Análise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física

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1 Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide 1 Slide 1 Tópicos: Representação de Sinais por Funções Discretas no Tempo: Transformada de Z Introdução A Transformada de Z Propriedades da Transformada de Z Função de Transferência Causalidade e Estabilidade Slide 2 Slide 2 1

2 Introdução : A transformada de Z permite a caracterização de SLITs discretos no tempo e é especialmente adequada para analisar sistemas que envolvam sinais discretos no tempo que não sejam absolutamente integráveis. A transformada de Z, em semelhança à DTFT, possui um conjunto de propriedades que são úteis na análise de sinais e SLITs. Caracterizando um SLIT usando a transformada de Z, a saída de um sistema resulta da multiplicação da transformada de Z do sinal de entrada pela transformada de Z da resposta a impulso do sistema. A transformada de Z é expressa de duas formas: Unilateral adequada para obter soluções de equações de diferenças com condições iniciais. Bilateral adequada para análise de estabilidade, causalidade e resposta em frequência de sistemas discretos. A transformada de Z permite caracterizar funções próprias de um sistema. As funções são exponenciais complexas discretas no tempo. Em análise de SLITs uma função própria corresponde a um sinal aplicado à entrada de um sistema que gera um sinal de saída correspondente à entrada, mas modificado por um escalar. Slide 3 Slide 3 Se é um complexo que pode caracterizar um sinal com uma exponencial complexa através de A [ ] = z n = r n cos( Ωn) + jr n sin( Ωn) x n é um co-seno exponencialmente amortecido x[ n] = z n A é um seno exponencialmente amortecido Em ambos os casos um valor de determina o factor de amortecimento. Com o sinal é uma sinusóide. Slide Slide 4 4 2

3 A função própria Considerando um SLIT com resposta a impulso aplicado um sinal de entrada [ ] = H{ x[ n] } = h[ n] x[ n] = h k y n y n Definindo a função de transferência [ ]x[ n k] k= [ ]z n k = z n h[ k]z k [ ] = h k k= y[ n] = H{ r n } = H( z) z n H z k= ( ) = h k k= e ao qual é [ ]z k Podendo ser expresso por y n Valor Próprio Função Própria [ ] = H( z) e jφ z Slide 5 Slide 5 ( ) z n Sendo Como y[ n] = H re jω y[ n] = H( z) e jφ ( z) z n podemos reescrever a equação { ( ) + j sin( nω + φ( re jω ))} ( ) r n cos nω + φ( re jω ) O sinal de saída corresponde ao sinal de entrada - Alterado em amplitude e fase - Não é alterada a frequência do sinal, nem o factor de amortecimento Slide 6 Slide 6 3

4 Representação da Transformada: H z ( ) = h k k= O sinal corresponde à DTFT do sinal. A DTFT inversa é h[ n]r n = 1 2π [ ]z k π π H re jω H( re jω )e jωn dω ( ) = h[ n] ( re jω ) n = n= h[ n]r n Sendo a integração só em, o valor de pode ser considerado constante e pois Como varia de a, o valor de descreve um círculo h[ n] = 1 2πj H( z)z n 1 dz h[ n] = 1 2π π π n= ( h[ n]r n )e jωn H( re jω )( re jω ) n dω Slide 7 Slide 7 Representação da Transformada: Considerando um sinal genérico H z ( ) = h k k= [ ]z k X z a transformada de Z vem ( ) = x n n= [ ]z n Sendo a sua inversa dada por h[ n] = 1 2πj H( z)z n 1 dz x[ n] = 1 2πj X( z)z n 1 dz Podendo ser este par expresso por Par da Transformada z Slide 8 Slide 8 [ ] x n X( z) 4

5 Convergência: A condição necessária para a convergência da transformada de Z é a convergência do somatório Sendo A gama de valores de para a qual a transformada-z converge designa-se região de convergência (ROC). DTFS não convergente ( ) = x n X z n= [ ]z n x[ n]z n = x[ n]r n então a condição vem expressa por x[ n]r n < n= Transformada-Z é convergente Vantagem! Slide 9 Slide 9 Plano complexo (plano-z): X( e jω ) = X( z) z= e jω Se a transformada-z é convergente então a transformada de Fourier discreta DTFT corresponde à transformada-z com (no plano-z corresponde ao círculo unitário). O círculo unitário segmenta o plano-z em duas partes (interior ao círculo e exterior ao círculo). A existência de pólos ou zeros numa destas partes é importante para a análise do comportamento do sistema Slide 10 Slide 10 5

6 Polos e Zeros no plano-s: Zero A razão entre dois polinómios em é a forma mais comum da transformada-z. X( s) = b M z M + + b 1 z 1 + b 0 = a N z N + + a 1 z 1 + a 0 Pólo X( z) = b M z M + + b 1 z 1 + b 0 a N z N + + a 1 z 1 + a 0 N b M 1 c k z k=1( 1 ) 1 d k z k=1( 1 ) Zeros Pólos Slide 11 Slide 11 Exemplo: Transformada-Z e um DTFT X z Determine a transformada-z do sinal Use a transformada-z para determinar a DTFT ( ) = x n n= [ ]z n Substituindo os valores obtemos A DTFT é obtida pela substituição Slide 12 Slide 12 6

7 Exemplo: Transformada-Z e um Sinal Exponencial Determine a transformada-z do sinal respectiva região de convergência (ROC). Substituindo os valores e defina a obtemos Esta série converge se Slide 13 Slide 13 Exemplo: Transformada-Z e um Sinal Determine a transformada-z do sinal respectiva região de convergência (ROC). Substituindo os valores e defina a obtemos Esta série converge se Slide 14 Slide 14 7

8 Exemplo: Transformada-Z e um Sinal Determine a transformada-z do sinal respectiva região de convergência (ROC). Substituindo os valores e defina a obtemos Esta série converge se Slide 15 Slide /09 Dias Jorge Dias 2006/07 Jorge Transformadas de Z de um Sinal Slide 16 Slide /09 Dias Jorge Dias 2006/07 Jorge 8

9 Transformada de Z: As propriedades da transformada-z Sendo As propriedades são similares às das transformada DTFT sendo uma das várias propriedades a da linearidade e a convolução Notar que a região de convergência (ROC) de um sinal composto por vários sinais pode ser maior que a intercepção das regiões de convergência (ROC) de cada sinal individual se os pólos e os zeros se cancelam na adição. Slide 17 Slide /09 Dias Jorge Dias 2006/07 Jorge Slide 18 Slide /09 Dias Jorge Dias 2006/07 Jorge 9

10 Transformada de Z: Exemplo: Aplicação de Propriedades Determinar a transformada-z do sinal Tendo em conta que Sendo é um real positivo. Reescrevendo obtemos Slide 19 Slide 19 Transformada de Z: Exemplo: Cancelamento de Zeros e Pólos Considerando Determinar a transformada-z do sinal Os sinais têm as seguintes ROC se Slide 20 Slide 20 10

11 Transformada de Z: Exemplo: Cancelamento de Zeros e Pólos Sendo O zero em cancela o pólo em Dando origem ao seguinte sinal Que equivale a um alargamento da zona de convergência (ROC) Slide 21 Slide /07 Jorge 2008/09 Dias Jorge Dias Transformada de Z: Transformada -Z Inversa Sendo a transformada-z expressa pela razão de dois polinómios em com podemos inverte-la utilizando Ou o par exterior à circunferência Ou o par interior à circunferência A ROC associada com exterior determina a escolha do par interior ou Slide 22 Slide 22 11

12 Transformada de Z: Exemplo: Transformada Inversa Considerando o sinal calcule a sua inversa da transformada de Z. Usando a expansão em fracções parciais e cuja região de convergência é Slide 23 Slide 23 Transformada de Z: Exemplo: Transformada Inversa e cuja região de convergência é Combinando todos os termos Slide 24 Slide 24 12

13 A Função de Transferência : A saída de um SLIT está relacionada com o sinal à entrada do sistema pela convolução da resposta a impulso com o sinal de entrada A função de transferência corresponde à razão entre a transformada-z do sinal de saída e a transformada-z do sinal de entrada. Esta definição aplica-se para valores de z em que Mas sabemos que sendo uma função própria de um SLIT Então o que permite determinar a função transferência mais facilmente. Slide 25 Slide 25 A Função de Transferência : Exemplo: Identificação Um Sistema (Designa-se identificação ao processo que permite expressar analiticamente o sinal de saída de um sistema em função de um sinal de entrada.) Sendo a entrada de um SLIT e a sua saída dada por Determinar a função de transferência e a resposta a impulso do sistema. A transformada-z do sinal de entrada e do sinal de saída são Slide 26 Slide 26 13

14 A Função de Transferência : Exemplo: Identificação Um Sistema Sendo a função de transferência dada por ( ) = Y( z) X( z) = z 1 H z ( ( )z 1 ) ( )z 1 ( )( ) = 2 1+ z ( 1 3)z 1 Expansão em fracções parciais A transformada inversa tem a resposta a impulso dada por h[ n] = 2( 1) n u[ n] + 2( 1 3) n u[ n] Slide 27 Slide 27 A Função de Transferência : Considerando uma equação de diferenças que relaciona a entrada com a saída Se então a saída de um SLIT é. O que permite substituir e. Podendo exprimir a função de transferência por Slide 28 Slide 28 14

15 A Função de Transferência : Exemplo: Função Transferência de Um Sistema Considerando a equação de diferenças Determine a sua função de transferência. Usando a expressão Aplicando a transformada-z inversa obtemos a resposta a impulso Slide 29 Slide 29 Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema. Sistema Causal: Se o sistema é causal então a sua resposta a impulso é zero para. Um pólo em do circulo interior do plano-z contribui para um decaimento exponencial da resposta a impulso. Um pólo em do circulo exterior do plano-z contribui para um crescimento exponencial da resposta a impulso. Slide 30 Slide 30 15

16 Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema. Sistema Estável: Se um sistema é estável então a resposta a impulso é possível somar e isso implica que exista transformada de DTFT. Logo o circulo unitário deverá estar incluído na região de convergência (ROC). Termo para Uma resposta a impulso estável (o somatório é convergente) não poderá conter termos exponenciais absolutamente crescentes. Slide 31 Slide 31 Causalidade e Estabilidade: A localização dos pólos plano-z permitem analisar a resposta a impulso de um sistema. Os SLIT discretos são estáveis e causais se todos os seus pólos estão interior do circulo unitário do plano-z. Slide 32 Slide 32 16

17 A Função de Transferência : Exemplo: Causalidade e Estabilidade Considerando um sistema SLIT que se expressa pela seguinte função de transferência Determine a resposta a impulso assumindo que o sistema é estável (a) ou causal (b). Este sistema pode ser estável e causal? Pressuposto SISTEMA ESTÁVEL O sistema tem pólos no interior e exterior do circulo unitário. Para o sistema ser estável deverá incluir o circulo unitário. Assumindo que o sistema é estável obtemos a resposta a impulso Slide 33 Slide 33 A Função de Transferência : Exemplo: Causalidade e Estabilidade Pressuposto SISTEMA CAUSAL Neste pressuposto a resposta a impulso obedece à restrição A resposta a impulso é dada por O SLIT não pode ser simultaneamente estável e causal porque tem um pólo exterior ao circulo unitário. Slide 34 Slide 34 17

18 Sumário o Introdução o A Transformada de Z o Propriedades da Transformada de Z o Função de Transferência o Causalidade e Estabilidade Slide 35 Slide 35 18