Aula 18 Propriedades da Transformada Z Transformada Z inversa
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1 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 Aula 8 Propriedades da Transformada Z Transformada Z inversa Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, a edição, Pearson, 00. ISBN Páginas HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 00. ISBN Páginas Propriedades da Transformada Z As propriedades da Transformada Z são generaliações das propriedades das transformadas de Fourier de tempo discreto estudadas em capítulo anterior. Vamos apenas citar as seguintes importantes propriedades sem demonstração. Linearidade [ x [ n] + a x [ n ] a X ( ) a X ( ) Z a + ; RDC : RDC x RDC x Deslocamento no tempo n [ x[ n n ] 0 X ( ) Z 0 ; RDC : RDCx Mudança de escala na frequência [ a [ ] n x n X Z ; RDC : RDCx multiplicado por a a Espelhamento [ x[ n ] X Z ; RDC : RDCx invertido Conjugação complexa [ x [ n ] X ( ) Z ; RDC : RDCx
2 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 [ nx[ n ] Diferenciação no domínio dx d ( ) Z ; RDC : RDCx Esta propriedade também é chamada de propriedade de multiplicação por uma rampa. Multiplicação πj [ x [ n] x [ n ] X ( ν ) ν Z X ν dν C ; : RDC x RDC x RDC invertido em que C é um contorno fechado que engloba a origem e está contido no RDC comum. Convolução [ [ n] x [ n ] X ( ) X ( ) Z x ; RDC : RDC x RDC x Esta última propriedade transforma operação de convolução no domínio do tempo numa multiplicação entre duas funções. Esta propriedade é bastante significativa em muitos sentidos. Primeiramente, utiliando esta propriedade podemos faer a convolução de dois sinais finitos de maneira mais simples, como mostra os exercícios a seguir. Exercícios. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 85) Sendo x [ n] {, 3, 4} para 0 n e x [ n] { 3, 4, 5, 6} para 0 n 3, utilie as propriedades da Transformada Z para determinar [ n] x [ n] x.
3 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 85) Sendo ( ) + + X e 3 X ( ) , determine x [ n], x [ n] e [ n] x [ n] x [ n] 5 x3. Um segundo uso importante da propriedade da convolução é nos cálculos da resposta de sistemas como veremos numa próxima aula. Esta interpretação é particularmente útil ao se verificar a expressão da transformada Z no Matlab. Note que como o Matlab é um processador numérico (ao menos que o toolbox Symbolic seja usado) não se pode obter diretamente a transformada Z. Uma solução para este problema seria a seguinte: seja x [ n] uma sequência com transformada racional ( ) X B A ( ) ( ) em que B ( ) e A ( ) são polinômios em. Se usarmos os coeficientes de ( ) B e A ( ) como os vetores b e a da função filter e excitarmos este filtro com uma sequência impulso δ [ n] então usando a propriedade da convolução e também que [ δ [ n ] Z, a saída do filtro será [ n] x. Esta é uma abordagem numérica para se calcular a antitransformada Z; na próxima aula discutiremos a abordagem analítica Alguns pares comuns de Transformadas Z Usando a definição e as propriedades da Transformada Z, pode-se determinar a transformada das sequências mais comuns. A seguir é dada uma lista de algumas destas sequências. 3
4 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 Figura Tabela de transformadas Z (LATHI, 007). 4
5 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 As principais propriedades das Transformadas Z estão listadas na tabela a seguir. Figura Propriedades das Transformadas Z (OPPENHEIM; WILKY; NAWAB, 999). 5
6 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 Exercícios 3. (INGLE; PROAKIS, 000, p. 87) Usando as propriedades e a tabela acima, calcule a transformada Z de: π 0,5 cos n un 3 n (a) x n ( n )( ) ( ) (b) (c) π 4 n (d) x[ n] 0,65( ) cos n, 45 u[ n] 6
7 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril Inversão da Transformada Z Como no caso das Transformadas de Laplace, devemos evitar a integração no plano complexo necessária para obter a transformada Z inversa. x πj [ n] Z [ X ( ) ] X ( ) Uma abordagem mais prática é o uso da tabela de transformadas vista na seção anterior. C n A maior parte das transformadas X ( ) de interesse prático são funções racionais (raão de polinômios em ). Tais funções podem ser expressas como uma soma de funções mais simples usando a expansão em frações parciais. Este método funciona porque para cada [ n] d x definido para todo n 0, existe uma correspondente X ( ) definida para > r0 (em que r 0 é uma constante) e vice-versa.. Exercícios (LATHI, 998, p.677) Encontre a transformada inversa de. ( )( 3) 5. (NISE, 00, p. 567) Determine a função no domínio do tempo amostrado tal que a transformada seja: 0,5 F ( ). ( 0,5)( 0,7) 7
8 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril Transformada Inversa pela expansão de F ( ) em séries de potências Por definição F ( ) f [ n] n 0 f f [ 0] + n [ ] f [ ] f [ 3] f [ 0] + f [ ] + f [ ] + f [ 3] + Assim, temos uma série em. Assim, se pudermos expandir F ( ) numa série de potências em, os coeficientes desta série de potência podem ser identificados como f [ 0], f [ ], f [ ], f [ 3] 3,... e assim por diante. Uma F ( ) racional pode ser expandida numa série de potências de pela divisão de seu numerador pelo seu denominador. Considere por exemplo, F [ ] ( 7 ) ( 0,)( 0,5)( ) 7 + 9,9 Assim, f [ 0 ] 7, f [ ] 9, 9, f [ ], 3, f [ 3 ], 87 +,3 +,87 3 +,... e assim por diante. Exercícios 6. (NISE, 00, p. 567) Determine a função no domínio do tempo amostrado tal que a transformada seja: F utiliando séries de potências. ( ) 0,5 ( 0,5)( 0,7) 7. (NISE, 00, p. 568) Determine f [ n] se ( ) ( + )( + ) ( 0,5)( 0,7)( 0,9) F. 8
9 Processamento Digital de Sinais Aula 8 Professor Marcio Eisencraft abril 0 8. (NISE, 00, p. 598) Para cada F ( ), obtenha f [ n] usando expansão em frações parciais: (a) F ( ) (b) F ( ) (c) F ( ) ( + 3)( + 5) ( 0,5)( 0,6)( 0,8) ( + 0,)( + 0,4) ( 0,)( 0,5)( 0,8) ( + )( + 0,) ( 0,5)( 0,6) 9. (NISE, 00. p. 598) Para cada F ( ) no Exercício 8, faça o seguinte: (a) Obtenha f [ n] utiliando expansão em séries de potência. (b) Verifique os resultados contra as respostas do Exercício 8. 9
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