Processamento Digital de Imagem
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- Nina Aragão Gomes
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1 Processamento Digital de Imagem Transformadas Ronaldo de Freitas Zampolo Laboratório de Processamento de Sinais LaPS Instituto de Tecnologia ITEC Universidade Federal do Pará UFPA Setembro de 2009 RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
2 Sumário 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
3 Sumário Transformadas Introdução 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
4 Introdução Transformadas Introdução Transformadas As transformadas, também chamadas de transformação de coordenadas por alguns autores, são transformações lineares aplicadas em sinais, com o objetivo de determinar uma representação de tais sinais que seja mais interessante ou conveniente de acordo com a aplicação pretendida. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
5 Sumário Transformadas Representação de imagens em bases ortogonais 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
6 Representação de imagens em bases ortogonais Transformação linear separável Representação matricial Uma transformação linear separável pode ser representada como segue: A M N = U H M M X M NV N N, onde X é a matriz que representa uma imagem x[m, n]; U e V são operadores unitários que operam nas colunas e nas linhas de X, respectivamente; e A é a transformação unitária de X. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
7 Representação de imagens em bases ortogonais Transformação linear separável Representação matricial Uma transformação linear separável pode ser representada como segue: A M N = U H M M X M NV N N, onde X é a matriz que representa uma imagem x[m, n]; U e V são operadores unitários que operam nas colunas e nas linhas de X, respectivamente; e A é a transformação unitária de X. Caracterísicas de U e V UU H = I M M VV H = I N N, onde I L L é uma matriz identidade de ordem L. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
8 Transformação inversa Transformadas Representação de imagens em bases ortogonais Obtenção de X a partir de sua transformada A U H XV = A ( ) U U H XV V H = UAV H ( UU H) ( X VV H) = UAV H I M M XI N N = UAV H X = UAV H RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
9 Decomposição em imagens-base Representação de imagens em bases ortogonais Matrizes U e V U = [ u 1 u 2 u M ] V = [ v 1 v 2 v N ] onde u i e v i são vetores-coluna de dimensões M 1 e N 1, respectivamente. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
10 Decomposição em imagens-base Representação de imagens em bases ortogonais Imagem x[m, n] X = UAV H a 11 a 12 a 1N v H 1 = [ ] a 21 a 22 a 2N v H u 1 u 2 u M a M1 a M2 a MN vn H M N = a mn u m vn H m=1 n=1 O produto dos vetores u m v H n gera uma imagem de dimensão M N RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
11 Sumário Transformadas Transformada Discreta de Fourier 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
12 Transformada Discreta de Fourier Transformada de Fourier bidimensional Definições X (ω 1, ω 2 ) = N 1 x[m, n] = 1 4π 2 M 1 n=0 m=0 π π π x[m, n]e j(ω 1m+ω 2 n) π X (ω 1, ω 2 )e j(ω 1m+ω 2 n) dω 1 dω 2 onde X (ω 1, ω 2 ) é a transformada de Fourier bidimensional; ω 1 e ω 2 representam as frequências associadas a m e n. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
13 Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier Definições X (u, v) = 1 NM x[m, n] = N 1 N 1 v=0 u=0 M 1 n=0 m=0 M 1 x[m, n]e j2π(um/m+vn/n) X (u, v)e j2π(um/m+vn/n) onde X (u, v) é a transformada discreta de Fourier em duas dimensões; u e v são índices para frequências discretizadas. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
14 Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier Matrizes U e V [ U = [U mu ] = V = [V nv ] = [e e j2π um M j2π vn N ] ] RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
15 Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier Exemplo 01: Cameraman e o módulo da Transformada de Fourier RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
16 Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
17 Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
18 Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
19 Exercícios Transformadas Transformada Discreta de Fourier Determine a fft e exiba os módulos correspondentes das seguintes respostas ao impulso: 1 h[m, n] = [ 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 ] 2 h[m, n] = [ 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 ] T { k, m [1, 5] e n [1, 5] 3 h[m, n] = 0, em outro caso m,n h[m, n] = 1 Filtre a imagem cameraman usando os filtros LI de resposta ao impulso h[m, n] (abaixo). Para cada imagem resultante, calcule a fft e exiba o módulo da transformada. Resposta ao { impulso: k, m [1, M] e n [1, M] h[m, n] = 0, em outro caso 1 M = 3; 2 M = 7; 3 M = 11; com m,n h[m, n] = 1 RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
20 Sumário Transformadas Transformada Discreta do Cosseno 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
21 Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Cosseno Definições 4 X (u, v) =α(u)α(v) NM N 1 M 1 n=0 m=0 [ ] πu(m + 0.5) x[m, n] cos M [ ] πv(n + 0.5) cos N onde α(k) = { 1/ 2, para k = 0 1, em outro caso RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
22 Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Cosseno Matrizes U e V [ ] 2 πu(m + 0.5) U = [U mu ] = α(u) M cos M [ ] 2 πv(n + 0.5) V = [V nv ] = α(v) N cos N RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
23 Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Cosseno Exemplo 01: Cameraman e DCT RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
24 Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Cosseno Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
25 Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Cosseno Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
26 Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Cosseno Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
27 Exercícios Transformadas Transformada Discreta do Cosseno A etapa inicial de um codificador JPEG consiste na divisão de uma imagem em blocos de dimensão 8 8, seguida do cálculo da DCT desses blocos. Implemente tal etapa inicial. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
28 Sumário Transformadas Transformada Discreta do Seno 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
29 Transformada Discreta do Seno Transformada Discreta do Seno Definições X (u, v) = 4 (N + 1)(M + 1) N 1 M 1 n=0 m=0 [ ] π(u + 1)(m + 1) x[m, n] sin M + 1 [ ] π(v + 1)(n + 1) sin N + 1 RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
30 Transformada Discreta do Seno Transformada Discreta do Seno Matrizes U e V [ ] 2 π(u + 1)(m + 1) U = [U mu ] = M + 1 sin M + 1 [ ] 2 π(v + 1)(n + 1) V = [V nv ] = N + 1 sin N + 1 RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
31 Transformada Discreta do Seno Transformada Discreta do Seno Exemplo 01: Cameraman e DST RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
32 Transformada Discreta do Seno Transformada Discreta do Seno Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
33 Transformada Discreta do Seno Transformada Discreta do Seno Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
34 Transformada Discreta do Seno Transformada Discreta do Seno Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
35 Transformada Discreta do Seno Exercícios Calcule a DST da imagem lena. Quanto, em termos percentuais, da energia total da DST encontra-se na componente DC (primeiro elemento da matriz de coeficientes)? Qual o número mínimo de coeficientes da DST calculada necessário para se ter pelo menos 90% da energia total? (Dica: da matriz de coeficientes da DST, forme um vetor ordenado de acordo os valores ao quadrado dos elementos da referida matriz) RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
36 Sumário Transformadas Transformada de Karhunen-Loève 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
37 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Definições X = UAV H onde A 2 é uma matriz diagonal formada pelos autovalores da matriz XX H. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
38 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Definições X = UAV H onde A 2 é uma matriz diagonal formada pelos autovalores da matriz XX H. Matrizes U e V Os vetores-coluna que formam a matriz U são os autovetores de XX H, bem como os vetores-coluna que formam a matriz V são os autovetores de X H X RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
39 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Autovetores e autovalores Considere uma transformação linear caracterizada pela matriz T aplicada em um vetor x i. Se a igualdade T x i = λ i x i for verdadeira, x i e λ i são chamados de autovetor e autovalor da transformação linear T, respectivamente. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
40 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Exemplo 01: Cameraman e KLT RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
41 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
42 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
43 Transformada de Karhunen-Loève Transformada de Karhunen-Loève Exemplo 02: Reconstrução usando parte dos coeficientes RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
44 Exercícios Transformadas Transformada de Karhunen-Loève Obtenha as matrizes U e V da KLT para uma determinada imagem e ache a matriz de coeficientes correspondente. Agora, encontre uma imagem de características similares às da primeira imagem e utilize as matrizes U e V da KLT da primeira imagem para achar a matriz de coeficientes da segunda imagem.compare as matrizes de coeficientes. RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
45 Sumário Transformadas Transformada Wavelet 1 Transformadas Introdução Representação de imagens em bases ortogonais Transformada Discreta de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Discreta do Seno Transformada de Karhunen-Loève Transformada Wavelet RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
46 Transformada Wavelet Transformadas Transformada Wavelet Análise RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
47 Transformada Wavelet Transformadas Transformada Wavelet Exemplo de filtros (Análise) h[n] = [ 1/8 1/4 3/4 1/4 1/8 ] g[n] = [ 1/2 1 1/2 ] RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
48 Transformada Wavelet Transformadas Transformada Wavelet Exemplo 01: Cameraman e DWT RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
49 Transformada Wavelet Transformadas Transformada Wavelet Exemplo de filtros (Síntese) h[n] = [ 1/2 1 1/2 ] g[n] = [ 1/8 1/4 3/4 1/4 1/8 ] RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
50 Transformada Discreta Wavelet Transformada Wavelet Exemplo 02: Reconstrução usando sub-bandas LL e (LL+LH) RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
51 Transformada Discreta Wavelet Transformada Wavelet Exemplo 02: Reconstrução usando sub-bandas (LL+LH+HL) e (LL+LH+HL+HH) RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
52 Transformada Wavelet Transformadas Transformada Wavelet Composição de filtros h[n] h[n] + g[n] g[n] RFZampolo (LaPS/ITEC/UFPA) Processamento Digital de Imagem Setembro/ / 50
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