Capítulo 7 Transformadas de Fourier. definimos a sua transformada de Fourier

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1 Capítulo 7 Transformadas de Fourier Dada uma função definimos a sua transformada de Fourier A constante multiplicativa em (1),, é um valor arbitrário. Há autores que escolhem. Mas é muito importante lembrar que a escolha do valor de está relacionada com o valor da constante multiplicativa da transformada de Fourier inversa. A escolha de na equação (1) faz com que a constante multiplicativa da transformada de Fourier inversa tenha o mesmo valor (sendo, portanto, mais fácil de lembrar). Na exponencial, o expoente é obviamente adimensional. Assim se for distância (por exemplo, em metros), então terá dimensão de vetor de onda (1/metro), se for tempo (por exemplo, segundos), então terá dimensão de frequência (hertz = 1/segundo), etc. Uma transformada de Fourier fundamental é a que gera a função Delta de Dirac. Para verificar que a equação (2) reproduz, de fato, as propriedades conhecidas da Delta de Dirac, analisemos a função Claro, no limite a equação (3) converge para (2). 1

2 A equação (4) é exatamente a sequência delta de número (2) que estudamos nos Capítulo 6 (veja notas de aula). Transformada de Fourier Inversa Vamos multiplicar (1) por e integrar em da equação(2) temos Logo, Ou seja, a transformada de Fourier inversa é Observe que a escolha da constante multiplicativa fez com que tanto a transformada de Fourier (1) quanto a sua inversa (5) tenham o mesmo fator. Exemplos 1) Função Gaussiana A transformada de Fourier será Podemos completar o quadrado no expoente, isto é, Donde, 2

3 Então, Mas, Logo, Ou seja, a transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana. As larguras dessas gaussianas no espaço direto e no espaço de Fourier são opostas. Associado a essa propriedade matemática da transformada de Fourier da gaussiana, está o Princípio de Incerteza de Heisenberg uma boa localização de uma partícula quântica implica numa péssima determinação do seu momento e vice-versa. 2) A transformada de Fourier vale Vamos utilizar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral acima. Há 2 polos simples em. 3

4 Fazendo e usando o semicírculo como curva fechada no plano complexo z, temos que analisar em que condições a semicircunferência de raio zera quando. Fechando a semicircunferência por cima, envolverá apenas o polo e teremos, obrigatoriamente,. O resultado será Fechando a semicircunferência por baixo, envolverá apenas o polo e teremos, obrigatoriamente,. O resultado será Se, temos. Logo, 3) Considere a função retangular A transformada de Fourier será 4

5 Propriedades das Transformadas de Fourier A definição (com a notação também comumente adotada ) pressupõe que a integral exista, convirja. Uma condição suficiente, mas não necessária, é a convergência absoluta da integral Uma regra geral para a convergência da Transformada de Fourier é quando. 1) Em geral, a função será complexa. Vamos supor. Então, e a) Se é par, então é real pois b) Se é ímpar, então é imaginário puro pois A exponencial é muitas vezes chamada de núcleo da transformação. Na Transformada de Laplace esse núcleo é, na Transformada de Mellin o núcleo é, na Transformada de Abel o núcleo é, na Transformada de Hilbert o núcleo é, etc.. 2) Propriedade de Amortecimento pois Observe que pode acontecer de existir, mas não existir. 5

6 3) Propriedade do Deslocamento pois 4) Propriedade da Derivada pois em geral Segundo teorema de Parseval Sejam as funções e e suas transformadas de Fourier Calculemos Logo, vale o 2º. teorema de Parseval Primeiro teorema de Parseval É (ironicamente) consequência direta do 2º. teorema de Parseval. Faça em (9), e assuma que seja real. Então. Daí, segue o 1º. teorema de Parseval 6

7 Convergência da Transformada de Fourier Em geral, para a existência da Transformada de Fourier, restringimos as funções às funções admissíveis definidas abaixo Convolução Definimos a convolução de com como a nova função A convolução é comutativa, pois A Transformada de Fourier da convolução é igual ao produto das transformadas, isto é, Mudando para a variável, e fazendo primeiro a integral em (portanto, nessa ordem é constante e, e tem os mesmo limites de integração de ) Ou seja, O Caminho Aleatório (Random Walk) em 1 Dimensão Suponha que uma pessoa muito alcoolizada caminha ao longo de uma reta. (Ok, todos sabemos que andar ao longo de uma reta é exatamente o que um bêbado não faz, e que esse era um dos testes de comprovação do estado alcoolizado, antes do advento do bafômetro; mas, faremos assim mesmo essa hipótese para simplificar o problema). Vamos supor que a reta esteja contida no plano horizontal para eliminar o efeito da gravidade sobre o bêbado. Dessa maneira, o bêbado dará um passo para a frente ou para trás com igual probabilidade. 7

8 Suponha que o bêbado dê passos e que seja a probabilidade de dar um passo de tamanho, com a origem do sistema de coordenadas sobre o bêbado. - Se o bêbado está inicialmente na origem, dá um primeiro passo e vai para a posição (dando um passo de tamanho ), ao dar seu segundo passo, a partir da posição, a nova posição do bêbado será (dando o seu 2º. passo com tamanho ),. Supondo que durante a caminhada o bêbado não fique sóbrio e que ele não faz a menor ideia se o passo anterior havia sido dado para frente ou para trás (descorrelação dos passos, eventos independentes), teremos que a probabilidade de encontrar o bêbado na posição após passos terá que somar (integrar já que é variável contínua) sobre todos os possíveis valores que é proporcional à convolução de funções. Logo, Ou seja, Em resumo, para obter basta calcular a transformada de Fourier de, elevar a N-ésima potência e determinar a transformada de Fourier inversa do resultado. As funções que mantém com a mesma dependência funcional de são chamadas funções ou distribuições de Lévy. Exemplos particulares de distribuições de Lévy são as Gaussianas ( ) e as Lorentzianas ( ). 8

9 Transformada de Fourier na solução de Equações Diferenciais Seja um corpo de massa, preso a uma mola de constante, se movendo horizontalmente num líquido com constante de amortecimento e sob a ação de uma força externa dependente do tempo. A 2ª.Lei de Newton para a posição do corpo como função do tempo, se escreve Dividindo tudo por e definindo: temos Definindo: e Aplicando a transformada de Fourier em ambos os membros de (13) e usando a equação (8) teremos ou seja, Logo, a solução que buscávamos pode ser obtida da integral abaixo 9

10 Fourier Cosseno Se é par então Mas, Logo, Definimos transformada de Fourier Cosseno E a inversa Fourier Seno Se é ímpar então Mas, Logo, Definimos transformada de Fourier Seno (usamos a arbitrariedade da constante multiplicativa) E a inversa 10