Resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo (tempo discreto)

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1 Resposta em frequência de sistemas lineares invariantes no tempo (tempo discreto) ENGC33: Sinais e Sistemas II Departamento de Engenharia Elétrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA 14 de dezembro de 2016 Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 32

2 Sumário 1 Introdução 2 (LIT) 3 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 2/ 32

3 Sumário 1 Introdução 2 (LIT) 3 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 3/ 32

4 Introdução Objetivos da aula de hoje: Introduzir a análise de resposta em frequência para sistemas em tempo discreto; Utilizar a análise de resposta em frequência para discutir sobre o comportamento dinâmico de sistemas em tempo discreto; Introduzir o conceito de filtragem em tempo discreto. Prof. Tito Luís Maia Santos 4/ 32

5 Sumário 1 Introdução 2 (LIT) 3 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 5/ 32

6 Exponenciais complexas e sistemas LIT Seja um sistema LIT caracterizado pela resposta ao impulso h[n]. A resposta a uma exponencial complexa x[n] = e jωn é dada por y[n] = H(e jω )e jωn. H(e jω ) carateriza a resposta em frequência do sistema em questão. x[n] Sistema y[n] Chama-se e jωn de autofunção e H(e jω ) de autovalor associado à autofunção e jωn. Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 32

7 Exponenciais complexas e sistemas LIT Seja um sistema LIT caracterizado pela resposta ao impulso h[n]. A resposta a uma exponencial complexa x[n] = e jωn é dada por y[n] = H(e jω )e jωn. H(e jω ) carateriza a resposta em frequência do sistema em questão. x[n] Sistema y[n] Chama-se e jωn de autofunção e H(e jω ) de autovalor associado à autofunção e jωn. Prof. Tito Luís Maia Santos 6/ 32

8 Exponenciais complexas e sistemas LIT Seja um sistema LIT caracterizado pela resposta ao impulso h[n]. A resposta a uma exponencial complexa x[n] = e jωn é dada por y[n] = H(e jω )e jωn. Prova. y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n] = h[n] e jωn = h[k]e jω(n k) = e jωn h[k]e jωk k= k= = e jωn H(e jω ) H(e jω ) é a transformada de Fourier de tempo discreto de h[n]. Se o sistema for BIBO estável, h[m] <. m= Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 32

9 Exponenciais complexas e sistemas LIT Seja um sistema LIT caracterizado pela resposta ao impulso h[n]. A resposta a uma exponencial complexa x[n] = e jωn é dada por y[n] = H(e jω )e jωn. Prova. y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n] = h[n] e jωn = h[k]e jω(n k) = e jωn h[k]e jωk k= k= = e jωn H(e jω ) H(e jω ) é a transformada de Fourier de tempo discreto de h[n]. Se o sistema for BIBO estável, h[m] <. m= Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 32

10 Exponenciais complexas e sistemas LIT Seja um sistema LIT caracterizado pela resposta ao impulso h[n]. A resposta a uma exponencial complexa x[n] = e jωn é dada por y[n] = H(e jω )e jωn. Prova. y[n] = x[n] h[n] = h[n] x[n] = h[n] e jωn = h[k]e jω(n k) = e jωn h[k]e jωk k= k= = e jωn H(e jω ) H(e jω ) é a transformada de Fourier de tempo discreto de h[n]. Se o sistema for BIBO estável, h[m] <. m= Prof. Tito Luís Maia Santos 7/ 32

11 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem Considere o filtro: y[n] ay[n 1] = bx[n], a < 1. Sabemos que y[n] = H(e jω )e jωn para x[n] = e jωn. Assim, para n 1: y[n 1] = H(e jω )e jω(n 1). Finalmente temos ou H(e jω )e jωn ah(e jω )e jω(n 1) = be jωn H(e jω )e jωn (1 ae jω ) = be jωn H(e jω ) = b 1 ae jω. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 32

12 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem Considere o filtro: y[n] ay[n 1] = bx[n], a < 1. Sabemos que y[n] = H(e jω )e jωn para x[n] = e jωn. Assim, para n 1: y[n 1] = H(e jω )e jω(n 1). Finalmente temos ou H(e jω )e jωn ah(e jω )e jω(n 1) = be jωn H(e jω )e jωn (1 ae jω ) = be jωn H(e jω ) = b 1 ae jω. Prof. Tito Luís Maia Santos 8/ 32

13 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem Considere o filtro: Sabemos que Da resposta em frequencia: y[n] ay[n 1] = bx[n], a < 1. H(e jω ) = b 1 ae jω. h[n] = F 1 {H(e jω )} = ba n u[n]. A resposta ao degrau s[n] = h[n] u[n] é dada por: s[n] = b an+1 1 a 1 u[n]. Prof. Tito Luís Maia Santos 9/ 32

14 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem - resposta ao impulso Prof. Tito Luís Maia Santos 10/ 32

15 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem - resposta ao degrau Prof. Tito Luís Maia Santos 11/ 32

16 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem Considere o filtro: y[n] ay[n 1] = bx[n] com Neste caso H(e jω ) = H(e jω ) = b 1 ae jω. b [1 a cos(ω)]2 + [asen(ω)] 2 = b 1 2a cos(ω) + a 2 e ( ) asen(ω) H(e jω ) = arc tan 1 a cos(ω) Prof. Tito Luís Maia Santos 12/ 32

17 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem com a > 0 Prof. Tito Luís Maia Santos 13/ 32

18 Exemplo - filtros recursivos de primeira ordem com a < 0 Prof. Tito Luís Maia Santos 14/ 32

19 Exemplo - filtro de primeira ordem Considere o filtro: y[n] ay[n 1] = (1 a)x[n] H(e jω ) a= a=0.8 a=0.9 a= Ω Prof. Tito Luís Maia Santos 15/ 32

20 Exemplo - equações a diferenças com coeficientes constantes Considere o sistema a seguir: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M] Sabemos que y[n] = H(e jω )e jωn. Para n l: y[n l] = H(e jω )e jω(n l) = H(e jω )e jωn e jωl. Finalmente temos H(e jω )e jωn (a 0 +a 1 e jω +...+a N e jωn ) = e jωn (b 0 +b 1 e jω +...+b M e jωm ). ou H(e jω ) = b 0 + b 1 e jω b N e jωn N k=0 a 0 + a 1 e jω + a M e jωm = b ke jkω M k=0 a ke. jkω Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 32

21 Exemplo - equações a diferenças com coeficientes constantes Considere o sistema a seguir: a 0 y[n]+a 1 y[n 1]+...+a N y[n N] = b 0 x[n]+b 1 x[n 1]+...+b M x[n M] Sabemos que y[n] = H(e jω )e jωn. Para n l: y[n l] = H(e jω )e jω(n l) = H(e jω )e jωn e jωl. Finalmente temos H(e jω )e jωn (a 0 +a 1 e jω +...+a N e jωn ) = e jωn (b 0 +b 1 e jω +...+b M e jωm ). ou H(e jω ) = b 0 + b 1 e jω b N e jωn N k=0 a 0 + a 1 e jω + a M e jωm = b ke jkω M k=0 a ke. jkω Prof. Tito Luís Maia Santos 16/ 32

22 Exemplo - filtro segunda ordem (caso simples) Para temos Para temos ou alternativamente y[n] ay[n 1] = bx[n], a < 1 H(e jω ) = b 1 ae jω y[n] 2ay[n 1] + a 2 y[n 2] = b 2 x[n] H(e jω ) = b 2 1 2ae jω + a 2 e 2jΩ ( ) 2 H(e jω b ) = 1 ae jω. Prof. Tito Luís Maia Santos 17/ 32

23 Exemplo - filtro de primeira ordem Considere o filtro: y[n] ay[n 1] = (1 a)x[n] H(e jω ) a= a=0.8 a=0.9 a= Ω Prof. Tito Luís Maia Santos 18/ 32

24 Exemplo - filtro de segunda ordem Considere o filtro: y[n] 2ay[n 1] + a 2 y[n 2] = (1 a) 2 x[n] H(e jω ) a= a=0.8 a=0.9 a= Ω Prof. Tito Luís Maia Santos 19/ 32

25 Comparação Comparação: primeira ordem x segunda ordem H(e jω ) H(e jω ) a= a=0.8 a=0.9 a= Ω a= a=0.8 a=0.9 a= Ω Prof. Tito Luís Maia Santos 20/ 32

26 Exemplo - filtro segunda ordem (caso real) Para y[n] a 1 y[n 1] = b 1 x[n], y[n] a 2 y[n 1] = b 2 x[n] dados a 1 e a 2 reais com a 1 < 1, a 2 < 1 temos Para temos H 1 (e jω ) = b 1 1 a 1 e jω, H 2(e jω b 2 ) = 1 a 2 e jω. y[n] (a 1 + a 2 )y[n 1] + a 1 a 2 y[n 2] = b 1 b 2 x[n] H(e jω ) = ou alternativamente H(e jω ) = b 1 b 2 1 (a 1 + a 2 )e jω + a 1 a 2 e 2jΩ b 1 1 a 1 e jω b 2 1 a 2 e jω = H 1(e jω )H 2 (e jω ). Prof. Tito Luís Maia Santos 21/ 32

27 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo). Considere y[n] 2r cos(θ)y[n 1] + r 2 y[n 2] = x[n] com 0 < r < 1, 0 θ π. Neste caso com H(e jω ) = A = A 1 (re jθ )e jω + B 1 (re jθ )e jω e jθ 2jsen(θ) e B = e jθ 2jsen(θ). Assim h[n] = r n sen[θ(n + 1)] u[n]. sen(θ) Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 32

28 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo). Considere y[n] 2r cos(θ)y[n 1] + r 2 y[n 2] = x[n] com 0 < r < 1, 0 θ π. Neste caso com H(e jω ) = A = A 1 (re jθ )e jω + B 1 (re jθ )e jω e jθ 2jsen(θ) e B = e jθ 2jsen(θ). Assim h[n] = r n sen[θ(n + 1)] u[n]. sen(θ) Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 32

29 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo). Considere y[n] 2r cos(θ)y[n 1] + r 2 y[n 2] = x[n] com 0 < r < 1, 0 θ π. Neste caso com H(e jω ) = A = A 1 (re jθ )e jω + B 1 (re jθ )e jω e jθ 2jsen(θ) e B = e jθ 2jsen(θ). Assim h[n] = r n sen[θ(n + 1)] u[n]. sen(θ) Prof. Tito Luís Maia Santos 22/ 32

30 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - resposta ao impulso. Prof. Tito Luís Maia Santos 23/ 32

31 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - resposta ao degrau. Prof. Tito Luís Maia Santos 24/ 32

32 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - θ = 0. Prof. Tito Luís Maia Santos 25/ 32

33 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - θ = π/4. Prof. Tito Luís Maia Santos 26/ 32

34 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - θ = π/2. Prof. Tito Luís Maia Santos 27/ 32

35 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - θ = 3π/4. Prof. Tito Luís Maia Santos 28/ 32

36 Exemplo - filtro segunda ordem (caso complexo) - θ = π. Prof. Tito Luís Maia Santos 29/ 32

37 Exercício 6.2 (Oppenheim): Considere um sistema LIT em tempo discreto com resposta em frequência dada por H(e jω ) = H(e jω ) e j H(ejΩ ) e resposta ao impulso real h[n]. Suponha que aplicamos a entrada x[n] = sen(ω 0 n + φ 0 ) a este sistema. Pode-se demonstrar que a saída resultante é da forma y[n] = H(e jω 0 ) x[n n 0 ] dado que H(e jω 0 ) e Ω 0 estão relacionados de uma maneira particular. Determine esta relação. Prof. Tito Luís Maia Santos 30/ 32

38 Sumário 1 Introdução 2 (LIT) 3 Comentários Finais Prof. Tito Luís Maia Santos 31/ 32

39 Comentários Finais Nesta aula apresentou-se conceitos de resposta em frequência; Foram introduzidos alguns conceitos de filtragem. Na próxima aula discutiremos sobre: Fitros discretos. Prof. Tito Luís Maia Santos 32/ 32