Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por V L = L d i e entre os pontos C e D da d.d.p. no capacitor é dada por V L V C = 0

Transcrição

1 Um circuito elétrico LC é composto por um indutor de mh e um capacitor de 0,8 μf. A carga inicial do capacitor é de 5 μc e a corrente no circuito é nula, determine: a) A variação da carga no capacitor; b) A variação da corrente no circuito; c) Calcule a energia total armazenada no circuito; d) O gráfico da variação da carga q em função do tempo t. Dados do problema indutor: L = mh =.10 3 H ; capacitor: C = 0,8 F = F ; carga inicial no capacitor (t = 0): q 0 = 5 C = 5.10 C ; corrente inicial no circuito (t = 0): i 0 = 0. Esquema do problema Admitimos que inicialmente o capacitor está carregado com carga máxima ( q máx = q 0 ) e a corrente no circuito é nula ( i 0 = 0 ). A partir deste instante começa a circular uma corrente, a carga no capacitor diminui enquanto a corrente no circuito aumenta (figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema: q0 = 5.10 C i 0 = 0 = 0 figura 1 Solução a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff, temos (figura ) n i = 1 V i = 0 Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por V L = L d i e entre os pontos C e D da d.d.p. no capacitor é dada por V C = q C, assim figura V L V C = 0 L d i q C = 0 como corrente é a variação da carga no tempo, q =, re-escrevemos L d q C = 0 L d q q C = 0 esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de. a Ordem. Dividindo toda a equação pela indutância L, temos 1

2 substituindo os valores dados no problema d q 1 LC q = 0 d q q = 0 7 d q q = 0 10 d 10 q 1.10 q = 0 16 d q 6, q = 0 (I) a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições q = e t = e t e t 6, e t = 0 e t 6, = 0 6, = 0 e t 6, = 0 d q = e t esta é a Equação Característica que tem como solução =, =, , =±, i onde i = 1, a solução da expressão (I) é escrita como q = C 1 e 1 t C e t q = C 1 e, i t C e, i t onde C 1 e C são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler) e iθ = cosθi senθ q = C 1 cos, ti sen, t C cos, t i sen, t q = C 1 cos, t ic 1 sen, tc cos, t ic sen, t coletando os termos em seno e cosseno, temos q = C 1 C cos, t i C 1 ic sen, t q = C 1 C cos, ti C 1 C sen, t definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C, ficamos com C 1 C e i C 1 C q = cos, t sen, t (II)

3 multiplicando e dividindo esta expressão por q = fazendo as seguintes definições q = cos, t sen, t A, cosφ cos, t sen, t e senφ q = A cos φ cos, tsenφ sen, t Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica oos a b = cosa cos bsen a sen b q = A cos, t φ (III) onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais, derivando a expressão (III) em relação ao tempo, obtemos derivação de q = A cos, t φ a função q( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo [ut] = d u com qu = cos u e ut =, t φ, assim as derivadas serão d u d u = sen u = sen, t φ e d u =, = A [ sen, t φ., ] =, A sen, t φ =, A sen, t φ (IV) substituindo as Condições Iniciais em (III) e (IV), temos q0 = 5.10 = A cos, φ 5.10 = A cos φ como o cosseno é uma função par temos cosφ = cos φ e a expressão acima fica = A cosφ (V) = 0 =, A sen, φ 3

4 0 =, A sen φ como o seno é uma função ímpar senφ = sen φ ficamos com 0 =, A senφ (VI) isolando o valor de A na expressão (V) A = 5.10 cosφ (VII) e substituindo em (VI), obtemos 0 =, cosφ. senφ 0 = tgφ φ = arc tg0 φ = 0 substituindo o valor de φ em (VII) 5.10 A = cos A = 1 A = 5.10 substituindo estas constantes na expressão (III), temos qt = 5.10 cos, t b) A corrente será dada pela derivada da carga em função do tempo i = a derivada foi obtida no item anterior (no quadro cinza em destaque), sendo =, A sen, t φ substituindo as constantes A e φ obtidas acima, temos i t =, sen, t 0 i t = 0,15 sen, t c) A energia armazenada no circuito é U = U C U L (VIII) 4

5 onde U C é a energia potencial elétrica, armazenada no campo elétrico entre as placas do capacitor, dada por U C = q e U L é a energia magnética, armazenada no campo magnético C do indutor, dada por U L = 1 Li, assim U = q C 1 Li substituindo os resultados dos itens (a) e (b) na expressão (VIII) e os valores de L e C dados no problema, temos U = 5.10 cos, t ,15 sen, t U = cos, t ,01565 sen, t 7 U = 1, cos, t ,01565 sen, t U = 1, cos, t 1, sen, t U = 1, cos, t sen, t 1 U = 1, J d) Construção do gráfico de qt = 5.10 cos, t (IX) fazendo qt = 0 encontramos as raízes da função qt = 5.10 cos, t = 0 cos, t = 5.10 cos, t = 0 a função cosseno é zero quando seu argumento, t é igual a π, 3 π n1 π, com n = 0, 1,, 3,..., portanto devemos ter, t = n1 π n1 π t =., n1 π t = , 5 π,..., para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores serão, π 3π 5π 7π para n = 0, 1, e 3, respectivamente, t = , , , estes valores estão mostrados no gráfico 1. A função oscila entre os valores e da amplitude. 5

6 gráfico 1 6