2 As transformadas z e de Fourier

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1 2 As transformadas z e de Fourier 2. Introdução No Capítulo, estudamos sistemas lineares invariantes no tempo, usando tanto respostas ao impulso quanto equações de diferenças para caracterizá-los. Neste capítulo, estudamos outra forma extremamente útil de caracterizar sistemas no tempo discreto. Ela está ligada ao fato de que quando uma função exponencial é aplicada na entrada de um sistema linear invariante no tempo, sua saída é uma função exponencial do mesmo tipo, mas com amplitude modificada. Pode-se deduzir isso considerando-se que, pela equação (.50), um sistema linear invariante no tempo discreto com resposta ao impulso h(n) excitado por uma exponencial x(n) = z n produz em sua saída um sinal y(n) tal que y(n) = k= x(n k)h(k) = k= z n k h(k) = z n k= h(k)z k, (2.) isto é, o sinal na saída é também a exponencial z n, porém multiplicada pelo valor complexo H(z) = h(k)z k. k= (2.2) Neste capítulo, caracterizamos sistemas lineares invariantes no tempo usando a quantidade H(z) da equação (2.2), conhecida comumente como a transformada z da sequência no tempo discreto h(n). Como veremos mais tarde neste capítulo, com o auxílio da transformada z as convoluções lineares podem ser transformadas num simples produto de expressões algébricas. A importância disso para os sistemas no tempo discreto é comparável à da transformada de Laplace para os sistemas no tempo contínuo. O caso em que z n é uma senoide complexa com frequência ω, isto é, z = e jω, é de especial importância. Nesse caso, a equação (2.2) se torna H(e jω ) = k= h(k)e jωk, (2.3) a qual pode ser representada na forma polar como H(e jω ) = H(e jω ) e jθ(ω), produzindo, pela equação (2.), um sinal de saída y(n) tal que 79

2 80 As transformadas z e de Fourier y(n) = H(e jω )e jωn = H(e jω ) e jθ(ω) e jωn = H(e jω ) e jωn+jθ(ω). (2.4) Essa relação implica que o efeito de um sistema linear caracterizado por H(e jω ) sobre uma senoide complexa é o de multiplicar sua amplitude por H(e jω ) e somar Θ(ω) à sua fase. Por esse motivo, as descrições de H(e jω ) e Θ(ω) como funções de ω são amplamente usadas para caracterizar sistemas lineares invariantes no tempo, e são conhecidas como suas respostas de módulo e fase, respectivamente. A função complexa H(e jω ) na equação (2.4) é também conhecida como a transformada de Fourier da sequência no tempo discreto h(n). A importância da transformada de Fourier para os sistemas no tempo discreto é tão grande quanto para os sistemas no tempo contínuo. Neste capítulo, estudamos as transformadas z e de Fourier para sinais no tempo discreto. Começamos por definir a transformada z, discutindo aspectos relacionados à sua convergência. Então, apresentamos a transformada z inversa, bem como várias propriedades da transformada z. Em seguida, mostramos como transformar convoluções no tempo discreto num produto de expressões algébricas e introduzimos o conceito de função de transferência. Apresentamos, então, um algoritmo para determinar, dada a função de transferência de um sistema no tempo discreto, se o sistema é estável ou não, e prosseguimos discutindo como a resposta em frequência de um sistema se relaciona com sua função de transferência. Nesse ponto, damos uma definição formal da transformada de Fourier de sinais no tempo discreto, apontando suas relações com a transformada de Fourier de sinais no tempo contínuo. Também é apresentada uma expressão para a transformada de Fourier inversa. As principais propriedades da transformada de Fourier são, então, mostradas como casos particulares das propriedades da transformada z. Em seguida, discutimos brevemente a representação de Fourier para sequências periódicas. Numa seção à parte, apresentamos as principais propriedades dos sinais aleatórios no domínio da transformada. Fechamos o capítulo apresentando algumas funções do Matlab relacionadas com as transformadas z e de Fourier, e que auxiliam na análise de funções de transferência de sistemas no tempo discreto. 2.2 Definição da transformada z A transformada z de uma sequência x(n) é definida como X(z) = Z{x(n)} = x(n)z n, (2.5)

3 2.2 Definição da transformada z 8 onde z é uma variável complexa. Note que X(z) só é definida para as regiões do plano complexo em que o somatório à direita converge. Muito frequentemente, os sinais com que trabalhamos começam apenas em n = 0, isto é, são não-nulos apenas para n 0. Por causa disso, alguns livros-texto definem a transformada z como X U (z) = x(n)z n, n=0 (2.6) que é conhecida comumente como a transformada z unilateral, enquanto que a equação (2.5), por sua vez, é chamada de transformada z bilateral. Claramente, se o sinal x(n) é não-nulo para n < 0, então suas transformadas z unilateral e bilateral resultam diferentes. Neste texto, trabalhamos somente com a transformada z bilateral, que então é chamada, sem risco de ambiguidade, apenas de transformada z. Como já mencionado, a transformada z de uma sequência só existe para as regiões do plano complexo em que o somatório na equação (2.5) converge. O Exemplo 2. esclarece esse ponto. EXEMPLO 2. Calcule a transformada z da sequência x(n) = Ku(n). SOLUÇÃO Por definição, a transformada z de Ku(n) é X(z) = K z n = K n=0 ( z )n. (2.7) n=0 Portanto, X(z) é a soma de uma série de potências que converge somente se z <. Nesse caso, X(z) pode ser expresso como X(z) = K Kz =, z >. (2.8) z z Note que para z <, o n-ésimo termo do somatório, z n, tende ao infinito se n e, portanto, X(z) não é definida. Para z =, o somatório também tende ao infinito. Para z =, o somatório oscila entre e 0. Em nenhum desses casos a transformada z converge. É importante notar que a transformada z de uma sequência é uma série de Laurent na variável complexa z (Churchill, 975). Portanto, as propriedades da série de Laurent se aplicam diretamente à transformada z. Como regra geral,

4 82 As transformadas z e de Fourier podemos aplicar um resultado da teoria das séries afirmando que, dada uma série na variável complexa z, S(z) = f i (z), i=0 tal que f i (z) <, i = 0,,..., e dada a quantidade (2.9) α(z) = lim n f n (z) /n, (2.0) entãoasérieconvergeabsolutamenteseα(z) <,edivergeseα(z) > (Kreyszig, 979). Note queparaα(z) =, oteste nadadizsobreaconvergência dasérie, que então tem que ser investigada por outros meios. Pode-se justificar esse resultado notando-se que se α(z) <, os termos da série estão sob uma exponencial a n para algum a < e, portanto, sua soma converge se n. Claramente, pode-se notar que se f i (z) = para algum i, então a série não é convergente. A convergência requer, ainda, que lim n f n (z) = 0. Esse resultado pode ser estendido para o caso de séries bilaterais na forma S(z) = f i (z), i= (2.) se expressarmos S(z) como a soma de duas séries, S (z) e S 2 (z), tais que S (z) = f i (z) e S 2 (z) = i=0 i= f i (z). (2.2) Nesse caso, S(z) converge se as duas séries S (z) e S 2 (z) convergem. Portanto, temos de calcular as duas quantidades α (z) = lim n f n (z) /n e α 2 (z) = lim n f n(z) /n. (2.3) Naturalmente, S(z)convergeabsolutamenteseα (z) < eα 2 (z) >.Acondição α (z) < é equivalente a dizer que para n, os termos da série estão sob a n para algum a <. A condição α 2 (z) > equivale a se dizer que para n, os termos dasérie estão sob b n para algum b >. Deve-se notar quepara garantir a convergência, também devemos ter f i (z) <, i. Aplicando esses resultados acerca da convergência à definição da transformada z dada na equação (2.5), podemos concluir que a transformada z converge se α = lim x(n)z n /n = z lim x(n) /n < n n (2.4) α 2 = lim x(n)z n /n = z lim n n x(n) /n >. (2.5)

5 2.2 Definição da transformada z 83 Im{z} r 2 r Re{z} Figura 2. Região geral de convergência da transformada z. Definindo r = lim n x(n) /n r 2 = lim n x(n) /n, (2.6) (2.7) então as inequações (2.4) e (2.5) são equivalentes a r < z < r 2, (2.8) isto é, a transformada z de uma sequência existe numa região anular do plano complexo, definida pela inequação (2.8) e ilustrada na Figura 2.. É importante notar que, para algumas sequências, r = 0 ou r 2. Nesses casos, a região de convergência pode vir a incluir, ainda, z = 0 ou z =, respectivamente. Agora, examinamos mais de perto a convergência das transformadas z de quatro importantes classes de sequências. Sequências unilaterais direitas: São sequências x(n) nulas para n < n 0, isto é, tais que X(z) = n=n 0 x(n)z n. (2.9) Nesse caso, a transformada z converge para z > r, onde r é dado pela equação (2.6). Como x(n)z n tem que ser finito, então se n 0 < 0 a região de convergência exclui, ainda, z =.

6 84 As transformadas z e de Fourier Sequências unilaterais esquerdas: São sequências x(n) nulas para n > n 0, isto é, tais que X(z) = n 0 x(n)z n. (2.20) Nesse caso, a transformada z converge para z < r 2, onde r 2 é dado pela equação (2.7). Como x(n)z n tem que ser finita, então se n 0 > 0 a região de convergência exclui, ainda, z = 0. Sequências bilaterais: Nesse caso, X(z) = x(n)z n, (2.2) e a transformada z converge para r < z < r 2, onde r e r 2 são dados pelas equações (2.6) e (2.7). Claramente, se r > r 2, então a transformada z não existe. Sequências de comprimento finito: São sequências x(n) nulas para n < n 0 e n > n, com n 0 n, isto é, tais que X(z) = n n=n 0 x(n)z n. (2.22) Em tais casos, a transformada z converge em qualquer lugar exceto nos pontos emque x(n)z n =.Issoimplicaquearegiãodeconvergência excluioponto z = 0 se n > 0 e z = se n 0 < 0. EXEMPLO 2.2 Calcule as transformadas z das seguintes sequências, especificando suas regiões de convergência: (a) x(n) = k2 n u(n); (b) x(n) = u( n+); (c) x(n) = k2 n u( n ); (d) x(n) = 0,5 n u(n)+3 n u( n); (e) x(n) = 4 n u(n)+5 n u(n+). SOLUÇÃO (a) X(z) = k2 n z n. n=0

7 2.2 Definição da transformada z 85 Essa série converge se 2z <, isto é, para z > 2. Nesse caso, X(z) é a soma de uma série geométrica, e portanto X(z) = (b) X(z) = k kz =, para 2 < z. (2.23) 2z z 2 z n. Essa série converge se z >, isto é, para z <. Além disso, para que o termo z seja finito, z 0. Nesse caso, X(z) é a soma de uma série geométrica tal que X(z) = z z = z z2, para 0 < z <. (2.24) (c) X(z) = k2 n z n. Essa série converge se z/2 <, isto é, para z < 2. Nesse caso, X(z) é a soma de uma série geométrica tal que X(z) = kz/2 z/2 = kz, para 0 z < 2. (2.25) z 2 (d) X(z) = 0,5 n z n + n=0 0 3 n z n. Essa série converge se 0,5z < e 3z >, isto é, para 0,5 < z < 3. Nesse caso, X(z) é a soma de duas séries geométricas, e portanto X(z) = 0,5z + 3 z = z z 0, z, para 0,5 < z < 3. (2.26) (e) X(z) = 4 n z n + n=0 n= 5 n z n. Essa série converge se 4 z < e 5 z <, isto é, para z > 4. Além disso, o termo para n =, ( 5 z ) = 5z, só é finito para z <. Nesse caso, X(z) é a soma de duas séries geométricas, resultando em X(z) = 4 z + 5 5z 4z = z 4z + 25z2 5z, para 4 < z <. (2.27)

8 86 As transformadas z e de Fourier Nesse exemplo, embora as sequências dos itens (a) e (c) sejam distintas, as expressões para suas transformadas z são iguais, estando a diferença apenas em suas regiões de convergência. Isso aponta o importante fato de que, para se especificar completamente uma transformada z, sua região de convergência tem de ser fornecida. Na Seção 2.3, quando estudarmos a transformada z inversa, esse aspecto será examinado com mais detalhe. Em muitos casos, lidamos com sistemas causais estáveis. Como para um sistema causal a resposta ao impulso h(n) é zero para n < n 0 com n 0 0, então, pela equação (.60), temos que um sistema causal é também BIBO-estável se e somente se h(n) <. (2.28) n=n 0 Aplicando o critério para convergência de séries visto anteriormente, temos que o sistema é estável se lim n h(n) /n = r <. (2.29) Isso equivale a dizer que H(z), a transformada z de h(n), converge para z > r. Como para garantir a estabilidade devemos ter r <, então concluímos que a região de convergência da transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal estável inclui necessariamente a região exterior ao círculo unitário e a circunferência unitária(de fato, no caso em que a resposta ao impulso é unilateral direita porém não causal, isto é, n 0 < 0, essa região exclui z = ). Um caso muito importante ocorre quando X(z) pode ser expressa como a razão de dois polinômios em z, na forma X(z) = N(z) D(z). (2.30) Referimo-nos às raízes de N(z) como os zeros de X(z) e às raízes de D(z) como os polos de X(z). Mais especificamente, nesse caso X(z) pode ser expresso como X(z) = N(z) K, (2.3) (z p k ) m k k= onde p k é um polo de multiplicidade m k, e K é o número total de polos distintos. Como X(z) não é definida em seus polos, a região de convergência de X(z) não pode incluí-los. Portanto, dada X(z) como na equação (2.3), há um modo fácil

9 2.2 Definição da transformada z 87 de se determinar sua região de convergência, dependendo do tipo da sequência x(n): Sequências unilaterais direitas: A região de convergência de X(z) é z > r. Como X(z) não converge em seus polos, então seus polos devem estar no interior da circunferência z = r (exceto polos em z = ), com r = max k K { p k }. Isso é ilustrado na Figura 2.2a. Sequências unilaterais esquerdas: A região de convergência de X(z) é z < r 2. Portanto seus polos devem estar no exterior da circunferência z = r 2 (exceto polos em z = 0), com r 2 = min k K { p k }. Isso é ilustrado na Figura 2.2b. Sequências bilaterais: A região de convergência de X(z) é r < z < r 2, e portanto alguns de seus polos estão no interior da circunferência z = r e alguns, no exterior da circunferência z = r 2. Nesse caso, a região de convergência precisa ser melhor especificada. Isso é ilustrado na Figura 2.2c. Im{z} Re{z} Im{z} Re{z} (a) Im{z} Re{z} (b) (c) Figura 2.2 Região de convergência de uma transformada z em relação a seus polos: (a) sequências unilaterais direitas; (b) sequências unilaterais esquerdas; (c) sequências bilaterais.

10 88 As transformadas z e de Fourier 2.3 Transformada z inversa Muito frequentemente, precisamos determinar qual sequência corresponde a uma dada tranformada z. Pode-se obter uma fórmula para a transformada z inversa a partir do teorema dos resíduos, que enunciamos a seguir. TEOREMA 2. (TEOREMA DOS RESÍDUOS) Seja X(z) uma função complexa analítica dentro de um contorno fechado C e no próprio contorno, exceto num número finito K i de pontos singulares p k no interior de C. Nesse caso, vale a seguinte igualdade: K i X(z)dz = 2πj res{x(z)}, (2.32) z=p k C k= com a integral calculada ao longo de C, no sentido anti-horário. Se p k é um polo de X(z) com multiplicidade m k, isto é, se X(z) pode ser escrita como X(z) = P k(z), (z p k ) m k (2.33) onde P k (z) é analítica em z = p k, então o resíduo de X(z) com respeito a p k é dado por d (mk ) [(z p k ) m k res{x(z)} = X(z)] z=p k (m k )! dz (m k ). (2.34) z=pk Usando o Teorema, é possível mostrar que, se C é um percurso fechado anti- -horário envolvendo a origem do plano z, então { 0, para n 0 z n dz = (2.35) 2πj C, para n = 0, e assim podemos deduzir que a transformada z inversa de X(z) é dada por x(n) = X(z)z n dz, (2.36) 2πj C onde C é um percurso fechado anti-horário na região de convergência de X(z). PROVA Como X(z) = x(n)z n, (2.37)

11 2.3 Transformada z inversa 89 expressando x(n) usando a transformada z inversa como na equação (2.36) e trocando a ordem entre a integração e o somatório, temos que X(z)z m dz = x(n)z n+m dz 2πj 2πj C = 2πj C x(n) C z n+m dz = x(m). (2.38) No restante desta seção, descrevemos técnicas para realização do cálculo da transformada z inversa em diversos casos práticos Cálculo baseado no teorema dos resíduos Sempre que X(z) é uma razão de polinômios, o teorema dos resíduos pode ser usado eficientemente para calcular a transformada z inversa. Nesse caso, a equação (2.36) se torna x(n) = X(z)z n dz = 2πj C onde X(z)z n = K t k= N(z) (z p k ) m k K i k= { res } X(z)z n, (2.39) z=p k. (2.40) Note que nem todos os K t polos p k (com suas respectivas multiplicidades m k ) de X(z)z n entram no somatório da equação (2.39). Este deve conter apenas os K i polos (com suas respectivas multiplicidades) que são envolvidos pelo contorno C. Também é importante observar que o contorno C precisa estar contido na região de convergência de X(z). Além disso, para calcular x(n) para n 0, temos de considerar os resíduos dos polos de X(z)z n na origem. EXEMPLO 2.3 Determine a transformada z inversa de X(z) = z 2 (z 0,2)(z +0,8), (2.4) considerando que se trata da transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal.

12 90 As transformadas z e de Fourier SOLUÇÃO Deve-se notar que para se especificar completamente uma transformada z, sua região de convergência precisa ser fornecida. Neste exemplo, como o sistema é causal, podemos afirmar que sua resposta ao impulso é unilateral direita. Portanto, como foi visto na Seção 2.2, a região de convergência de sua transformada z é caracterizada por z > r. Isso implica que seus polos estão no interior da circunferência z = r e, portanto, r = max k K { p k } = 0,8. Precisamos, então, calcular x(n) = X(z)z n dz = 2πj C 2πj C z n+ dz, (2.42) (z 0,2)(z +0,8) onde C é qualquer contorno fechado na região de convergência de X(z), isto é, envolvendo os polos z = 0,2 e z = 0,8, assim como os polos que ocorrem em z = 0 para n 2. Como queremos usar o teorema dos resíduos, há dois casos distintos a considerar. Para n, há dois polos no interior de C: z = 0,2 e z = 0,8; já para para n 2, há três polos no interior de C: z = 0,2, z = 0,8 e z = 0. Portanto, temos que: Para n, a equação (2.39) leva a { x(n) = res z=0,2 onde { P (z) = res z=0,2 z 0,2 z n+ (z 0,2)(z +0,8) } + res z= 0,8 } { + res z= 0,8 z n+ (z 0,2)(z +0,8) { } P2 (z), (2.43) z +0,8 P (z) = zn+ z +0,8 e P 2(z) = zn+ z 0,2. (2.44) Pela equação (2.34), { z n+ } res = P (0,2) = (0,2) n+ z=0,2 (z 0,2)(z +0,8) (2.45) { z n+ } res = P 2 ( 0,8) = ( 0,8) n+ z= 0,8 (z 0,2)(z +0,8) (2.46) e, então, x(n) = (0,2) n+ ( 0,8) n+, para n. (2.47) }

13 2.3 Transformada z inversa 9 Para n 2, também temos um polo com multiplicidade ( n ) em z = 0. Portanto, temos que adicionar o resíduo em z = 0 aos dois resíduos da equação (2.47), de modo que { } x(n) = (0,2) n+ ( 0,8) n+ z n+ + res z=0 (z 0,2)(z +0,8) { = (0,2) n+ ( 0,8) n+ + res P3 (z)z n+}, (2.48) z=0 onde P 3 (z) = (z 0,2)(z +0,8). (2.49) Pela equação (2.34), como o polo z = 0 tem multiplicidade m k = ( n ), temos que { res P3 (z)z n+} d ( n 2) P 3 (z) = z=0 ( n 2)! dz ( n 2) z=0 d ( n 2) { = ( n 2)! dz ( n 2) (z 0,2)(z +0,8)} z=0 { n } ( ) n 2 ( ) n 2 = (z 0,2) n (z +0,8) z=0 = ( ) n 2[ ( 0,2) n+ (0,8) n+] = (0,2) n+ +( 0,8) n+. (2.50) Substituindo esse resultado na equação (2.48), temos que x(n) = (0,2) n+ ( 0,8) n+ (0,2) n+ +( 0,8) n+ = 0, para n 2. (2.5) Das equações (2.47) e (2.5), temos então que x(n) = [ (0,2) n+ ( 0,8) n+] u(n+). (2.52) Pelo que vimos no exemplo anterior, o cálculo de resíduos para o caso dos múltiplos polos em z = 0 envolve o cálculo de derivadas de ordem n, que podem, com frequência, tornar-se bastante complicadas. Felizmente, esses casos podem ser facilmente resolvidos por meio de um truque simples, o qual descrevemos a seguir. Quando a integral em X(z) = 2πj C X(z)z n dz (2.53)

14 92 As transformadas z e de Fourier envolve o cálculo de resíduos de polos múltiplos em z = 0, fazemos a mudança de variável z = /v. Se os polos de X(z) se localizam em z = p k, então os polos de X(/v) se localizam em v = /p k. Além disso, se X(z) converge para r < z < r 2, então X(/v) converge para /r 2 < v < /r. A integral na equação (2.36), então, se torna x(n) = 2πj C X(z)z n dz = 2πj C X ( ) v n dv. (2.54) v Note que, se o contorno C é percorrido no sentido anti-horário em z, então o contorno C é percorrido no sentido horário em v. Substituindo o percurso C por um percurso C idêntico, porém no sentido anti-horário, o sinal da integral se inverte, e a equação (2.54) se torna x(n) = 2πj C X(z)z n dz = 2πj C X ( ) v n dv. (2.55) v Se X(z)z n tem polos múltiplos na origem, então X(/v)v n tem polos múltiplos em z =, os quais agora estão fora do contorno fechado C. Portanto, o cálculo da integral do lado direito da equação (2.55) evita o cálculo de derivadas de ordem n. Esse fato é ilustrado pelo Exemplo 2.4, que recalcula a transformada z inversa do Exemplo 2.3. EXEMPLO 2.4 Calcule a transformada z inversa de X(z) do Exemplo 2.3 para n 2 usando o teorema dos resíduos com a mudança de variáveis da equação (2.55). SOLUÇÃO Fazendo-se a mudança de variáveis z = /v, a equação (2.42) se torna x(n) = z n+ 2πj (z 0,2)(z +0,8) dz C = C v n dv. (2.56) 2πj ( 0,2v)(+0,8v) A região de convergência do integrando à direita é v < /0,8 e, portanto, para n 2 não há polos no interior do contorno fechado C. Então, pela equação (2.39), concluímos que x(n) = 0, para n 2, (2.57) que, naturamente, é o mesmo resultado do Exemplo 2.3, porém obtido de modo muito mais simples.

15 2.3 Transformada z inversa Cálculo baseado na expansão em frações parciais Usando o teorema dos resíduos, pode-se mostrar que a transformada z inversa de X(z) = (z z 0 ) k, (2.58) se sua região de convergência é z > z 0, é a sequência unilateral direita x(n) = (n )! (n k)!(k )! zn k 0 u(n k) = ( ) n z n k 0 u(n k). (2.59) k Se a região de convergência da transformada z na equação (2.58) é z < z 0, sua transformada z inversa é a sequência unilateral esquerda ( ) (n )! n x(n) = (n k)!(k )! zn k 0 u( n+k ) = z n k 0 u( n+k ). k (2.60) Usando essas duas relações, o cálculo da transformada z inversa de qualquer função X(z) que possa ser expressa como uma razão de polinômios se torna direto, a partir do momento em que se obtenha a expansão de X(z) em frações parciais. Se X(z) = N(z)/D(z) tem K polos distintos p k, para k =,2,...,K, cada um com multiplicidade m k, então a expansão em frações parciais de X(z) se faz como a seguir (Kreyszig, 979): X(z) = M L l=0 g l z l + K m k k= i= c ki (z p k ) i, (2.6) onde M e L são os graus do numerador e do denominador de X(z), respectivamente. Os coeficientes g l, para l = 0,,...,M L, podem ser obtidos pelo quociente entre os polinômios N(z) e D(z), da seguinte forma: X(z) = N(z) M L D(z) = l=0 g l z l + C(z) D(z), (2.62) onde o grau de C(z) é menor que o grau de D(z). Claramente, se M < L, então g l = 0, l.

16 94 As transformadas z e de Fourier Os coeficientes c ki são c ki = (m k i)! d (m k i) [(z p k ) m k X(z)] dz (m k i). (2.63) z=pk No caso de um polo simples, c k é dado por c k = (z p k )X(z) z=pk. (2.64) Como a transformada z é linear e a transformada z inversa de cada um dos termos c ki /(z p k ) i pode ser calculada através da equação (2.59) ou da equação (2.60) (conforme o polo esteja dentro ou fora da região de convergência de X(z)), então a transformada z inversa segue diretamente da equação (2.6). EXEMPLO 2.5 Resolva o Exemplo 2.3 usando a expansão em frações parciais de X(z). SOLUÇÃO Formamos X(z) = onde z 2 (z 0,2)(z +0,8) = g 0 + c z 0,2 + c 2 z +0,8, (2.65) g 0 = lim X(z) =, z (2.66) e, usando a equação (2.34), encontramos c = c 2 = z2 z +0,8 = (0,2) 2 z=0,2 (2.67) z2 z 0,2 = (0,8) 2, z= 0,8 (2.68) de forma que X(z) = + (0,2)2 z 0,2 (0,8)2 z +0,8. (2.69)

17 2.3 Transformada z inversa 95 Como X(z) é a transformada z da resposta ao impulso de um sistema causal, então temos que os termos dessa equação correspondem a uma série de potências unilateral direita. Logo, as transformadas z inversas das três parcelas são: Z {} = δ(n) (2.70) { (0,2) Z 2 } { (0,2) = Z 2 z } z 0,2 0,2z } = Z {0,2 (0,2z ) n n= = 0,2(0,2) n u(n ) = (0,2) n+ u(n ) (2.7) { (0,8) Z 2} { (0,8) = Z 2 z } z +0,8 +0,8z } = Z {0,8 ( 0,8z ) n n= = 0,8( 0,8) n u(n ) = ( 0,8) n+ u(n ). (2.72) Somando os três termos anteriores (equações (2.70) (2.72)), temos que a transformada z inversa de X(z) é x(n) = δ(n)+(0,2) n+ u(n ) ( 0,8) n+ u(n ) = (0,2) n+ u(n) ( 0,8) n+ u(n). (2.73) EXEMPLO 2.6 Calcule a transformada z inversa unilateral direita de X(z) = z 2 3z +3. (2.74) SOLUÇÃO Fazendo a expansão de X(z) em frações parciais, temos que X(z) = (z 3e jπ/6 )(z 3e jπ/6 ) = A z 3e jπ/6 + B z 3e jπ/6, (2.75)

18 96 As transformadas z e de Fourier onde A = z 3e jπ/6 = z= 3e jπ/6 B = z = 3e jπ/6 z= 3e jπ/6 logo, X(z) = j 3 ( 3e jπ/6 3e = jπ/6 2j 3sen π 6 3e jπ/6 3e = jπ/6 2j 3sen π 6 = j 3, (2.76) = j 3 ; (2.77) ) z 3e jπ/6 z. (2.78) 3e jπ/6 Pela equação (2.59), temos que x(n) = j 3 = j 3 = [( 3e jπ/6 ) n ( 3e jπ/6 ) n ] u(n ) [( 3) n e j(n )π/6 ( 3) n e j(n )π/6 ] u(n ) j 3 ( 3) n 2jsen = 2( 3) n 2 sen [ (n ) π ] u(n ) 6 [ (n ) π 6 ] u(n ). (2.79) Cálculo baseado na divisão polinomial Dada X(z) = N(z)/D(z), podemos efetuar a divisão longa do polinômio N(z) pelo polinômio D(z) e obter os valores de x(n) em n = k como os coeficientes de z k. Deve-se notar que isso só é possível no caso de sequências unilaterais. Se a sequência é direita, então os polinômios devem ser funções de z. Se a sequência é esquerda, os polinômios devem ser funções de z. Isso fica claro com os Exemplos 2.7 e 2.8. EXEMPLO 2.7 Resolva o Exemplo 2.3 usando divisão polinomial. SOLUÇÃO Como X(z) é a transformada z de uma sequência unilateral direita (resposta ao impulso causal), podemos expressá-la como uma razão de polinômios em z, isto é, X(z) = z 2 (z 0,2)(z +0,8) = z 2 z 2 +0,6z 0,6. (2.80)

19 2.3 Transformada z inversa 97 Então, a divisão se efetua como z 2 z 2 + 0,6z 0,6 z 2 0,6z + 0,6 0,6z + 0,52z 2 0,408z 3 + 0,6z + 0,6 0,6z + 0,36 0,096z 0,52 0,096z 0,52 0,32z + 0,0832z 2 0,408z + 0,0832z 2. e, portanto, X(z) = +( 0,6)z +(0,52)z 2 +( 0,408)z 3 +. (2.8) Isso é o mesmo que dizer que x(n) = { 0, para n < 0, 0,6, 0,52, 0,408,... para n = 0,,2,... (2.82) A principal dificuldade com esse método é encontrar uma expressão em forma fechada para x(n). No caso que acabamos de ver, podemos verificar que, de fato, a sequência obtida corresponde à equação (2.52). EXEMPLO 2.8 Encontre a transformada z inversa de X(z) no Exemplo 2.3 usando divisão polinomial, supondo que a sequência x(n) é unilateral esquerda. SOLUÇÃO Como X(z) é a transformada z de uma sequência unilateral esquerda, podemos expressá-la como X(z) = z 2 (z 0,2)(z +0,8) = 0,6z 2 +0,6z +. (2.83)

20 98 As transformadas z e de Fourier Então, a divisão se efetua como 0,6z 2 +0,6z + +3,75z+6,25z 2 3,75z+6,25z 2 3,75z+4,0625z 2 +23,4375z 3 20,325z 2 +23,4375z 3 6,25z 2 23,4375z 3 26,95325z 4. e fornece X(z) = 6,25z 2 23,4375z 3 26,95325z 4, (2.84) implicando que x(n) = {..., 26,95325, 23,4375, 6,25, para n =..., 4, 3, 2 0, para n > 2. (2.85) Cálculo baseado na expansão em série Quando a transformada z não é expressa por uma razão de polinômios, podemos tentar efetuar sua inversão usando uma expansão em série em torno de z = 0 ou z = 0, dependendo de se a região de convergência inclui z = ou z = 0. Para sequências unilaterais direitas, realizamos a expansão de X(z) usando a variável z em torno de z = 0. A expansão em série de Taylor de F(x) em torno de x = 0 é dada por F(x) = F(0)+x df dx + x2 d 2 F x=0 2! dx 2 + x3 d 3 F x=0 3! dx 3 + x=0 x n d n F = n! dx n. (2.86) x=0 n=0 Se fazemos x = z, então essa expansão tem a forma da transformada z de uma sequência unilateral direita. EXEMPLO 2.9 Encontre a transformada z inversa de ( ) X(z) = ln. (2.87) z Considere que a sequência é unilateral direita.

21 2.3 Transformada z inversa 99 SOLUÇÃO Expandindo X(z) como na equação (2.86), usando z como a variável, temos que X(z) = n= z n n. (2.88) Pode-se constatar que esta série converge para z >, uma vez que, pela equação (2.4), lim n z n n /n = z lim n n /n = z. (2.89) Portanto, a transformada z inversa de X(z) é, por inspeção, x(n) = n u(n ). (2.90) EXEMPLO 2.0 (a) Calcule a transformada z inversa unilateral direita correspondente à função descrita a seguir: H(z) = arctgz (2.9) sabendo que d k arctgx dx k (0) = { 0, k = 2l ( ) (k )/2 (k )!, k = 2l+, (2.92) com l 0. (b) A sequência resultante pode representar a resposta ao impulso de um sistema estável? Por quê? SOLUÇÃO (a) Dadas a série definida na equação (2.86) e a equação (2.92), a série para a função arctg pode ser expressa como arctgx = x x3 3 + x ( )l x (2l+) 2l+ e, então, + (2.93) arctgz = z z z ( )l z (2l+). (2.94) 2l +

22 00 As transformadas z e de Fourier Como resultado, a sequência temporal correspondente é dada por 0, n = 2l h(n) = ( ) (n )/2, n = 2l +, n (2.95) com l 0. (b) Paraqueumasequência h(n) representearespostaaoimpulsodeumsistema estável, ela deve ser absolutamente somável. Inicialmente, observamos que n= n = l= ( 2l + ) < 2 2l l= 2l. (2.96) Mas como n= /n é ilimitada, então n=0 h(n) = l= [/(2l )] também é ilimitada, e portanto o sistema não é estável. Se tivéssemos lançado mão do teste da condição suficiente lim n h(n) /n <, (2.97) teríamos encontrado, pela equação (2.95): lim n h(n) /n = lim n ( ) (n )/2 o que nada nos permitiria concluir. n /n = lim n n /n =, (2.98) 2.4 Propriedades da transformada z Nesta seção, enunciamos algumas das propriedades mais importantes da transformada z Linearidade Dadas duas sequências x (n) e x 2 (n) e duas constantes arbitrárias k e k 2 tais que x(n) = k x (n)+k 2 x 2 (n), então X(z) = k X (z)+k 2 X 2 (z), (2.99) com região de convergência dada, no mínimo, pela interseção das regiões de convergência de X (z) e X 2 (z).

23 2.4 Propriedades da transformada z 0 PROVA X(z) = (k x (n)+k 2 x 2 (n))z n = k x (n)z n +k 2 x 2 (n)z n = k X (z)+k 2 X 2 (z). (2.00) Reversão no tempo x( n) X(z ), (2.0) e se a região de convergência de X(z) é r < z < r 2, então a região de convergência de Z{x( n)} é /r 2 < z < /r. PROVA Z{x( n)} = = m= x( n)z n = m= x(m)z m x(m)(z ) m = X(z ), (2.02) implicando que a região de convergência de Z{x( n)} é r < z < r 2, o que é equivalente a /r 2 < z < /r Teorema do deslocamento no tempo x(n+l) z l X(z), (2.03) onde l é um inteiro. A região de convergência de Z{x(n+l)} é a mesma de X(z), exceto pela possível inclusão ou exclusão de z = 0 e/ou z =. PROVA Por definição, Z{x(n+l)} = x(n+l)z n. (2.04)

24 02 As transformadas z e de Fourier Fazendo a mudança de variável m = n+l, temos que Z{x(n+l)} = x(m)z (m l) = z l x(m)z m = z l X(z), (2.05) m= m= notando que a multiplicação por z l pode incluir ou excluir polos em z = 0 e z = Multiplicação por uma exponencial α n x(n) X(αz), (2.06) e se a região de convergência de X(z) é r < z < r 2, então a região de convergência de Z{α n x(n)} é r / α < z < r 2 / α. PROVA Z{α n x(n)} = α n x(n)z n = x(n)(αz) n = X(αz); (2.07) o somatório converge para r < αz < r 2, o que é equivalente a r / α < z < r 2 / α Diferenciação complexa nx(n) z dx(z), (2.08) dz e a região de convergência de Z{nx(n)} é a mesma de X(z), isto é, r < z < r 2. PROVA Z{nx(n)} = = z = z = z nx(n)z n nx(n)z n x(n) ( nz n ) x(n) dz n dz = z dx(z). (2.09) dz

25 2.4 Propriedades da transformada z 03 Pelas equações (2.6) e (2.7), temos que se a região de convergência de X(z) é r < z < r 2, então r = lim n x(n) /n (2.0) r 2 = lim n x(n) /n. (2.) Portanto, se a região de convergência de Z{nx(n)} é dada por r < z < r 2, então r = lim n nx(n) /n = lim n n /n lim n x(n) /n = lim n x(n) /n = r (2.2) r 2 = lim n nx(n) /n = lim n n /n lim n x(n) /n = lim n x(n) /n = r 2, (2.3) implicando que a região de convergência de Z{nx(n)} é a mesma de X(z) Conjugação complexa x (n) X (z ). (2.4) As regiões de convergência de X(z) e Z{x (n)} são iguais. PROVA Z{x (n)} = = = [ x (n)z n [x(n)(z ) n] x(n)(z ) n ] = X (z ), (2.5) de onde segue trivialmente que a região de convergência de Z{x (n)} é a mesma de X(z).

26 04 As transformadas z e de Fourier Sequências reais e imaginárias Re{x(n)} 2 [X(z)+X (z )] (2.6) Im{x(n)} 2j [X(z) X (z )], (2.7) onde Re{x(n)} e Im{x(n)} são as partes real e imaginária da sequência x(n), respectivamente. As regiões de convergência de Z{Re{x(n)}} e Z{Im{x(n)}} contêm a de X(z). PROVA { } Z{Re{x(n)}} = Z 2 [x(n)+x (n)] = 2 [X(z)+X (z )] (2.8) { } Z{Im{x(n)}} = Z 2j [x(n) x (n)] = 2j [X(z) X (z )], (2.9) com as respectivas regiões de convergência seguindo trivialmente dessas expressões: no mínimo iguais à de X(z) (por sua vez igual à de X (z )) Teorema do valor inicial Se x(n) = 0 para n < 0, então x(0) = lim z X(z). (2.20) PROVA Se x(n) = 0 para n < 0, então lim X(z) = lim z z x(n)z n = n= Teorema da convolução lim z x(n)z n = x(0). (2.2) n=0 x (n) x 2 (n) X (z)x 2 (z). (2.22) A região de convergência de Z{x (n) x 2 (n)} é pelo menos a interseção das regiões de convergência de X (z) e X 2 (z). Isso porque se um polo de X (z) é cancelado por um zero de X 2 (z) ou vice-versa, então a região de convergência de Z{x (n) x 2 (n)} pode incorporar porções do plano z que não fazem parte das regiões de convergência de X (z) ou X 2 (z).

27 2.4 Propriedades da transformada z 05 PROVA { } Z{x (n) x 2 (n)} = Z x (l)x 2 (n l) l= [ = l= x (l)x 2 (n l) = x (l) x 2 (n l)z n = l= [ l= ] z n ][ ] x (l)z l x 2 (n)z n = X (z)x 2 (z). (2.23) Produto de duas sequências x (n)x 2 (n) z X (v)x 2( )v dv = z ) X ( X 2 (v)v dv, 2πj C v 2πj C 2 v (2.24) ondec éumcontornocontidonainterseçãodasregiõesdeconvergência dex (v) e X 2 (z/v), e C 2 é um contorno contido na interseção das regiões de convergência de X (z/v) e X 2 (v). Assume-se que ambos, C e C 2, são percursos anti-horários. Se a região de convergência de X (z) é r < z < r 2 e a região de convergência de X 2 (z) é r < z < r 2, então a região de convergência de Z{x (n)x 2 (n)} é r r < z < r 2 r 2. (2.25) PROVA Expressando x 2 (n) como função de sua transformada z, X 2 (z) (equação (2.36)), mudando a ordem entre a integração e o somatório e usando a definição da transformada z, temos que Z{x (n)x 2 (n)} = x (n)x 2 (n)z n = = 2πj [ ] x (n) X 2 (v)v (n ) dv z n 2πj C 2 C 2 x (n)z n v (n ) X 2 (v)dv

28 06 As transformadas z e de Fourier = [ 2πj C 2 = 2πj C 2 X ( z v ] ( v ) n x (n) X 2 (v)v dv z ) X 2 (v)v dv. (2.26) Se a região de convergência de X (z) é r < z < r 2, então a região de convergência de X (z/v) é r < z v < r 2, o que é equivalente a z < v < z. r 2 r (2.27) (2.28) Além disso, se a região de convergência de X 2 (v) é r < v < r 2, então o contorno C 2 tem que se situar dentro da interseção das duas regiões de convergência, isto é, C 2 tem que estar contido na região max { z r 2,r } < v < min Portanto, precisamos ter { } z min,r 2 > max r { z r 2,r { z r,r 2 o que é verdade se r r < z < r 2r 2. }. (2.29) }, (2.30) A equação (2.24) também é conhecida como teorema da convolução complexa (Antoniou, 993; Oppenheim & Schafer, 975). Embora à primeira vista ela não tenha a forma de uma convolução, se expressamos z = ρ e jθ e v = ρ 2e jθ 2 na forma polar, então ela pode ser reescrita como Z{x (n)x 2 (n)} z=ρ e jθ = 2π π π X ( ρ ρ 2 e j(θ θ 2 ) que tem a forma de uma convolução em θ. ) X 2 ( ρ2 e jθ 2) dθ2, (2.3) 2.4. Teorema de Parseval x (n)x 2 (n) = X (v)x 2 2πj C ( v ) v dv, (2.32)

29 2.4 Propriedades da transformada z 07 onde x denota o complexo conjugado de x e C é um contorno contido na interseção das regiões de convergência de X (v) e X 2(/v ). PROVA Começamos observando que Portanto, x(n) = X(z) z=. (2.33) x (n)x 2(n) = Z{x (n)x 2(n)} z=. (2.34) Usando a equação (2.24) e a propriedade da conjugação complexa dada na equação (2.4), temos que a equação (2.34) implica que x (n)x 2 (n) = ( ) X (v)x 2 v dv. (2.35) 2πj C v Tabela de transformadas z básicas A Tabela 2. contém algumas sequências comumente usadas e suas transformadas z correspondentes, juntamente com as regiões de convergência associadas. Embora ela só contenha as transformadas z de sequências unilaterais direitas, os resultados para sequências unilaterais esquerdas podem ser facilmente obtidos fazendo-se y(n) = x( n) e aplicando-se a propriedade da reversão no tempo, dada na Seção EXEMPLO 2. Calcule a convolução linear das sequências da Figura 2.3 usando a transformada z. Represente num gráfico a sequência resultante. SOLUÇÃO Pela Figura 2.3, podemos observar que as transformadas z das duas sequências são X (z) = z 2 z e X 2 (z) = +z 2 z 2. (2.36)

30 08 As transformadas z e de Fourier Tabela 2. Transformadas z de sequências comumente usadas. x(n) X(z) Região de convergência δ(n) z C u(n) z (z ) z > ( a) n u(n) nu(n) n 2 u(n) e an u(n) ( ) n e a(n k) u(n k) k cos(ωn)u(n) z (z +a) z > a z (z ) 2 z > z(z +) (z ) 3 z > z (z e a ) z > e a (z e a ) k z > e a z[z cos(ω)] z 2 2zcos(ω)+ z > sen(ωn)u(n) n u(n ) sen(ωn + θ)u(n) zsen(ω) z 2 2zcos(ω)+ ( ) z ln z z 2 sen(θ)+zsen(ω θ) z 2 2zcos(ω)+ z > z > z > e an cos(ωn)u(n) e an sen(ωn)u(n) z 2 ze a cos(ω) z 2 2ze a cos(ω)+e 2a z > e a ze a sen(ω) z 2 2ze a cos(ω)+e 2a z > e a De acordo com a propriedade vista na Seção 2.4.9, a transformada z da convolução é o produto das transformadas z, e então Y(z) = X (z)x 2 (z) = (z 2 )(+z z 2 ) z 2 = z + 2 z z + 2 z 2 2 z 2 z z 3 = z 2z + 4 z 3. (2.37)

31 2.4 Propriedades da transformada z 09 Sequência 2,5 0,5 0 0,5, n (a) Sequência 2 2,5 0,5 0 0,5, n (b) Figura 2.3 Sequências a serem convoluídas no Exemplo 2. usando a transformada z. Sequência 3 2,5 0,5 0 0,5, n Figura 2.4 Sequência resultante do Exemplo 2.. No domínio do tempo, o resultado é y( ) =, y(0) = 0, y() = 2, y(2) = 0, y(3) =, y(4) = 0,..., (2.38) 4 representado na Figura 2.4. EXEMPLO 2.2 Se X(z) é a transformada z da sequência x(0) = a 0, x() = a, x(2) = a 2,..., x(i) = a i,..., (2.39) determine a transformada z da sequência

32 0 As transformadas z e de Fourier y( 2) = a 0, y( 3) = a b, y( 4) = 2a 2 b 2,..., y( i 2) = ia i b i,... (2.40) como função de X(z). SOLUÇÃO Temos que X(z) e Y(z) são X(z) = a 0 +a z +a 2 z 2 + +a i z i + (2.4) Y(z) = a 0 z 2 a bz 3 2a 2 b 2 z 4 ia i b i z i+2. (2.42) Começamos resolvendo esse problema usando a propriedade vista na Seção pela qual se x (n) = nx(n), então X (z) = z dx(z) dz = z ( a z 2 2a 2 z 3 3a 3 z 4 ia i z i ) = a z +2a 2 z 2 +3a 3 z 3 + +ia i z i +. (2.43) O próximo passo é criar x 2 (n) = b n x (n). Da propriedade vista na Seção 2.4.4, ( z ) X 2 (z) = X = a bz +2a 2 b 2 z 2 +3a 3 b 3 z 3 + +ia i b i z i +. (2.44) b Então, geramos X 3 (z) = z 2 X 2 (z) como a seguir: X 3 (z) = a bz 3 +2a 2 b 2 z 4 +3a 3 b 3 z 5 + +ia i b i z i 2 +, (2.45) e fazemos X 4 (z) = X 3 (z ), de forma que X 4 (z) = a bz 3 +2a 2 b 2 z 4 +3a 3 b 3 z 5 + +ia i b i z i+2 +. (2.46) A transformada Y(z) da sequência desejada é, então, Y(z) = a 0 z 2 a bz 3 2a 2 b 2 z 4 3a 3 b 3 z 5 ia i b i z i+2 = a 0 z 2 X 4 (z). (2.47)

33 2.5 Funções de transferência Usando as equações de(2.43) a (2.47), podemos expressar o resultado desejado como Y(z) = a 0 z 2 X 4 (z) = a 0 z 2 X 3 (z ) = a 0 z 2 z 2 X 2 (z ) ( ) z = a 0 z 2 z 2 X b [ = a 0 z 2 z 2 z dx(z) ] dz = a 0 z 2 + z dx(z) b dz z=(z )/b z=(z )/b. (2.48) 2.5 Funções de transferência Como vimos no Capítulo, um sistema linear no tempo discreto pode ser caracterizado por uma equação de diferenças. Nesta seção, mostramos como a transformada z pode ser usada para resolver equações de diferenças e, portanto, caracterizar sistemas lineares. A forma geral de uma equação de diferenças associada a um sistema linear é dada pela equação (.63), que reescrevemos aqui por conveniência: N a i y(n i) i=0 M b l x(n l) = 0. (2.49) l=0 Aplicando a transformada z em ambos os lados e usando a propriedade da linearidade, encontramos que N a i Z{y(n i)} i=0 M b l Z{x(n l)} = 0. (2.50) l=0 Aplicando o teorema do deslocamento no tempo, obtemos N a i z i Y(z) i=0 M b l z l X(z) = 0. (2.5) l=0 Portanto, para um sistema linear, dados a representação X(z) da entrada pela transformada z e os coeficientes de sua equação de diferenças, podemos usar a equação (2.5) para encontrar Y(z), a transformada z da saída. Aplicando a

34 2 As transformadas z e de Fourier relação da transformada z inversa dada na equação (2.36), a saída y(n) pode ser calculada para todo n. Fazendo a 0 =, sem perda de generalidade, podemos então definir H(z) = Y(z) X(z) = + M b l z l l=0 (2.52) N a i z i i= como a função de transferência do sistema relacionando a saída Y(z) com a entrada X(z). Aplicando o teorema da convolução à equação (2.52), temos que Y(z) = H(z)X(z) y(n) = h(n) x(n), (2.53) isto é, a função de transferência do sistema é a transformada z de sua resposta ao impulso. De fato, as equações (2.5) e (2.52) são as expressões no domínio da transformada z equivalentes à soma de convolução quando o sistema é descrito por uma equação de diferenças. A equação (2.52) dá a função de transferência para o caso geral de filtros recursivos (IIR). Para filtros não-recursivos (FIR), todos os termos a i = 0, para i =,2,...,N, e a função de transferência se simplifica para H(z) = M b l z l. l=0 (2.54) Funções de transferência são amplamente utilizadas para caracterizar sistemas lineares no tempo discreto. Podemos descrever uma função de transferência através de seus polos p i e zeros z l, produzindo a forma H(z) = H 0 M ( z z l ) l= N ( z p i ) i= = H 0 z N M M (z z l ) l=. (2.55) N (z p i ) i= Como foi discutido na Seção 2.2, para um sistema causal estável a região de convergência da transformada z de sua resposta ao impulso tem que incluir a Deve-se notar que, como a equação (2.5) usa transformadas z, que consistem em somatórios para < n <, então o sistema tem que ser descritível por uma equação de diferenças para < n <. Esse é o caso somente para sistemas inicialmente relaxados, isto é, sistemas que não produzem saída se sua entrada for zero para < n <. No nosso caso, isso não restringe a aplicabilidade da equação (2.5), porque só estamos interessados em sistemas lineares, os quais, como foi visto no Capítulo, têm que estar inicialmente relaxados.

35 2.6 Estabilidade no domínio z 3 circunferência unitária. Na verdade, esse resultado é mais geral, uma vez que para qualquer sistema estável a região de convergência tem que incluir necessariamente a circunferência unitária. Podemos constatar isso observando que para z 0 sobre a circunferência unitária ( z 0 = ), temos H(z 0 ) = 0 h(n) z n z n 0 h(n) = h(n) <, (2.56) o que implica que H(z) converge sobre a circunferência unitária. Como no caso de um sistema causal a região de convergência da função de transferência é definida por z > r, então todos os polos de um sistema causal estável têm que estar no interior do círculo unitário. Para um sistema não-causal com resposta ao impulso unilateral esquerda, como a região de convergência é definida por z < r 2, então todos os seus polos têm que estar fora do círculo unitário, com a possível exceção de um polo em z = 0. Na próxima seção, apresentamos um método numérico para avaliar a estabilidade de um sistema linear sem determinar explicitamente as posições de seus polos. 2.6 Estabilidade no domínio z Nesta seção, apresentamos um método para determinar se as raízes de um polinômio se situam no interior do círculo unitário do plano complexo. Esse método pode ser usado para avaliar a estabilidade BIBO de um sistema causal no tempo discreto. 2 Dado um polinômio de ordem N em z D(z) = a N +a N z + +a 0 z N (2.57) com a 0 > 0, a condição necessária e suficiente para que seus zeros (os polos da função de transferência que se quer avaliar) estejam no interior do círculo unitário do plano z é dada pelo seguinte algoritmo: (i) Faça D 0 (z) = D(z). (ii) Para k = 0,,...,(N 2): (a) Forme o polinômio Dk i (z) tal que D i k (z) = zn+k D k (z ). (2.58) 2 Há vários métodos para essa finalidade descritos na literatura (Jury, 973). Optamos por apresentar este método em particular porque ele se baseia em divisão polinomial, que consideramos uma ferramenta muito importante na análise e no projeto de sistemas no tempo discreto.

36 4 As transformadas z e de Fourier (b) Calcule α k e D k+ (z) tais que D k (z) = α k D i k (z)+d k+(z), (2.59) onde os termos em z j de D k+ (z), para j = 0,,...,k, são nulos. Em outras palavras, D k+ (z) é o resto da divisão de D k (z) por D i k(z), quando efetuada a partir dos termos de menor grau. (iii) Todas as raízes de D(z) estão no interior do círculo unitário se as seguintes condições são atendidas: D() > 0; D( ) > 0 para N par e D( ) < 0 para N ímpar; α k <, para k = 0,,...,(N 2). EXEMPLO 2.3 Teste a estabilidade do sistema causal cuja função de transferência possui no denominador o polinômio D(z) = 8z 4 +4z 3 +2z 2 z. SOLUÇÃO Se D(z) = 8z 4 +4z 3 +2z 2 z, então temos: D() = 2 > 0 N = 4 é par e D( ) = 6 > 0 Cálculo de α 0, α, e α 2 : D 0 (z) = D(z) = 8z 4 +4z 3 +2z 2 z (2.60) D i 0(z) = z 4 (8z 4 +4z 3 +2z 2 z ) = 8+4z +2z 2 z 3 z 4. (2.6) Como D 0 (z) = α 0 D i 0 (z)+d (z): z + 2z 2 + 4z 3 + 8z z + 2z 2 z 3 z z + 4 z2 8 z3 8 z4 8 e portanto α 0 = /8 e 2 z z z z4 D (z) = 2 z z z z4 (2.62) D i (z) = z4+ ( 2 z z z z 4 ) = 2 z z z z. (2.63) 8

37 2.6 Estabilidade no domínio z 5 Como D (z) = α D i (z)+d 2 (z): 2 z z z z z2 + 7 z z ,496z 2 + 4,08z 3 + 7,844z 4 e portanto α = 4/63 e z z z z3 2 z4 D 2 (z) = 2,496z 2 +4,08z 3 +7,844z 4 (2.64) D i 2 (z) = z4+2 (2,496z 2 +4,08z 3 +7,844z 4 ) = 2,496z 4 +4,08z 3 +7,844z 2. (2.65) Como D 2 (z) = α 2 D i 2 (z)+d 3(z), temos que α 2 = 2,496/7,844 = 0,382. Logo: α 0 = 8 <, α = 4 63 <, α 2 = 0,382 < (2.66) e, consequentemente, o sistema é estável. EXEMPLO 2.4 Dado o polinômio D(z) = z 2 +az +b, determine as escolhas para a e b tais que ele represente o denominador de um sistema no tempo discreto causal estável. Represente graficamente a b, destacando a região de estabilidade. b a+b = a+b = a b = b = Figura 2.5 Região de estabilidade para o Exemplo 2.4.

38 6 As transformadas z e de Fourier SOLUÇÃO Uma vez que a ordem do polinômio é par: D() > 0 +a+b > 0 a+b > (2.67) D( ) > 0 a+b > 0 a+b >. (2.68) Como N 2 = 0, só existe α 0. Então: D 0 (z) = z 2 +az +b (2.69) D i 0(z) = z 2 (z 2 +az +b) = +az +bz 2 (2.70) b+az +z 2 +az +bz 2 b abz b 2 z 2 b ( b)az +( b 2 )z 2 e, portanto, α 0 = b <. Assim, as condições buscadas são a+b > a+b > b <, (2.7) ilustradas na Figura 2.5. A derivação completa do algoritmo aqui apresentado, bem como um método para determinar o número de raízes de um polinômio D(z) situadas no interior do círculo unitário, podem ser encontrados em Jury (973). 2.7 Resposta na frequência Como foi mencionado na Seção 2., quando uma exponencial z n é aplicada à entrada de um sistema linear com resposta ao impulso h(n), sua saída é uma exponencial H(z)z n. Uma vez que, conforme visto anteriormente, garante-se que a transformada z da resposta ao impulso dos sistemas estáveis sempre existe sobre a circunferência unitária, é natural tentar caracterizar esses sistemas na circunferência unitária. Números complexos sobre a circunferência unitária são da forma z = e jω, para 0 ω < 2π. Isso implica que a sequência exponencial correspondente é uma senoide x(n) = e jωn. Portanto, podemos afirmar que se aplicamos uma senoide x(n) = e jωn à entrada de um sistema linear, então sua saída também é uma senoide com a mesma frequência, isto é, y(n) = H ( e jω) e jωn. (2.72)

39 2.7 Resposta na frequência 7 Se H(e jω ) é um númerocomplexo com módulo H(e jω ) e fase Θ(ω), então y(n) pode ser expressa como y(n) = H(e jω )e jωn = H(e jω ) e jθ(ω) e jωn = H(e jω ) e jωn+jθ(ω), (2.73) indicando que a saída de um sistema linear para uma entrada senoidal é uma senoide com a mesma frequência, mas com sua amplitude multiplicada por H(e jω ) e sua fase acrescida de Θ(ω). Logo, quando caracterizamos um sistema linear em termos de H(e jω ), estamos, de fato, especificando o efeito que o sistema linear tem sobre a amplitude e a fase do sinal de entrada, para cada frequência ω. Por esse motivo, H(e jω ) é comumente conhecida como resposta na frequência do sistema. É importante enfatizar que H(e jω ) é o valor da transformada z, H(z), sobre a circunferência unitária. Isso implica que precisamos especificá-la apenas para uma volta da circunferência unitária, isto é, para 0 ω < 2π. De fato, como para k Z H(e j(ω+2πk) ) = H(e j2πk e jω ) = H(e jω ), (2.74) então H(e jω ) é periódica com período 2π. Outra importante característica de um sistema linear no tempo discreto é seu atraso de grupo. Este é definido como o oposto da derivada da fase de sua resposta na frequência, isto é, τ(ω) = dθ(ω) dω. Quando a fase Θ(ω) é uma função linear de ω, isto é, Θ(ω) = βω, (2.75) (2.76) então, de acordo com a equação (2.73), a saída y(n) de um sistema linear para uma entrada senoidal x(n) = e jωn é: y(n) = H(e jω ) e jωn+jβω = H(e jω ) e jω(n+β). (2.77) A equação (2.77), juntamente com a equação (2.75), implica que a senoide de saída é atrasada de β = dθ(ω) dω = τ(ω) (2.78) amostras, qualquer que seja a frequência ω. Por causa desta propriedade, o atraso de grupo é geralmente usado como uma medida de quanto um sistema linear invariante no tempo atrasa senoides de diferentes frequências. O Exercício 2.8 faz uma discussão aprofundada desse assunto.

40 8 As transformadas z e de Fourier π/2 H(e jω ) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 π π/2 0 π/2 ω(rad/amostra) (a) π Θ(ω)(rad) π/4 0 π/4 π/2 π π/2 0 π/2 ω(rad/amostra) (b) π Figura 2.6 Resposta na frequência do filtro de média móvel: (a) resposta de módulo; (b) resposta de fase. EXEMPLO 2.5 Encontre a resposta na frequência e o atraso de grupo do filtro FIR caracterizado pela seguinte equação de diferenças: y(n) = x(n)+x(n ). (2.79) 2 SOLUÇÃO Tomando a transformada z de y(n), encontramos Y(z) = X(z)+z X(z) 2 e, então, a função de transferência do sistema é = 2 (+z )X(z), (2.80) H(z) = 2 (+z ). (2.8) Fazendo z = e jω, a resposta na frequência do sistema se torna H(e jω ) = 2 (+e jω ) = 2 e jω 2 ( e j ω 2 +e j ω 2) = e j ω 2 cos ω 2. (2.82) Como Θ(ω) = ω/2, então, pelas equações (2.77) e (2.78), conclui-se que o sistema atrasa todas as senoides igualmente de meia amostra. Então, seu atraso de grupo é τ(ω) = /2 amostra. As respostas de módulo e fase de H(e jω ) são representadas na Figura 2.6. Note que o gráfico da resposta na frequência é apresentado para π ω < π, em vez de 0 ω < 2π. Na prática, as duas faixas são equivalentes, já que ambas compreendem um período de H(e jω ).