Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto. Sinais. Carregam alguma informação (voz, dados, imagem)

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1 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Sinais Processamento Digital de Sinais Notas de Aula Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp Carregam alguma informação (voz, dados, imagem) Representação por uma função ou sequência de valores Variação no tempo / conteúdo de frequência Tempo/frequência contínuo ou discreto Amplitude [V] Amplitude [V] sinal de tempo contínuo x c (t) tempo [s] sinal de tempo discreto x[n] amostra n Sinais de tempo contínuo // tempo discreto // digital Umsinaldetempocontínuoédefinidoparatodososinstantesdetempo, ao passo que um sinal de tempo discreto é definido apenas para alguns instantes de tempo, em geral uma sequência de números que pode ser representada na forma: x[n] = {,x[ ],x[ ],x[],x[],x[], }. Observação: Estas notas de aula estão baseadas no livro: Discrete-Time Signal Processing, A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Prentice Hall, 989/999. O sinal pode ser de natureza discreta (um índice de inflação) ou pode ser obtido a partir de amostras de um sinal de tempo contínuo, como na figura acima: x[n] = x c (t) t=nt = x c (nt), n inteiro

2 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Sinais de Tempo Discreto e Digital Sinal de tempo discreto - amplitude contínua Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Operações Básicas Soma [%] Índice de inflação INPC 3 x[n]+y[n] = {,x[ ]+y[ ],x[]+y[],x[]+y[], } Multiplicação com escalar a x[n] = {,a x[ ],a x[],a x[], } Multiplicação entre sequências x[n] y[n] = {,x[ ] y[ ],x[] y[],x[] y[], } Manipulação da variável independente mês 3 x[n] 3 x[ n] Sinal digital - amplitude e tempo discretos Amplitude Sinal digital x[n ] x[ n ] 3 x[n+] x[ n+] amostra 6 6 Amostra n 6 6 Amostra n

3 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Sequências Básicas Impulso: δ[n] = Degrau: u[n] = u[n] = δ[n k] k=, n =, n, n, n < δ[n] = u[n] u[n ] Caso geral: x[n] = x[k]δ[n k] Senóide: x[n] = Acos(ω n+φ) ω : frequência [rad] ou [rad/amostra] φ: fase [rad] Exponencial complexa: x[n] = Ae j(ω n+φ) = Acos(ω n+φ)+jasin(ω n+φ) cos(ω n) = ejωn +e jω n sin(ω n) = ejω n e jω n j Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 6 Decomposição Partes par e ímpar: x[n] = x e [n]+x o [n] x e [n] = (x[n]+x [ n])/ - parte par x o [n] = (x[n] x [ n])/ - parte ímpar Partes real e imaginária, magnitude e fase: x[n] = x R [n]+jx I [n] x R [n] = (x[n]+x [n])/ - parte real x I [n] = (x[n] x [n])/j - parte imaginária x[n] = x[n] e jφ x[n] x[n] = (x R [n]+x I [n])/ - magnitude φ x [n] = x[n] = arctan(x I [n]/x R [n]) Simetrias: Se x[n] = x[ n], então x[n] é par Se x[n] = x[ n], então x[n] é ímpar Se x[n] = x [ n], então x[n] é conjugado simétrico Se x[n] = x [ n], então x[n] é conjugado antissimétrico

4 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 7 Periodicidade e frequência de Sinais Um sinal é periódico com período N se satisfizer, para qualquer n, a: Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 8 Periodicidade e frequência de Sinais Seja um sinal senoidal na freq. ω : x[n] = x[n±n] = x[n±n] =, Para o caso particular de um sinal senoidal: x[n] = Acos(ω n) x[n+n] = Acos(ω n+ω N) N inteiro. x[n] = Acos(ω n+φ) Considerando agora um outro sinal senoidal com freq. ω = ω +: y[n] = Acos(ω n+φ) = Acos(ω n+φ+n) = Acos(ω n+φ) = x[n] x[n] = x[n+n] ω N = k, ω = k N N,k inteiros Portanto, ω e (ω +) são frequências iguais. Ou seja, as frequências do sinal discreto se repetem a cada, diferentemente do que ocorre com frequências de sinais de tempo contínuo. ω = / ω = Amostra n

5 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 9 Frequências Altas e Baixas A frequência de um sinal pode ser avaliada pela variação da amplitude de amostra a amostra ω =, ω = /, 9/ ω = /, 5/ ω =, Amostra n Algumas observações: Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Sistemas de Tempo Discreto Um sistema pode ser um filtro, um amplificador, um sistema de controle, onde há uma entrada x[n] que é processada (transformada), produzindo uma saída y[n]. Exemplos: x[n] Sistema atraso: Filtro de média móvel: y[n] = T{ } y[n] = x[n n d ] M +M + Acumulador ou integrador: Diferenciador: y[n] = n M k= M x[n k] x[k] y[n] = x[n] x[n ] y[n] = x[n+] x[n] y[n] = T{x[n]} Nota-se assim que a máxima freq. de um sinal de tempo discreto é igual a. Regiões no eixo de ω ao redor de zero (e ±, ±,...) relacionam-se com sinais de baixa frequência. Regiões ao redor de (e, ±3,...) relacionam-se com sinais de alta frequência.

6 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Propriedades de Sistemas Memória: num sistema com memória, a saída em determinado instante depende da entrada em outros instantes de tempo. Exemplos: y[n] = x[n+3] y[n] = x [n] Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Propriedades de Sistemas Causalidade: num sistema causal, a saída no instante atual não depende de valores futuros da entrada, ou seja, y[n ] não depende de valores de x[n] para n > n. Exemplos: y[n] = x[n 3] y[n] = x[n+3] Linearidade: um sistema é linear se obedece ao princípio da superposição: T{x [n]} = y [n] T{ax [n]} = ay [n], a cte. T{x [n]} = y [n] T{bx [n]} = by [n], b cte. T{ax [n]+bx [n]} = ay [n]+by [n] Estabilidade: um sistema é estável no sentido BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) se, para qualquer entrada com amplitude limitada ( x[n] B x <, n), a saída também tem amplitude limitada ( y[n] B y <, n). Se existir uma única entrada com amplitude limitada que produza uma saída com amplitude não-limitada, o sistema é considerado instável. Exemplo: acumulador com entrada degrau: Invariância no tempo: um sistema é invariante no tempo se um atraso aplicado na entrada provoca o mesmo atraso na saída: y[n] = n x[k], x[n] = u[n] Exemplos: T{x[n]} = y[n] T{x[n n ]} = y[n n ] y[n] = x[n 3] y[n] = nx[n] y[n] = n u[k] = n = (n+)u[n] Onde claramente y[n] para n, e o sistema é considerado instável. No entanto, é um sistema utilizado na prática. k=

7 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Usando a propriedade que qualquer sinal pode ser escrito como a soma de impulsos escalonados e deslocados no tempo, e a propriedade da linearidade, pode-se escrever: Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Exemplos: resposta impulsiva Sistema atraso: y[n] = x[n n d ] h[n] = δ[n n d ] y[n] = T{x[n]}, = T = k k x[n] = k x[k]δ[n k] x[k]t{δ[n k]} Definindo a resposta ao impulso do sistema: h[n] = T{δ[n]} x[k]δ[n k] Filtro de média móvel: y[n] = h[n] = M +M + M +M + M k= M x[n k] M k= M δ[n k] Usando a propriedade da invariância no tempo, a saída pode ser escrita como: y[n] = x[k]h[n k] = x[n] h[n] (convolução linear) Portanto, num SLIT, a saída y[n] pode ser obtida a partir da convolução linear entre a entrada x[n] e a resposta impulsiva h[n]. Uma característica importante em SLITs é que, conhecendo-se a resposta impulsiva do sistema, pode-se obter a saída para qualquer outra entrada. A resposta impulsiva é uma característica do sistema, e pode ser representada por uma sequência h[n]. Acumulador ou integrador: y[n] = n x[k] h[n] = n δ[k] = u[n] Diferenciador: y[n] = x[n] x[n ] h[n] = δ[n] δ[n ] y[n] = x[n+] x[n] h[n] = δ[n+] δ[n]

8 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Exemplo - Convolução y[n] = x[n] h[n] = x[k]h[n k] = +x[ ]h[n+]+x[]h[n]+x[]h[n ]+ = +y [n]+y [n]+y [n]+ A convolução pode ser vista como a soma de diversas funções respostas ao impulso, sendo que cada função está escalonada e deslocada no tempo de acordo com as amostras de x[n]. x[n] x[ ]δ[n + ] x[]δ[n] x[]δ[n ] x[n] Amostra n h[n] 6 y [n] 6 y [n] 6 y [n] 6 y[n] Amostra n Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 6 Exemplo - Convolução - Método gráfico Outra maneira de interpretar a somatória de convolução é através do cálculo da saída y[n] para cada instante n: y[n] = x[k]h[n k] Para cada instante n, faz-se a multiplicação de duas funções: x[k] e h[n k], onde n é uma constante. Para se obter a saída naquele instante, faz-se a somatória de todas as amostras da função resultante. Para n = : y[] = y[] = y[ ] = x[k] x[k]h[ k] = x[k]h[ k] = x[k]h[ k] = y [k] y [k] y [k] h[k] h[ k] y [k] = x[k]h[ k] y[] = y [k] = + = 5

9 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 7 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 8 Para n = : Para n = : x[k] h[k] x[k] h[k] h[ k] h[ k] y [k] = x[k]h[ k] y [k] = x[k]h[ k] y[ ] = y [k] = y[ ] = y [k] =

10 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 9 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Para n = : Para n = : x[k] h[k] x[k] h[k] h[ k] h[ k] 6 y [k] = x[k]h[ k] y[] = y [k] = 6+ = 7 y [k] = x[k]h[ k] y[] = y [k] = 3 =

11 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Para n = 3: Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Propriedades de SLITs x[k] h[k] É muito comum a associação de sistemas em cascata e em paralelo, e por isso é importante se conhecer a resposta impulsiva após a associação. Comutativa, conexão em cascata: y[n] = (x[n] h [n]) h [n]) = (x[n] h [n]) h [n] = x[n] (h [n] h [n]) h[3 k] x[n] h [n] h [n] y[n] y 3 [k] = x[k]h[3 k] x[n] h [n] h [n] y[n] y[3] = y 3 [k] = 3 x[n] h [n] h [n] y[n] Para n, y[n] = 7 6 Associativa, conexão em paralelo: y[n] = x[n] (h [n]+h [n]) = x[n] h [n]+x[n] h [n] 5 3 y[n] x[n] h [n] y[n] h [n] x[n] h [n]+h [n] y[n] 3 3 Amostra n

12 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Propriedades de SLITs Estabilidade BIBO: x[n] com amplitude limitada: x[n] B x < y[n] y[n] = h[k]x[n k] h[k] x[n k] B x h[k] Portanto, para que a saída tenha amplitude limitada, deve-se ter que: h[k] < Causalidade: A saída num instante n é: y[n ] = h[k]x[n k] = +h[ ]x[n +]+h[]x[n ]+h[]x[n ]+ Logo, se o sistema é causal, a saída no instante n não pode depender da entrada para instantes n > n, ou seja, a resposta impulsiva h[n] deve ser igual a zero para n <. SLIT causal: h[n] = para n <. Dessa forma, as condições de estabilidade e causalidade são facilmente determinadas em SLITs se for conhecida a resposta impulsiva. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Equação de Diferenças Em alguns sistemas, a saída e a entrada podem estar relacionadaspor uma equação de diferenças a coeficientes constantes: N k= No caso geral, tem-se: Exemplo Considere o sistema: y[n] = N a k y[n k] = M b k x[n k] k= k= a k y[n k]+ M b k x[n k] a a k= y[n]+.5y[n ] = x[n] Considerando condições iniciais nulas (y[ ] = ), a resposta impulsiva é obtida, de maneira recursiva, por: y[] = x[].5y[ ] = = y[] = x[].5y[] =.5() =.5 y[] = x[].5y[] =.5(.5)=.5 y[3] = x[3].5y[] =.5(.5) =.5. y[n] = (.5) n u[n]

13 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Exemplo (cont.) Se x[n] = Bδ[n] e y[ ] = a, para n fica-se com: Para n < : y[] = x[].5y[ ] = B a y[] = x[].5y[] = y[] = x[].5y[] =. y[n] = ( ) B a ( ) B a ( ) n ( B a ), n y[ ] = y[ ]+x[ ] = a y[ 3] = y[ ]+x[ 3] = a. y[n] = ( ) n a = ( ) n+a, n =, 3,... y[n] = a Logo, a expressão geral da saída é: ( ) n u[ n ], n ( y[n] = B ) n u[n] a ( ) n u[n] a ( n u[ n ] ) Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 6 Equação de Diferenças A solução geral é dada por uma solução forçada mais uma solução homogênea: y[n] = y p [n]+y h [n] y p [n] é a resposta forçada com condições iniciais nulas y h [n] é a resposta a entrada zero, devido às condições iniciais: N k= a k y h [n k] = (resposta a entrada zero) Paraasoluçãode y h [n] énecessáriodeterminarn coeficientes, obtidos a partir de N condições iniciais. Dessa forma, para cada condição inicial haverá uma saída diferente. Em geral, se a entrada é igual a zero para n < n, são fornecidos os valores da saída y[n] nos instantes n, n,, n N. Pode-se provar que, para um sistema linear invariante no tempo causal, deve-se ter condições iniciais nulas, de forma que: x[n] =,n < n y[n] =,n < n ( = B ) n u[n] a ( ) n

14 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 7 Resposta em frequência de SLITs Considere um SLIT cuja entrada é uma exponencial complexa na frequência ω : x[n] = e jω n : y[n] = x[n] h[n] = = h[k]e jω (n k) = e jω n h[k]e jω k Definindo-se a seguinte função complexa: fica-se com: H(e jω ) = h[k]e jωk, y[n] = H(e jω )e jω n. h[k]x[n k] Caso H(e jω ) = A e jφ, fica-se que a saída y[n] para esta entrada específica fica: y[n] = A e j(ω n+φ ). Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 8 Resposta em frequência - Exemplo Sistema atraso: y[n] = x[n n d ]. Se a entrada for uma exponencial complexa: x[n] = e jωn, a saída é: Logo, a resposta em frequência é: y[n] = e jω(n n d) = e jωn e jωn d. H(e jω ) = e jωn d. O resultado poderia também ser obtido a partir da resposta impulsiva: H(e jω ) = = e jωn d h[k]e jωk = A magnitude e a fase são dadas por: δ[k n d ]e jωk H(e jω ) = (magnitude/ganho constante) H(e jω ) = ωn d (fase linear) Logo, um sistema que produz um atraso no tempo tem resposta em frequência com magnitude constante e fase linear. Ou seja, a saída é outra exponencial complexa na mesma frequência que da entrada, cuja magnitude e fase são modificadas pela função H(e jω ) na frequência ω = ω. Assim, e jω n é uma autofunção do sistema, e o autovalor associado é H(e jω ). AfunçãoH(e jω )descreveamudançaimpostanaentradae jωn emfunção da frequência ω, e por isso é chamada de resposta em frequência do sistema.

15 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 9 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Resposta em frequência - Exemplo Filtro de média móvel: h[n] = δ[n]+δ[n ]. A resposta em freq. é: Magnitude.5.5 H(e jω ) = n= h[n]e jωn = +e jω = e jω/ (e jω/ +e jω/ ) = = e jω/ cos(ω/) Algumas propriedades de H(e jω ) H(e jω ) é obtida a partir de um sinal de tempo discreto, mas é uma função da variável ω contínua. H(e jω ) é em geral uma função complexa da variável ω: H(e jω ) = H R (e jω )+jh I (e jω ) = H(e jω ) e j H(e jω ) H(e jω ) é periódico com período : H(e j(ω+) ) = n h[n]e j(ω+)n = n h[n]e jωn = H(e jω ) Logo, basta representarafunção H(e jω ) num intervalode duração. Resposta em frequência de Filtros Ideais Filtro passa-baixas ideal com freq. corte ω c H(e jω ) ω c ω c ω Fase H(e jω ) ω/ Portanto, um filtro de média móvel tem ganho que diminui com o aumento da frequência, sendo um tipo de filtro passa-baixas. ω c ω c ω

16 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Resposta em frequência de Filtros Ideais Filtro passa-altas ideal com freq. corte ω c H(e jω ) Representação de sequências usando a Transformada de Fourier Aplicando a relação entre a resposta em frequência e a resposta impulsiva de um SLIT para uma sequência x[n], pode-se escrever: X(e jω ) = n= x[n]e jωn (equação de análise) ω c Filtro passa-faixa ideal com freq. corte ω c e ω c ω c H(e jω ) ω A sequência pode ser obtida a partir de: x[n] = X(ejω )e jωn dω (equação de síntese) A função X(e jω ) é chamadade Transformada de Fourier de Tempo Discreto (DTFT) da sequência x[n], sendo comum a representação do par transformado: x[n] DTFT X(e jω ) ω c ω c ω c ω c ω h[n] DTFT H(e jω ) Filtro rejeita-faixa ideal com freq. corte ω c e ω c H(e jω ) A sequência x[n] é composta pela contribuição de frequências ω, cujas amplitudes complexas são dadas por X(e jω )/. Dessa forma, X(e jω ) representa o conteúdo de frequências (ou espectro) do sinal x[n], para ω. ω c ω c ω c ω c ω

17 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 33 Exemplos - DTFT Impulso: x[n] = δ[n] X(e jω ) = x[n]e jωn = n= n= δ[n]e jωn =, ω Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Exemplos - DTFT Exponencial: x[n] = a n u[n], a < X(e jω ) = a n u[n]e jωn = a n e jωn n= n= = n= (ae jω ) n = ae jω Amplitude.5 x[n] = (.5) n u[n] Magnitude X(e jω ) n Fase [rad] X(e jω ) ω/

18 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 35 Existência da DTFT Nem todas as sequências têm DTFT, ou seja, a somatória: X(e jω ) = n= x[n]e jωn pode não convergir para todo ω. Podem-se determinar sequências tais que a somatória seja convergente, ou seja, tenha um valor finito: Assim, tem-se que: X(e jω ) < +, para todo ω X(e jω ) = n= n= n= x[n]e jωn x[n] e jωn x[n] < + Dessa forma, uma condição suficiente para a existência da DTFT é que a somatória acima convirja, ou em outras palavras, a sequência x[n] deve ser uma sequência estável (somável em módulo). No entanto, existem sequências cuja somatória do módulo não converge, mas que possuem DTFT, caso do degrau e da senóide. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 36 Fenômeno de Gibbs Seja a resposta em freq. de um filtro passa-baixas ideal: H(e jω ) = Sua resposta impulsiva é:, ω ω c, ω c < ω h[n] = H(ejω )e jωn dω = ωc e jωn dω ω c = e jωcn e jω cn = jsin(ω cn) jn jn = sin(ω cn), < n < + n Voltando ao domínio da frequência, observemos o gráfico da magnitude do sinal: H M (e jω ) = M n= M h[n]e jωn para diversos valores de M. Este sinal é uma aproximação da função original à medida que se aumenta o número de componentes de frequência.

19 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 37 Fenômeno de Gibbs Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 38 Alguns pares de transformadas M = M = ω/ M = 8 M = ω/ Nota-se que a função original (em tracejado) não é reconstruída perfeitamente, havendo oscilações que aumentam de freq. à medida que se aumenta o número de componentes do sinal. Na descontinuidade, as funções assumem valor igual a,5. Nesse caso não é possível a síntese da função original pois não se pode obter uma função descontínua a partir de funções contínuas(exponenciais complexas). Este é o chamado fenômeno de Gibbs. x[n] X(e jω ) δ[n] δ[n n ] a n u[n], a < u[n] sin(ω c n) n e jωn cos(ω n+φ) e jωn ae jω δ(ω +k) e jω + X(e jω ) = Propriedades de Simetria δ(ω +k) {, ω ωc, ω c < ω δ(ω ω +k) [e jφ δ(ω ω +k)+e jφ δ(ω +ω +k)] x[n] X(e jω ) X(e jω ) X(e jω ) real conjugado simétrico par ímpar real e par real par ou ±, ímpar real e ímpar imaginário par ±/, ímpar x e [n] R[X(e jω )] x o [n] ji[x(e jω )]

20 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 39 Propriedades Propriedade sequência DTFT Linearidade ax[n]+by[n] ax(e jω )+by(e jω ) Atraso no tempo x[n nd] e jωn d X(e jω ) Deslocamento em freq. e jωn x[n] X(e j(ω ω) ) Inversão no tempo x[ n] X(e jω ) X (e jω ), x[n] real Diferenciação em freq. nx[n] j dx(ejω ) dω Convolução no tempo x[n] y[n] X(e jω ) Y(e jω ) Janelamento Teorema de Parseval x[n] y[n] n= n= x[n]y [n] = x[n] = X(e jθ )Y(e j(ω θ) )dθ X(e jω )Y (e jω )dω X(e jω ) dω Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Exemplos: Impulso e Senóide Impulso: Considere o sinal com DTFT: cujo espectro é: A DTFT inversa é: Logo: X(e jω ) = +ω δ(ω ω +k) X(e jω ) ω +ω x[n] = X(ejω )e jωn dω = δ(ω ω )e jωn dω = δ(ω ω )e jωn dω = e jω n ω e jω n δ(ω ω +k)

21 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Exemplos: Impulso e Senóide Sinal senoidal: Um cosseno pode ser escrito como: x[n] = cos(ω n) = (ejω n +e jωn ) Usando o resultado anterior, a DTFT do sinal é: cos(ω n) DTFT e jω n +DTFT e jω n cos(ω n) [δ(ω ω +k)+δ(ω +ω +k)] Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Exemplos: Convolução Linear e Multiplicação de Polinômios Considere os polinômios dados por: a(x) = a +a x+a x +a 3 x 3 + +a N x N b(x) = b +b x+b x +b 3 x 3 + +b M x M A multiplicação entre os polinômios resulta em: c(x) = a b +(a b +a b )x+(a b +a b +a b )x + +(a N b M )x N+M Chamando de a[n] e b[n] as sequências relacionadas aos polinômios, em que a[i] = a i, i =,, N, e b[i] = b i, i =,, M, e chamando: +ω ω X(e jω ) ω ω ω c[n] = a[n] b[n] tem-se que as amostras de c[n] são iguais aos coeficientes c i, para i =,, N +M. Exemplo a(x) = +x+x a[n] = {,, }, n b(x) = +x x 3 b[n] = {,,, }, n 3 A convolução linear resulta na sequência: c[n] = {,, 3,,, }, n 5 que corresponde ao polinômio: c(x) = +x+3x x 5

22 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 3 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto Exemplos: Convolução periódica Calcule o espectro de: x 3 [n] = x [n] x [n], com: x [n] = sin(/)n n x [n] = sin(/)n n Usando a propriedade da modulação ou janelamento: X 3 (e jω ) = X (e jθ )X (e j(ω θ) )dθ Os espectros de x [n] e x [n] são: X (e jω ) X (e jω ) Para calcular X 3 (e jω ), deve-se multiplicar X (e jθ ) e X (e j(ω θ) ) para ω variando entre e. Para ω = tem-se: X (e jθ ) X (e jθ ) X (e jθ )X (e jθ ) Exemplos: Convolução periódica (cont.) Para ω = /, a área permanece a mesma pois a sobreposição entre as funções se mantém: X (e jθ ) X (e j( / θ) ) X (e jθ )X (e j( / θ) ) A partir desse ponto, diminuindo mais ω, a área começa a diminuir. Para ω = /, a sobreposição cai pela metade: X (e jθ ) X (e j( / θ ) X (e jθ )X (e j( / θ) ) A área destacada dá o valor da integral, que deve ser dividida por, resultando em X 3 (e j ) = /.

23 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Exemplos: Convolução periódica (cont.) Para ω = 3/, não há mais sobreposição entre as funções, e a área é nula: X (e jθ ) Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 6 Exercícios: Propriedades Seja a sequência x[n] dada por: x[n] X (e j( 3/ θ) ) X (e jθ )X (e j( 3/ θ) ) n - Sem calcular explicitamente a DTFT X(e jω ), determine os valores de:. X(e j ). X(e jω ) Para valores de ω positivos, tem-se resultados parecidos, e a função resultante fica: X (e jω ) X (e jω ) 3. X(e jω )dω. X(e j ) 5. x e [n], cuja DTFT é a parte real de X(e jω ): R[X(e jω )] 6. X(e jω ) dω 7. dx(e jω ) dω Dicas: dω X 3 (e jω ) /. Propriedade das áreas. Verificar simetria do sinal e fase linear (atraso no tempo) 3. Propriedade das áreas. Valores de e jn, para n inteiro, expressão da DTFT inversa 5. x e [n] = (x[n]+x [ n])/ 6. Teorema de Parseval 7. Propriedade de diferenciação em frequência e teorema de Parseval

24 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 7 Exercícios: Propriedades Calcule a DTFT da sequência: Dica: ( n x[n] = n ). Propriedades de linearidade, inversão no tempo e diferenciação em frequência. Sinal x[n] real e ímpar - a sua transformada deve ser imaginária e ímpar. Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 8 Exercícios: Propriedades Considere os seguintes sinais: x [n] = x [n] =, n L, caso contrário., M n M, caso contrário.. Obtenha as expressões das DTFTs de x [n] e x [n], em função de L e M.. Obtenha as sequências e os espectros para L = 5 e M =. 3. Verifique como se relacionam as sequências em termos de um atraso no tempo, e os espectros em termos de uma fase linear em frequência.

25 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 9 Exercícios: Propriedades Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Exercícios: Propriedades Usando os resultados do exemplo anterior, calcule a DTFT de um sinal senoidal truncado: v[n] = x [n]cos(ω n). Obtenha a expressão da DTFT de v[n] Seja x[n] uma sequência cuja DTFT é do tipo: X(e jω ). Verifique como o espectro se relaciona com a duração do pulso (L) 3. Faça alguns gráficos (v[n], V(e jω ), V(e jω )) para (a) L =, ω = /; (b) L =, ω = /. Dica: Use a propriedade do janelamento no tempo - convolução em frequência. / e considere a sequência modificada z[n] = x[n] p[n]. Esboce os espectros Z(e jω ) e interprete os resultados para:. p[n] = cos(n). p[n] = cos(n/) / ω 3. p[n] = sin(n/). p[n] = δ[n k] Avalie também este efeito no MATLAB. Para isto, siga o diagrama de blocos: ADC v[n] LPF x[n] X p[n] z[n]. A conversão A/D pode ser feita com o comando wavrecord, ou podese trabalhar com um sinal gravado em arquivo.wav, utilizando o comando wavread;. O filtro passa-baixas serve para limitar a frequência do sinal a /. Para isto, use o seguinte código: [N,Wn]=ellipord(.,.6,., ); [b,a]=ellip(n,.,, Wn); x = filter(b,a,v); z = x.*p; O sinal p[n] deve ter as mesmas dimensões de x[n]. Para ouvir o resultado, use a função sound.

26 Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Exercícios: Propriedades Sinais e Sistemas de Tempo Discreto 5 Exercícios: Resposta em frequência Calcule a DTFT do sinal: x[n] 3 a) Um sistema linear invariante no tempo tem resposta impulsiva h[n] real. Prove que a resposta em frequência tem magnitude par e fase ímpar: H(e jω ) = H(e jω ) n H(e jω ) = H(e jω ) Dica: escreva x[n] como a convolução entre dois pulsos retangulares e use a propriedade da convolução no tempo. Alternativamente, diz-se que H(e jω ) tem simetria hermitiana: H(e jω ) = H (e jω ) Dica: escreva a expressão de H(e jω ) a partir da definição e aplique o conjugado complexo. b) Num SLIT, a resposta a uma entrada x[n] = e jω n, é da forma: y[n] = H(e jω )x[n] = H(e jω )e jω n Obtenha a saída do sistema para uma entrada senoidal: x[n] = Acos(ω n+φ ) Considere que o sistema tem resposta impulsiva h[n] real. Dicas:. Escreva x[n] como a soma de duas exponenciais complexas com frequências ω e ω ;. Obtenha as saídas para cada uma das exponenciais complexas; 3. Usando a informação de que h[n] é real (como deve ser sua DTFT?), agrupe as respostas individuais para obter um sinal senoidal na saída.. Qual a relação entre as amplitudes da saída e da entrada? 5. Qual a diferença de fase entre a saída e a entrada?