Transformada Discreta de Fourier (DFT)

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1 Transformada Discreta de Fourier DFT) Processamento de Sinais 5/6 Engenharia Aeroespacial Sinais periódicos Seja x[n] um sinal periódico com período x[n + r] = x[n] para r Z) O sinal x[n] é determinado a partir das suas primeiras amostras: x[n] = m= x[m] p [n m] p [n] é um trem de Diracs espaçados de unidades: p [n] = + r= δ[n r] PSfrag replacements Exemplo p [n] para = 4: n

2 Sinais periódicos O sinal periódico p [n] pode ser representado na forma p [n] = k= W kn, com W = e j π. Prova: k= W kn = k= W n) k = W n W n, se W n, se W n = Mas, W n Logo: = e j π n) = e W n W kn = k= = ej π n = n = r r Z). + r= δ[n r] = p [n] Sinais periódicos Inserindo a representação de p [n] da pág. na expressão de x[n] da pág. : x[n] = = m= m= = x[m] p [n m] x[m] k= m= k= x[m] W km } {{ } X[k] W kn m) W kn ) O sinal X[k] também é periódico com período ) 4

3 Série de Fourier Discreta DFS) A DFS associa uma sequência periódica período ) x[n] n Z) a uma sequência periódica período ) X[k] k Z): X[k] = x[n] = n= x[n]w kn k= X[k]W kn [Análise] [Síntese] otações: x[n] DFS X[k], { } X[k] = DFS { x[n]}, x[n] = DFS X[k] Interpretações: [Síntese] x[n] é uma sobreposição linear finita) de sinusóides complexas [Análise] X[k] mede a importância da frequência ω k = k π no sinal x[n] k =,,..., ) 5 Propriedades da DFS Linearidade: x [n], x [n] têm período x [n] DFS X [k] x [n] DFS X [k] α, α C α x [n] + α x [n] DFS α X [k] + α X [k] Deslocamento no tempo: x[n] tem período x[n] DFS X[k] x[n n ] DFS W kn X[k] n Z) 6

4 Propriedades da DFS Deslocamento na frequência: x[n] tem período x[n] DFS X[k] W k n x[n] DFS X[k k ] k Z) Dualidade: x[n] tem período x[n] DFS X[k] DFS X[n] x[ k] 7 Propriedades da DFS Convolução periódica: x[n], h[n] têm período x[n] DFS X[k] h[n] DFS H[k] m= h[m] x[n m] }{{} x h)[n] DFS X[k] H[k] Multiplicação no tempo: x[n], h[n] têm período x[n] DFS X[k] h[n] DFS H[k] x[n] h[n] DFS H[l] X[k l] l= }{{} X H)[k] 8

5 Relação entre a DFS e a TF: sinais periódicos Seja x[n] um sinal periódico com período Questão: qual a relação entre a sua TF Xe jω ) e a sua DFS X[k]? Intuitivamente, ambas devem conter a mesma informação representação espectral de x[n]) 9 Relação entre a DFS e a TF: sinais periódicos Cálculo da TF Xe jω ): dado que x[n] = m= x[m] p [n m] temos Xe jω ) = = m= m= = π = π x[m]e jωm P e jω ) x[m]e jωm π m= + x[m] k= m= + k= + k= δ ω k π ) ) e jωm δ ω k π ) }{{} ) e j π km δ x[m]w km } {{ } X[k] ω k π δ ω k π )

6 Relação entre a DFS e a TF: sinais periódicos Conclusão: os coeficientes DFS X[k] correspondem a menos do factor π ) às amplitudes dos Diracs equi-espaçados de π rad/s) da TF Xe jω ) PSfrag replacements Exemplo = ): representação de Xe jω ) π X[] π X[4] π X[ ] π X[] π X[] π X[] π ω Relação entre a DFS e a TF: sinais com duração finita Seja x[n] um sinal de comprimento x[n] = fora do intervalo n ) Seja x[n] a sua extensão periódica: x[n] = x p )[n] = + r= x[n r] Exemplo = ): PSfrag replacements x[n] x[n] n n Questão: qual a relação entre a TF Xe jω ) e a DFS X[k]?

7 Relação entre a DFS e a TF: sinais com duração finita Cálculo da TF Xe jω ): dado que x[n] = x p )[n] temos Xe jω ) = Xe jω ) P e jω ) = Xe jω π ) = π = π + k= + k= + k= Xe jω )δ X δ ω k π ) ) ω k π ) ) e jk π δ ω k π ) Comparando com a representação de Xe jω ) na pág., resulta: ) X[k] = X e jk π Relação entre a DFS e a TF: sinais com duração finita Conclusão: os coeficientes DFS X[k] da extensão periódica de x[n] são amostras da TF Xe jω ) tomadas ao longo do círculo unitário e equi-espaçadas de π rad Exemplo = 8): PSfrag replacements k =..., 5,,,... k =..., 4, 4,,... k =..., 6,,,... k =..., 7,, 9,... π k =..., 8,, 8,... k =...,, 5,,... k =...,, 7, 5,... k =...,, 6, 4,... 4

8 Relação entre a DFS e a TF: sinais gerais Seja x[n] um sinal genérico e Xe jω ) a sua TF. Defina-se o sinal periódico ) X[k] = X e jk π, para k Z. ota: X[k] tem período { } Questão: qual a relação entre x[n] = DFS X[k] e o sinal x[n]? Já sabemos a resposta se x[n] tiver duração finita com comprimento inferior ou igual a x[n] é a extensão periódica de x[n]) 5 Relação entre a DFS e a TF: sinais gerais Cálculo de x[n]: x[n] = = = pág.) = k= X k= + k= m= X[k]W kn ) e jk π W kn + x[m] = x p )[n] = + r= m= x[n r] x[m]e jk π m ) W kn m) k= }{{} p [n m] W kn 6

9 Relação entre a DFS e a TF: sinais gerais Conclusão: x[n] é uma soma de réplicas de x[n] espaçadas de amostras) Consequências: se x[n] tem duração finita com comprimento menor ou igual a, então x[n] é recuperável a partir de x[n] x[n] equivale a um período de x[n]) se a duração de x[n] excede amostras, então existe aliasing em x[n] e x[n] não é em geral) recuperável a partir de x[n] se x[n] tem duração finita, evita-se aliasing escolhendo suficientemente elevado Essencialmente, estamos perante o Teorema da Amostragem na frequência 7 Transformada Discreta de Fourier DFT) A DFT associa um sinal com duração finita x[n] n =,,..., ) a um sinal com duração finita X[k] k =,,..., ): X[k] = x[n] = n= x[n]w kn k= X[k]W kn [Análise] [Síntese] otações: x[n] DFT X[k], X[k] = DFT {x[n]}, x[n] = DFT {X[k]} Interpretações: [Síntese] x[n] é uma sobreposição linear finita) de sinusóides complexas com duração finita) [Análise] X[k] mede a importância da frequência ω k = k π no sinal x[n] 8

10 Relação entre a DFT e a DFS Seja x[n] um sinal de comprimento e x[n] = x p )[n] a sua extensão periódica O sinal x[n] também pode ser representado por x[n] = x[ n ] n = n mod exemplos: PSfrag =, replacements =, =, =, =, =, =, 4 = Relação entre DFT e DFS: x[n] DFT X[k] truncagem período truncagem período x[n] extensão periódica DFS X[k] extensão periódica 9 Propriedades da DFT Linearidade: x [n] tem comprimento x [n] tem comprimento max{, } x [n] DFT X [k] pontos) x [n] DFT X [k] pontos) α, α C α x [n] + α x [n] DFT α X [k] + α X [k] pontos) Deslocamento circular: x[n] tem comprimento x[n] DFT X[k] x[ n n ] DFT W kn X[k] n Z)

11 Propriedades da DFT Exemplo de deslocamento circular = 4): x[n] x[ n 4 ] PSfrag replacements n x[ n 4 ] x[ n + 4 ] n n n Propriedades da DFT Deslocamento na frequência: x[n] tem comprimento x[n] DFT X[k] W k n x[n] DFT X[ k k ] k Z) Dualidade: x[n] tem comprimento x[n] DFT X[k] X[n] DFT x[ k ]

12 Propriedades da DFT Convolução circular: x[n], h[n] têm comprimento x[n] DFT X[k] h[n] DFT H[k] m= h[m]x[ n m ] } {{ } x h)[n] DFT X[k]H[k] Multiplicação no tempo: x[n], h[n] têm comprimento x[n] DFT X[k] h[n] DFT H[k] x[n]h[n] DFT H[l]X[ k l ] l= }{{} X H)[k] Relação entre a DFT e a TF: sinais com duração finita Seja x[n] um sinal de comprimento x[n] = fora do intervalo n ) Questão: qual a relação entre a TF Xe jω ) e a DFT X[k]? Temos: X[k] = n= x[n]w kn = + n= x[n]w kn = + n= x[n]e jk π n = Xe jω ) ω=k π Conclusão: os coeficientes DFT X[k] são amostras da TF Xe jω ) tomadas ao longo do círculo unitário e equi-espaçadas de π rad 4

13 Relação entre a DFT e a TF: sinais gerais Seja x[n] um sinal genérico e Xe jω ) a sua TF. Defina-se o sinal com duração finita X [k] = Xe jω ) ω=k π, para k =,,...,. Questão: qual a relação entre x [n] = DFT {X [k]} e o sinal x[n]? Já sabemos a resposta se x[n] tiver duração finita com comprimento inferior ou igual a x [n] = x[n]) Resposta: usando o diagrama da pág. 9 e o resultado da pág. 7 x [n] = + r= x[n r], para n =,,...,. 5 Convolução linear e circular Seja x[n] um sinal de comprimento L e h[n] um sinal de comprimento P x[n] = fora do intervalo n L e h[n] = fora do intervalo n P ) Seja y[n] = x h)[n] a convolução linear de x[n] e h[n] nota: y[n] tem comprimento L + P ) Escolha-se max{p, L} e defina-se a convolução circular y [n] = x h)[n] Questão: qual a relação entre y[n] e y [n]? Motivação: existem algoritmos muito eficientes para o cálculo de y [n] 6

14 Convolução linear e circular otar que Y [k] = DFT {y [n]} = X[k]H[k] = Xe jω )He jω ) = Y e jω ) ω=k π ω=k π Usando agora o resultado da pág. 5 temos y [n] = DFT {Y [k]} = + r= y[n r] Conclusões: muito importante!) se L + P então x h)[n] = x h)[n] para n =,,..., se = L P então x h)[n] = x h)[n] para n = P, P +,..., 7 Convolução linear e circular Seja x[n] um sinal de comprimento L e h[n] um sinal de comprimento P x[n] = fora do intervalo n L e h[n] = fora do intervalo n P ) Escolhendo P + L a convolução linear y[n] = x h)[n] pode ser calculada da seguinte forma: calcular a DFT de pontos de x[n]: X[k] = DFT {x[n]} calcular a DFT de pontos de h[n]: H[k] = DFT {h[n]} multiplicação na frequência: Y [k] = X[k]H[k], k =,,..., inversão da DFT: y[n] = DFT {Y [k]}, n =,,..., Existem algoritmos muito eficientes para calcular DFT { } e DFT { } Quando L P ou L = + ) existem alternativas: overlap-add e overlap-save 8

15 Overlap-add O método overlap-add: interpreta x[n] como a concatenação de blocos disjuntos de M amostras: x[n] = L/M r= x r [n rm] onde x r [n] é um bloco sinal) de comprimento M calcula cada convolução y r [n] = x r h)[n] pelo método da pág. 8 combina os resultados parciais para obter y[n] = x h)[n] = L/M r= y r [n rm] 9 Overlap-add Exemplo: o sinal h[n] tem comprimento P = e é dado por h[] =, h[] =, h[] = o sinal x[n] ver pág. ) tem comprimento L = 8 escolhe-se M = 6 resulta M + P = 8 neste exemplo, toma-se = 8)

16 Overlap-add x[n] x [n] x [n] x [n] PSfrag replacements Overlap-add 6 4 y [n] y [n M] y [n M] 6 y[n] PSfrag replacements