Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 02 - Operações e Transformações em

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1 de de Disciplina: Processamento Digital de Sinais Aula 02 - Operações e Transformações em Prof. (eduardo.simas@ufba.br) Departamento de Engenharia Elétrica Universidade Federal da Bahia

2 Conteúdo de de de de 4

3 de de O Processamento Digital de Sinais está fundamentado em ferramentas matemáticas que permitem a realização de operações e transformações em sinais no tempo discreto. Neste módulo iremos estudar: - Operações mais comuns em sinais no tempo discreto; - mais utilizadas para sinais no tempo discreto.

4 de de

5 de de Um sistema no tempo discreto opera sobre uma sequência de entrada segundo regras pré-estabelecidas para gerar uma sequência de saída. Em muitos casos, o funcionamento dos sistemas no tempo discreto pode ser descrito a partir de operações básicas como: - produto; - adição; - multiplicação por um escalar; - deslocamento no tempo; - reversão no tempo; - alteração da taxa de amostragem; - correlação. Essas operações serão apresentadas a seguir.

6 Produto (ou modulação): y[n] = x 1 [n] x 2 [n] Quando o produto é utilizado para obter uma sequência de comprimento limitado a partir de outra de comprimento infinito (através do produto por uma sequência finita, chamada janela) essa operação é chamada janelamento : de de

7 Adição: y[n] = x 1 [n] + x 2 [n] Multiplicação por um escalar: y[n] = Ax[n] de de Deslocamento no tempo: y[n] = x[n N] sendo N inteiro. Quando N > 0 atraso e se N < 0 avanço. Em geral utiliza-se o operador z 1 para indicar um atraso de uma amostra e z um avanço (veremos o porque quando estudarmos a transformada z): x[n] z 1 y[n] = x[n 1] x[n] z y[n] = x[n + 1]

8 de de Reversão no : y[n] = x[ n] Alteração da Taxa de Amostragem: É possível gerar um novo sinal y[n] a partir da modificação da taxa de amostragem de x[n]. Definindo f x e f y como sendo respectivamente as frequências de amostragem de x e y, temos: F y F x = R se R > 1 o processo é chamado interpolação e se R < 1 decimação (ou dizimação). { x[n/l], n = 0 ± L, ±2L,... Na interpolação temos: y[n] = 0, outro n Na decimação: y[n] = x[nm]

9 de de Correlação: A correlação indica o nível se semelhança entre dois sinais (considerando a estatística de segunda ordem). Define-se a sequência de correlação (ou correlação cruzada): r x,y [l] = x[n]y[n l] com l = 0, ±1, ±2,... n= sendo l o atraso entre as duas sequências para o qual está sendo calculada a correlação. A sequencia de correlação indica a semelhança entre x[n] e versões deslocadas de y[n]. Quando a sequência de correlação é calculada para um mesmo sinal é chamada de sequência de auto-correlação: r x,x [l] = n= x[n]x[n l] com l = 0, ±1, ±2,... r x,x [l] indica a semelhança entre um sinal x[n] e versões deslocadas dele mesmo.

10 Função de Autocorrelação de de A função de auto-correlação mostra a velocidade de variação de um processo aleatório com o tempo e tem as propriedades a seguir: - R XX (τ) = R XX ( τ) (função par); - O valor máximo ocorre em τ = 0 (defasagem zero) e vale R XX (0) = E{X 2 (t)}. - O processo de cálculo de R XX (τ) é semelhante ao de uma convolução. Função de auto correlação de um sinal de SONAR pasivo: R XX τ

11 Função de Autocorrelação - Aplicação Detecção de ecos (medição de distâncias): de de A posição do pico da função de correlação indica o tempo de propagação T :

12 Função de Autocorrelação - Aplicação de de y[n] = αx[n τ] + N[n], sendo N[n] ruído gaussiano. O pico da função de correlação pode ser utilizado para estimar τ.

13 Coeficiente de Correlação de de Coeficiente de Correlação: É um valor esperado calculado numa janela temporal finita dos sinais e definido por: ρ x,y = E{(X µ X )(Y µ Y )} σ X σ Y = σ XY σ X σ Y sendo: E{x[n]} = µ X 1 N E{(x[n] µ X ) 2 } = σ 2 X 1 N N x[i] a média e i=1 N (x[i] µ X ) 2 a variância. i=1 O fator σ XY é a covariância de X e Y e quando os sinais são estatisticamente independentes ρ x,y = 0.

14 Variac a o do Coeficiente de Correlac a o ρxy=0,99 ρ = 0,98 XY Contı nuas 20 4 de de X 10 4 ρxy=0,74 Y Y Y Operac o es em Y Introduc a o X X 2 4 ρxy=0, X

15 de de

16 de de Z

17 de de A transformada z de uma sequência x[n] é definida por: X (z) = Z{x[n]} = onde z é uma variável complexa. n= x[n]z n É importante observar que X (z) existe apenas para regiões do plano complexo em que o somatório converge. A definição acima é chamada de transformada z bilateral.

18 de de Pode-se definir também as transformadas z para sequencias unilaterais e de comprimento finito: - Unilateral direita: X (z) = Z{x[n]} = - Unilateral esquerda: X (z) = Z{x[n]} = n=n 0 x[n]z n n 0 n= n 1 x[n]z n - Comprimento finito: X (z) = Z{x[n]} = x[n]z n n=n 0

19 de de Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] = Ku[n] Por definição temos: X (z) = K z n. n=0

20 de de Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] = Ku[n] Por definição temos: X (z) = K z n. n=0 Então, X (z) é uma série de potências que converge quando z 1 < 1 para: X (z) = K 1 z 1

21 de de Exemplo: Calcule a transformada z de x[n] = Ku[n] Por definição temos: X (z) = K z n. n=0 Então, X (z) é uma série de potências que converge quando z 1 < 1 para: X (z) = K 1 z 1

22 Z de de A transformada z é muito utilizada para a modelagem de sistemas no tempo discreto, pois a operação de convolução, que no domínio do tempo é utilizada para obter a saída (a partir da entrada e da função de resposta ao impulso) é substituída por uma multiplicação. A transformada z é a contrapartida discreta da transformada de Laplace. Uma representação comum para o par x[n] e X (z) é: x[n] Z X (z) A transformada z transforma a sequência discreta x[n] na função X (z) da variável contínua e complexa z.

23 Região de Convergência da Z de de Considerando a teoria das séries, observa-se que a transformada de z de uma sequência é uma série de Laurent da variável complexa z. Definição da série de Laurent: f (z) = n= a n (z c) n Neste caso, podemos aplicar resultados da teoria de séries e chegar ao resultado a seguir: A transformada z converge se r 1 < z < r 2, sendo: x[n + 1] r 1 = lim n x[n] x[n + 1] r 2 = lim n x[n]

24 Região de Convergência da Z A região no plano complexo na qual a transformada z converge (r 1 < z < r 2 ) é conhecida como: Região de Convergência (ROC). Exemplo de região de convergência da transformada z: de de

25 Região de Convergência da Z de de Pode-se observar que, por definição, a transformada z é uma série geométrica da variável complexa z: X (z) = Z{x[n]} = n= x[n]z n. Para uma série geométrica pode-se provar que: N 1 ar k = a 1 r n, e quando N : 1 r k=0 ar k 1 = a, para r < 1. 1 r k=0

26 : ROC da Z de de Encontre as transformadas z das sequências abaixo, especificando suas ROC: 1 - x[n] = k2 n u[n] 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] 3 - x[n] = u( n + 1) Resolução:

27 : ROC da Z de de Encontre as transformadas z das sequências abaixo, especificando suas ROC: 1 - x[n] = k2 n u[n] 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] 3 - x[n] = u( n + 1) Resolução:

28 : ROC da Z de de Encontre as transformadas z das sequências abaixo, especificando suas ROC: 1 - x[n] = k2 n u[n] 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] 3 - x[n] = u( n + 1) Resolução: 1 - x[n] = k2 n u[n] X (z) = k2 n z n = k (2z 1 ) n n=0 n=0

29 : ROC da Z de de Encontre as transformadas z das sequências abaixo, especificando suas ROC: 1 - x[n] = k2 n u[n] 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] 3 - x[n] = u( n + 1) Resolução: 1 - x[n] = k2 n u[n] X (z) = k2 n z n = k (2z 1 ) n chega-se então a: X (z) = 2z 1 < 1 z > 2. n=0 k, para 1 2z 1 n=0

30 : ROC da Z de de Encontre as transformadas z das sequências abaixo, especificando suas ROC: 1 - x[n] = k2 n u[n] 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] 3 - x[n] = u( n + 1) Resolução: 1 - x[n] = k2 n u[n] X (z) = k2 n z n = k (2z 1 ) n chega-se então a: X (z) = 2z 1 < 1 z > 2. n=0 k, para 1 2z 1 n=0

31 : ROC da Z de de Resolução: 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] (versão atrasada de uma amostra do sinal do Ex. 1) - X (z) = k2 n 1 z n = k (2z 1 ) n 2 n=1 n=1

32 : ROC da Z de de Resolução: 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] (versão atrasada de uma amostra do sinal do Ex. 1) - X (z) = k2 n 1 z n = k (2z 1 ) n 2 n=1 n=1 fazendo i = n 1: X (z) = k (2z 1 ) i+1 = k2z i=0 (2z 1 ) i i=0

33 : ROC da Z de de Resolução: 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] (versão atrasada de uma amostra do sinal do Ex. 1) - X (z) = k2 n 1 z n = k (2z 1 ) n 2 n=1 n=1 fazendo i = n 1: X (z) = k (2z 1 ) i+1 = k2z X (z) = i=0 kz 1, para z > z 1 (2z 1 ) i Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atraso de uma unidade corresponde à multiplicação por z 1. i=0

34 : ROC da Z de de Resolução: 2 - x[n] = k2 n 1 u[n 1] (versão atrasada de uma amostra do sinal do Ex. 1) - X (z) = k2 n 1 z n = k (2z 1 ) n 2 n=1 n=1 fazendo i = n 1: X (z) = k (2z 1 ) i+1 = k2z X (z) = i=0 kz 1, para z > z 1 (2z 1 ) i Comparando com o resultado anterior percebe-se que o atraso de uma unidade corresponde à multiplicação por z 1. i=0

35 : ROC da Z de de Resolução: 3 - x[n] = u( n + 1) (versão revertida no tempo do degrau unitário deslocado) - X (z) = 1 n= z n

36 : ROC da Z de de Resolução: 3 - x[n] = u( n + 1) (versão revertida no tempo do degrau unitário deslocado) - X (z) = 1 n= z n fazendo i = n 1: X (z) = X (z) = z 1 z para z < 1. 0 z ( i 1) = z i= 0 i= z i

37 : ROC da Z de de Resolução: 3 - x[n] = u( n + 1) (versão revertida no tempo do degrau unitário deslocado) - X (z) = 1 n= z n fazendo i = n 1: X (z) = X (z) = z 1 z para z < 1. 0 z ( i 1) = z i= z 1 0 i= Comparando com o par: u[n 1] Z, percebe-se que 1 z 1 x[ n] X Z (z 1 ) z i

38 : ROC da Z de de Resolução: 3 - x[n] = u( n + 1) (versão revertida no tempo do degrau unitário deslocado) - X (z) = 1 n= z n fazendo i = n 1: X (z) = X (z) = z 1 z para z < 1. 0 z ( i 1) = z i= z 1 0 i= Comparando com o par: u[n 1] Z, percebe-se que 1 z 1 x[ n] X Z (z 1 ) z i

39 Função de Transferência de de A transformada H(z) da função de resposta ao impulso h[n] de um sistema LIT é denominada Função de Transferência. Com o conhecimento de H(z) é possível obter a saída de um SLIT a partir de uma simples multiplicação no domínio z: Y (z) = H(z)X (z) sendo X (z) e Y (z) as transformadas z da entrada (x[n]) e da saída (y[n]) do SLIT. Em geral uma função de transferência é expressa, de modo genérico, como: H(z) = Y (z) X (z) = 1 + M b l z 1 l=0 N a i z 1 i=1

40 Função de Transferência de de É importante notar que para casos especiais (Ex.: filtros não recursivos) a função de transferência é simplificada para:: H(z) = M b l z 1 Outra forma bastante utilizada para representar a função de transferência é em função de seus pólos (p i ) e zeros (z l ): H(z) = N(z) D(z) = H 0 l=0 M (1 z 1 z l ) l=1 i=1 M (z z l ) l=1 = H 0 z N N M N (1 z 1 p i ) (z p i ) i=1 z l e p i são as raízes de N(z) e D(z), respectivamente.

41 Propriedades da de de A seguir serão listadas as principais propriedades da transformada z. => Linearidade: x[n] = a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] X (z) = a 1 X 1 (z) + a 2 X 2 (z) a região de convergência de X (z) é a intersecção das regiões de convergência de X 1 (z) e X 2 (z). => Reversão no : x[ n] X (z 1 ) se X (z) converge para r 1 < z < r 2, então X (z 1 ) converge para 1 r 1 < z < 1 r 2. => Deslocamento no : x[n + l] z l X (z) a região de convergência é a mesma a menos de z = 0 ou z =.

42 Propriedades da de de => Multiplicação por uma exponencial: α n x[n] X (αz) sendo r 1 < z < r 2 a região de convergência de X (z), então a região de convergência de X (αz) é r 1 / α < z < r 2 / α. => Diferenciação complexa: dx (αz) nx[n] z dz a região de convergência se mantém a mesma. => Teorema do Valor Inicial: se x[n] = 0 para n < 0, então: x[0] = lim z X (z). Teorema da Convolução: x 1 [n] x 2 [n] X 1 (z)x 2 (z)

43 Tabela de pares da Z mais utilizados de de

44 A Inversa de de A transformada z inversa é definida por: x[n] = 1 X (z)z n 1 dz 2πj e mapeia uma função no domínio da variável contínua e complexa z para o domínio da variável discreta n. O modo mais simples de obter a transformada z inversa é a partir da combinação das propriedades da transformada com pares transformados conhecidos. Se não for possível encontrar uma equivalência a partir deste procedimento, então é necessário utilizar um método anaĺıtico como: - método dos resíduos; - expansão em frações parciais; - divisão polinomial; - expansão em séries.

45 Método da expansão em frações parciais de de Considerando que uma função X (z) = N(z)/D(z) tem k polos distintos p k (k = 1, 2,..., K) cada um com multiplicidade m k, então X (z) pode ser expandido em frações parciais através de: X (z) = M N l=0 g l z l + K m k k=1 i=1 Se M < L, então g l = 0 para todo l. c ki (1 p k z 1 ) i Para o caso de polos simples os coeficientes c k podem ser determinados a partir de: c k = (1 p k z 1 )X (z) z=pk E a transformada inversa é obtida de: N g[n] = c k (p k ) n u[n] l=1

46 Expansão em frações parciais - Exemplo 1 de de Obter a representação no domínio do tempo discreto para z(z + 2) H(z) = (z 0, 2)(z + 0, 6) = (1 + 2z 1 ) (1 0, 2z 1 )(1 + 0, 6z 1 ) Resolução: Expandindo em frações parciais temos: H(z) = c 1 (1 + 2z 1 ) + c 2 (1 + 0, 6z 1 ) c 1(0, 2) n u[n] + c 2 ( 0, 6) n u[n].

47 Expansão em frações parciais - Exemplo 1 de de Obter a representação no domínio do tempo discreto para z(z + 2) H(z) = (z 0, 2)(z + 0, 6) = (1 + 2z 1 ) (1 0, 2z 1 )(1 + 0, 6z 1 ) Resolução: Expandindo em frações parciais temos: H(z) = c 1 (1 + 2z 1 ) + c 2 (1 + 0, 6z 1 ) c 1(0, 2) n u[n] + c 2 ( 0, 6) n u[n]. Para obtermos os coeficientes c 1 e c 2 fazemos: c 1 = (1 0, 2z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z=0, , 6z 1 = 2, 75 z=0,2

48 Expansão em frações parciais - Exemplo 1 de de Obter a representação no domínio do tempo discreto para z(z + 2) H(z) = (z 0, 2)(z + 0, 6) = (1 + 2z 1 ) (1 0, 2z 1 )(1 + 0, 6z 1 ) Resolução: Expandindo em frações parciais temos: H(z) = c 1 (1 + 2z 1 ) + c 2 (1 + 0, 6z 1 ) c 1(0, 2) n u[n] + c 2 ( 0, 6) n u[n]. Para obtermos os coeficientes c 1 e c 2 fazemos: c 1 = (1 0, 2z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z=0, , 6z 1 = 2, 75 z=0,2 c 2 = (1 0, 6z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z= 0,6 1 0, 2z 1 = 1, 75 z= 0,6

49 Expansão em frações parciais - Exemplo 1 de de Obter a representação no domínio do tempo discreto para z(z + 2) H(z) = (z 0, 2)(z + 0, 6) = (1 + 2z 1 ) (1 0, 2z 1 )(1 + 0, 6z 1 ) Resolução: Expandindo em frações parciais temos: H(z) = c 1 (1 + 2z 1 ) + c 2 (1 + 0, 6z 1 ) c 1(0, 2) n u[n] + c 2 ( 0, 6) n u[n]. Para obtermos os coeficientes c 1 e c 2 fazemos: c 1 = (1 0, 2z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z=0, , 6z 1 = 2, 75 z=0,2 c 2 = (1 0, 6z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z= 0,6 1 0, 2z 1 = 1, 75 z= 0,6 Então a sequência no domínio do tempo correspondente é: h[n] = 2, 75(0, 2) n u[n] 1, 75( 0, 6) n u[n]

50 Expansão em frações parciais - Exemplo 1 de de Obter a representação no domínio do tempo discreto para z(z + 2) H(z) = (z 0, 2)(z + 0, 6) = (1 + 2z 1 ) (1 0, 2z 1 )(1 + 0, 6z 1 ) Resolução: Expandindo em frações parciais temos: H(z) = c 1 (1 + 2z 1 ) + c 2 (1 + 0, 6z 1 ) c 1(0, 2) n u[n] + c 2 ( 0, 6) n u[n]. Para obtermos os coeficientes c 1 e c 2 fazemos: c 1 = (1 0, 2z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z=0, , 6z 1 = 2, 75 z=0,2 c 2 = (1 0, 6z 1 )H(z) = 1 + 2z 1 z= 0,6 1 0, 2z 1 = 1, 75 z= 0,6 Então a sequência no domínio do tempo correspondente é: h[n] = 2, 75(0, 2) n u[n] 1, 75( 0, 6) n u[n]

51 Expansão em frações parciais - polos múltiplos de de Quando a função G(z) tem um polo z = ρ de multiplicidade L e os demais N L polos z = p l são simples, a expansão em frações parciais pode ser feita a partir de: G(z) = M N l=0 N L g l z l + l=1 c l 1 p l z 1 L i=1 cρ i (1 ρz 1 ) i os resíduos cρ i são calculados usando: 1 d L i [ cρ i = (L i)!( ρ) L i d(z 1 ) L i (1 ρz 1 ) G(z)] L z=ρ

52 Expansão em frações parciais de de Exemplo: 18 Encontrar x[n] para: X (z) = z 1 4z 2 z > num=18; > den=[ ]; > [r,p,k]=residuez(num,den); r = p = k = []

53 Expansão em frações parciais de de Exemplo: 18 Encontrar x[n] para: X (z) = z 1 4z 2 z > num=18; > den=[ ]; > [r,p,k]=residuez(num,den); r = p = k = [] Então: 0, 36 X (z) = 1 0, 5z 1 + 0, , 3333z 1 + 0, 40 (1 + 0, 3333z 1 ) 2

54 Expansão em frações parciais de de Exemplo: 18 Encontrar x[n] para: X (z) = z 1 4z 2 z > num=18; > den=[ ]; > [r,p,k]=residuez(num,den); r = p = k = [] Então: 0, 36 X (z) = 1 0, 5z 1 + 0, , 3333z 1 + 0, 40 (1 + 0, 3333z 1 ) 2 x[n] = 0, 36(0, 5) n u[n] + 0, 24( 0, 3333) n u[n] +0, 4(n + 1)( 0, 3333) n u[n + 1]

55 Expansão em frações parciais de de Exemplo: 18 Encontrar x[n] para: X (z) = z 1 4z 2 z > num=18; > den=[ ]; > [r,p,k]=residuez(num,den); r = p = k = [] Então: 0, 36 X (z) = 1 0, 5z 1 + 0, , 3333z 1 + 0, 40 (1 + 0, 3333z 1 ) 2 x[n] = 0, 36(0, 5) n u[n] + 0, 24( 0, 3333) n u[n] +0, 4(n + 1)( 0, 3333) n u[n + 1]

56 Estabilidade e Causalidade no Domínio z de de Características como estabilidade e causalidade de sistemas podem ser associados a padrões específicos dos polos e zeros e da ROC da função de transferência do sistema: - Se um sistema é causal a ROC está fora do maior polo; - Se o sistema é estável a ROC deve incluir o círculo unitário; - Se o sistema é causal e estável as duas condições acima precisam ser satisfeitas o que implica em ter todos os polos dentro do círculo unitário.

57 Estabilidade e Causalidade no Domínio z : de de Localização dos polos para sistemas (a) causal e estável e (b) causal e instável.

58 Outros Comandos Úteis no MATLAB de de Operações com sistemas lineares discretos (convolução e geração de gráficos): a=[ ]; b=[ ]; c=conv(a,b); stem(c)

59 Outros Comandos Úteis no MATLAB de de Encontrar raízes do polinômio G(z) = 8z 4 + 8z 3 + 2z 2 z 1: >> roots([ ]) ans = i i Traçar diagrama de pólos e zeros no plano z: Exemplo 1: H(z) = (z 1)/(8z 4 + 8z 3 + 2z 2 z 1) >> zplane([ ],[ ])

60 Outros Comandos Úteis no MATLAB Saída do Exemplo 1 - x representam os polos e o os zeros: de de Imaginary Part Real Part

61 Outros Comandos Úteis no MATLAB de de Encontrar um polinômio a partir de suas raízes: Raízes: 0.4, 0.7, i e i >> poly([0.4, -0.7, i, i]) ans = então o polinômio é: z z z z

62 de de de de

63 de de de de A transformada de de tempo discreto (DTFT - Discrete Time Transform) pode ser obtida a partir da definição da transformada z fazendo z = e jω (ou seja, restringindo o domínio z apenas ao círculo unitário). Assim, a DTFT converte uma sequência no tempo discreto para o domínio da frequência contínua ω: X (jω) = X (e jω ) = n= E a transformação inversa é realizada por: x[n]e jωn x[n] = 1 π X (jω)e jωn dω 2πj π

64 de de de de Percebe-se das definições anteriores que um sinal x[n] no tempo discreto pode ser representado por um somatório infinito de senoides de frequência ω ponderadas por fatores proporcionais a X (jω). Lembrando que (Fórmula de Euler): e jx = cos(x) + j sin(x). A transformada de X (jω) é periódica com período 2π: X (e jω ) = X (e jω+2πk ), k Z Assim, a transformada de de um sinal no tempo discreto só precisa ser especificada num intervalo de 2π, como por exemplo: [ π, π) ou [0, 2π).

65 DTFT - Exemplo de de Encontrar { a transforma de para o sinal: 1, 0 n 5 x[n] = 0, caso contrário Solução: H(e jω ) = 5 k=0 e jωk = 1 e 6jω 1 e jω

66 DTFT - Exemplo de de Encontrar { a transforma de para o sinal: 1, 0 n 5 x[n] = 0, caso contrário Solução: H(e jω ) = 5 k=0 e jωk = 1 e 6jω 1 e jω = e 3jω (e 3jω e 3jω ) e jω/2 (e jω/2 e jω/2 )

67 DTFT - Exemplo de de Encontrar { a transforma de para o sinal: 1, 0 n 5 x[n] = 0, caso contrário Solução: 5 H(e jω ) = e jωk = 1 e 6jω 1 e jω = e 3jω (e 3jω e 3jω ) e jω/2 (e jω/2 e jω/2 ) k=0 j5ω/2 sin(3ω) = e sin(ω/2)

68 DTFT - Exemplo de de Encontrar { a transforma de para o sinal: 1, 0 n 5 x[n] = 0, caso contrário Solução: 5 H(e jω ) = e jωk = 1 e 6jω 1 e jω = e 3jω (e 3jω e 3jω ) e jω/2 (e jω/2 e jω/2 ) k=0 j5ω/2 sin(3ω) = e sin(ω/2)

69 DTFT - Exemplo As respostas em frequência de módulo e fase são dadas por: de de Lembrando que, para o número complexo z = a + jb podemos definir a representação polar z = re jθ, sendo: r = a 2 + b 2 o módulo e θ = arctan(b/a) a fase. Usando a fórmula de Euler podemos chegar também a: a = r cos(θ) e b = r sin(θ).

70 Considerações sobre a DTFT de de Para que a transformada de de uma sequência exista, sua transformada z deve convergir para z = 1 A transformada z converge na circunferência unitária quando: n= x[n] <. O degrau unitário (x[n] = u[n]) é um exemplo de sinal discreto que não possui DTFT, pois a expressão acima não é válida. A condição acima, porém, não é necessária e suficiente para garantir a existência da DTFT, ocorrem casos especiais nos quais a DTFT existe, mas a condição não é satisfeita. Outro aspecto interessante é que a transformada z mapeia sempre para um domínio contínuo, então, sequências em que transformada de é uma função descontínua de ω não possuem transformada z.

71 Propriedades da DTFT de de A seguir serão listadas as principais propriedades da DTFT, que são análogas às da transformada z. => Linearidade: x[n] = a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] X (e jω ) = a 1 X 1 (e jω ) + a 2 X 2 (e jω ) => Reversão no : x[ n] X (e jω ) => Deslocamento no : x[n + l] e jωl X (e jω ) onde l é inteiro. => Multiplicação por uma Exponencial Complexa: e jω0n x[n] X (e j(ω ω0) )

72 Propriedades da DTFT de de => Diferenciação Complexa: nx[n] j dx (ejω ) ω => Teorema da Convolução: x 1 [n] x 2 [n] X 1 (e jω )X 2 (e jω ) x 1 [n]x 2 [n] X 1 (e jω ) X 2 (e jω ) A convolução no domínio do tempo é igual ao produto no domínio da frequência e vice-versa. => Teorema de Parseval: x[n] 2 = 1 π X (e jω ) 2 dω 2π n= π A energia do sinal no domínio do tempo é igual à energia do sinal no domínio da frequência dividida por 2π.

73 DTFT para Sinais Periódicos de de Considerando que um sinal periódico x[n] = x[n + kn] de período N é composto por versões deslocadas do sinal x f [n], que corresponde a um período de x[n], tal que: x f [n] = 0 para n < 0 e n N. Pode-se então escrever x[n] como: x[n] = k= x f [n + kn] Usando a propriedade do deslocamento no tempo chegamos a: X (e jω ) = k= e jωkn X f (e jω )

74 DTFT para Sinais Periódicos de de Após algum algebrismo chega-se a: X (e jω ) = 2π N k= X (k)δ (ω 2πN ) k, N 1 sendo X (k) = x[n]e j(2π/n)k. n=0 Percebe-se que, para sinais periódicos, a DTFT se transforma numa soma discreta de senoides com frequências múltiplas de 2π/N (chamada por alguns autores de Série de ). A transformada inversa é descrita por: x[n] = 1 π X (e jω )e jωn dω =... = 1 N 1 X (k)e j(2π/n)kn 2π π N k=0

75 de de

76 de de As transformadas estudadas até aqui convertem um sinal no tempo discreto para um domínio contínuo, e por isso não são adequadas para processamento em sistemas digitais. Nesta seção serão apresentadas algumas transformadas que realizam mapeamentos para domínios discretos, por exemplo: - A (DFT - Discrete Transform); - Cossenos (DCT - Discrete Cosine Transform); - Wavelet Discreta (DWT - Discrete Wavelet Transform); - de Karhunen-Loève (KLT - Karhunen-Loève Transform).

77 de de

78 de de Conforme visto anteriormente, a DTFT de um sinal x[n] discreto no tempo e periódico produz uma representação X (e jω ) que é discreta no domínio da frequência. Neste caso, para a obtenção da DTFT consideramos apenas um período de x[n], denominado x f [n]. É possível extrapolar essa abordagem para sinais x f [n] de comprimento finito L, porém não periódicos, escolhendo um sinal x[n] de comprimento N L tal que:. { xf [n], 0 n L 1 x[n] = 0, L n N 1 Ou seja, x[n] tem toda a informação de x f [n] e N L amostras adicionais com valor zero. Quando N = L temos x[n] = x f [n]

79 de de A transformada discreta de (DFT - Discrete Transform) converte uma sequência x[n] no tempo discreto para o domínio da frequência discreta k: N 1 X (e j 2π N k ) = X [k] = x[n]wn kn, 0 k N 1 n=0 A transformada inversa pode ser obtida a partir de: x[n] = 1 N sendo W N = e j2π/n. N 1 X [k]w kn N, 0 n N 1 k=0

80 de de Observa-se da definição da DFT que: - Ela fornece uma representação discreta na frequência para um sinal de comprimento finito L. - Essa representação só é útil se o número N de amostras é maior que L. - A quantidade de amostras da transformada de é igual a N (número de amostras do sinal no domínio do tempo). Nas figuras do próximo slide observa-se o efeito do completamento com zeros (zero-padding). Em (a) temos a DTFT, em (b) a DFT para N = 8 e em (c) a DFT para N = 32. Percebe-se que quanto maior N, melhor a resolução da representação no domínio da frequência.

81

82 Representação da DFT na Forma Matricial As equações que definem a DFT e a IDFT podem ser modificadas para a forma matricial, fazendo inicialmente: de de

83 Representação da DFT na Forma Matricial E finalmente chega-se a: de de

84 Representação da DFT na Forma Matricial Definindo-se: de de e uma matriz W N tal que {W N } ij = W ij N, para 0 i, j N 1, as equações anteriores podem ser reescritas como: X = W N x x = 1 N W NX

85 Representação da DFT na Forma Matricial de de É interessante notar que a matriz W N tem propriedades especiais como: - é simétrica (W T N = W N); - W 1 N = 1 N W N. Considerando o custo computacional do cálculo da DFT, pode-se verificar que, para uma DFT de comprimento N são necessárias: - N 2 multiplicações complexas; - N(N 1) adições.

86 Propriedades da DFT de de A seguir serão listadas as principais propriedades da DTFT, que são análogas às da transformada z. => Linearidade: x[n] = a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] X (k) = a 1 X 1 (k) + a 2 X 2 (k) => Reversão no : x[ n] X ( k) => Deslocamento Circular no : x[n + l] W lk N X (k) onde l é inteiro. Diferente da DTFT, a DFT somente é definida no intervalo 0 n N 1, então o deslocamento definido pela propriedade é do tipo circular, conforme indicado na figura a seguir:

87 Propriedades da DFT Onde temos (a) x[n] e (b) x[n 3]. de de => Deslocamento na Frequência: x[n] X (k + l) W ln N => Convolução Circular no : se x[n] e h[n] são periódicas com período N, então: N 1 x[l]h[n l] X (k)h(k) l=0 onde X (k) e H(k) são as DFTs dos sinais de comprimento N correspondentes a um período de x[n e h[n], respectivamente.

88 Propriedades da DFT de de => Teorema de Parseval: N 1 x[n] 2 = 1 N 1 X (k) 2 N n=0 n=0 A energia do sinal no domínio do tempo é igual à energia do sinal no domínio da frequência dividida por N. => Relação entre a DFT e a : A DFT pode ser definida como uma versão amostrada na frequência da DTFT de um sinal no tempo discreto. Como a DTFT pode ser obtida da transformada z fazendo z = e jω, então a DFT pode ser obtida da amostragem da transformada z em ω = 2π N k

89 Estimação Computacional da DFT de de Conforme mostrado anteriormente o cálculo da DFT pela definição requer N 2 multiplicações complexas (ou seja, cresce com o quadrado do comprimento do sinal). Isso limita sua aplicação prática a sinais de pequeno comprimento. Visando contornar essa limitação, foram desenvolvidos algoritmos rápidos para a estimação da DFT, conhecidos genericamente como FFT (Fast Transform). Existem também técnicas alternativas para determinação da DFT como: - WFT (Winograd Transform); - NTT (Number Theoretic Transform).

90 de de

91 de de Considerando a definição matricial da DFT, pode-se generalizar para uma transformada discreta qualquer considerando: X = A N x x = γa T N X sendo A N uma matriz N N tal que: A 1 N = γa T N A definição acima pode ser aplicada para uma grande variedade de transformadas discretas. Percebe-se que a transformação é simplesmente uma mudança de base (ou rotação) em C N, associada a uma multiplicação por um fator escalar γ.

92 de de É possível mostrar também que, os vetores que compõem a matriz A N formam uma base em C N, ou seja, são ortogonais 1. A relação de Parseval pode ser estendida para uma transformada discreta genérica utilizando: X 2 = 1 γ x 2 sendo: v 2 = v, v = v T v a norma do vetor v. Quando γ = 1, a transformada é dita unitária, e isso significa que a energia no domínio transformado é igual à do domínio original. 1 Dois vetores v 1 e v 2 são ortogonais quando v 1, v 2 = 0, o que implica que o angulo formado entre eles é π/2.

93 de de Cossenos

94 Cossenos de de A transformada discreta de cossenos (DCT - Discrete Cosine Transform)de comprimento N de um sinal x[n] pode ser definida a partir de: N 1 C(k) = α(k) x[n] cos sendo: n=0 α(k) = [ π(n + 1/2)k N { 1 N, para k = 0 2 N, para 1 k N 1 ], para 0 k N 1 É interessante observar que a DCT é uma transformada real, pois mapeia um sinal real em coeficientes reais.

95 Cossenos de de A DCT inversa pode ser descrita como: N 1 [ π(n + 1/2)k x[n] = α(k)c(k) cos N k=0 Definindo: [ ] π(n + 1/2)k {C N } kn = α(k) cos N ], para 0 n N 1 então, a forma matricial da DCT pode ser representada por: c = C N x x = C T N X

96 Cossenos de de A DCT apresenta diversas propriedades, entre elas a relação de Parseval: N 1 N 1 C 2 (k) = x 2 [n] k=0 Conforme ilustrado na figura a seguir, quando a DCT é aplicada a sinais como áudio e vídeo (a), a energia do sinal transformado (b) fica concentrada nos primeiros coeficientes: n=0

97 DCT - Aplicações Um sistema de compressão de imagem/vídeo genérico pode ser representado por: de de

98 DCT - Aplicações Efeito da aplicação da DCT eliminando os coeficientes de menor energia. Imagem original (esquerda) imagem no domínio da DCT (direita). de de

99 Reconstrução após Compactação via DCT (a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retenção dos coeficientes após a DCT. de de

100 Reconstrução após Compactação via DCT (a) 100%, (b) 75%, (c) 50% e (d) 25% de retenção dos coeficientes após a DCT. de de

101 Implementação Computacional da DCT de de A DCT é amplamente utilizada em sistemas modernos de compressão de vídeo. Para sua determinação em ambiente computacional pode-se: - utilizar a relação da DCT com a DFT (a partir da fórmula de Euler) e em seguida um algoritmo eficiente para a DFT (Ex. FFT). - Utilizar implementações rápidas e otimizadas para o cálculo da DCT.

102 de de Wavelet

103 Wavelet A transformada wavelet (que em português seria chamada de pequena onda ou ondaleta ), diferente das transformadas de e Cossenos (que são baseadas em funções de duração infinita), realiza a aproximação de sinais através do somatório de versões delocadas, comprimidas e expandidas de funções de curta duração ψ(t), conhecidas como wavelet mãe: de de

104 Wavelet de de A transformada wavelet contínua de um sinal x(t) pode ser definida como: W x(s, u) = x(t) 1 ( ) ψ t u s s Considerando-se a função wavelet chapéu mexicano : ψ(t) = (1 t 2 )e t2 /2, pode-se observar o efeito da aplicação do fator de escala s na figura a seguir:

105 Wavelet de de Uma das principais caraterísticas da transformada wavelet é a possibilidade de explorar simultaneamente os domínios do tempo (através do deslocamento u) e da frequência (através do fator de escala s). A transformada wavelet tem um histórico relativamente recente. Sua popularização ocorreu a partir da década de Entre as aplicações mais difundudas pode-se destacar: codificação de sinais, processamento de imagens e processamento de áudio.

106 Wavelet de de A versão digital da transformada wavelet (conhecida como DWT - Discrete Wavelet Transform) pode ser implementada através de um banco de filtros hierárquicos. A DWT será abordada em detalhes posteriormente (após o estudo dos filtros digitais).

107 de de -

108 - usando o Matlab de de O Matlab possui diversas funções que podem ser utilizadas para cálculo das transformadas discretas. Entre elas podemos destacar: - fft: calcula os coeficientes da DFT de um sinal usando o algoritmo da FFT. - ifft: calcula a IDFT a partir dos coeficientes da DFT. - dct e idct: respectivamente a DCT e a inversa da DCT

109 Exemplo de de Considerando um sinal x(t) = 2 sin(20πt) + sin(100πt) amostrado a 1 khz, calcular sua DFT. Inicialmente deve-se gerar o sinal amostrado x[n]. Para isso é preciso gerar uma base de tempo discreta com período igual a T = 1/1000 s: t=0:.001:1; Em seguida, faz-se: x=2*sin(2*pi*10*t)+sin(2*pi*50*t); A FFT é calculada usando: X=fft(x); Caso seja necessário, pode-se especificar o número (N) de coeficientes da FFT, fazendo: X=fft(x,N);. Se N for maior que o comprimento de x, é realizada a adição de zeros em x e se N for menor, o truncamento.

110 Exemplo de de O algoritmo da FFT do Matlab gera os coeficientes de modo espelhado, ou seja, os coeficientes relativos a ω < 0 aparecem após os relativos a ω > 0, conforme pode-se observar na Figura a seguir obtida pelo comando stem(abs(x)): Caso deseje-se vizualizar apenas ω 0, pode-se plotar somente a primeira metade dos coeficientes de X.

111 Exemplo de de Para uma melhor interpretação do gráfico é interessante gerar uma base de frequências para o eixo x. Uma opção é fazer: fs=1/.001; F=linspace(0,fs/2,length(X)/2); Em seguida o gráfico pode ser plotado e editado usando a sequência de comandos: stem(f,abs(x(1:length(x)/2))/500); set(gca, fontsize,14); xlabel( Frequencia (Hz), fontsize,14); ylabel( Amplitude, fontsize,14) grid

112 Exemplo O resultado final é: de de Amplitude Frequencia (Hz)

113 Bibliografia Consultada de de Na elaboração destes slides foram utilizadas as fontes a seguir: - DINIZ, P. S. R., da SILVA, E. A. B. e LIMA NETTO, S. Processamento Digital de Sinais. Bookman, MITRA, S., Digital Signal Processing, Bookman, WEEKS, M. Processamento Digital de Sinais, LTC, ANTONIOU, A., Digital Signal Processing, McGraw-Hill, KHAYAM, S. A., The Discrete Cosine Transform: Theory and Application, Michigan State University, THEODORIDIS, S. e KOUTROUMBAS, K., Pattern Recognition, Academic Press, Algumas figuras foram retiradas na íntegras das referências acima.