Filtro FIR 22 de julho de / 30