Processamento Digital de Sinais

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1 Processamento Digital de Sinais Carlos Alexandre Mello Carlos Alexandre Mello 1

2 Sinais Digitais Um sinal pode ser entendido como uma função que carrega uma informação Sinal de voz O sinal é processado de acordo com a aplicação necessária Transmissão, armazenamento, manipulação Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 2

3 Processamento de Sinais O processamento de sinais lida com a representação, transformação e manipulação dos sinais e da informação que eles contêm Até a década de 60 Tecnologia analógica Evolução de computadores e microprocessadores PDS Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 3

4 Processamento Digital de Sinais Aspecto fundamental: Conversão do sinal contínuo em uma sequência de amostras Um sinal discreto no tempo Após o processamento digital, a sequência de saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 4

5 Processamento Digital de Sinais Classificação: Sinais contínuos no tempo (Analógicos) Representados por funções de variáveis contínuas Sinais discretos no tempo Representados matematicamente por uma sequência de números reais ou complexos Sinais contínuos em valores Se um sinal pode assumir qualquer valor dentro de um espaço finito ou infinito Sinais discretos em valores Assume apenas valores dentro de um espaço finito Carlos Alexandre Mello 5

6 Processamento Digital de Sinais Sinais Digitais Sinais digitais são aqueles para os quais tanto o tempo quanto a amplitude são discretos Ou seja, ele é discreto no tempo e só pode assumir valores dentro de um conjunto finito de possíveis valores (é discreto em valores) Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 6

7 Processamento Digital de Sinais Sinais Determinísticos Qualquer sinal que podem ser unicamente descrito por uma expressão matemática, uma tabela de dados ou uma regra bem definida Sinais Aleatórios os sinais não podem ser representados precisamente por equações matemáticas ou suas descrições são muito complexas para uso. Isso indica que tais sinais têm comportamento imprevisível Carlos Alexandre Mello 7

8 Processamento Digital de Sinais A sequência x é escrita como: x = {x[n]}, - <n < n inteiro Sequência gerada a partir do processo de amostragem n-ésimo termo: x[n] = x a (nt), - <n < Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 8

9 Amostragem Sinal Original Amostragem Carlos Alexandre Mello 9

10 Amostragem Carlos Alexandre Mello 10

11 Amostragem Cuidados com a taxa de amostragem Baixa taxa de Amostragem! Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 11

12 MatLab No MatLab: Função Seno contínua (-): >> fplot ( sin(x/2 + 1), [0, 30], r ) Função Seno amostrada (-): >>nn = 0:30; >> sinus=sin(nn/2 + 1); >> stem(nn, sinus); Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 12

13 Exemplos Impulso (delta de Dirac) 0 n Uma sequência arbitrária pode ser representada como uma soma de impulsos Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 13

14 Exemplos Impulso (delta de Dirac) No MatLab: function [x, n] = impseq(n0, n1, n2) n = [n1:n2]; x = [(n - n0) == 0]; stem (x); >> impseq (5, 0, 10); Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 14

15 Exemplos Impulso (delta de Dirac) De forma geral: Carlos Alexandre Mello 15

16 Exemplos Impulso (delta de Dirac) x[n] = 2.δ[n + 2] - δ[n 4], -5 n 5 No MatLab: >> n = [-5:5]; >> x = 2*impseq(-2, -5,5) - impseq(4, -5, 5); >> stem (n, x); title ('Exemplo de Sequencia'); xlabel('n'); ylabel('x[n]'); Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 16

17 Exemplos Degrau Unitário Relação com o Impulso Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 17

18 Exemplos Degrau No MatLab: function [x, n] = stepseq(n0, n1, n2) % Degrau n = [n1:n2]; x = [(n-n0) >= 0]; stem (x); >> stepseq (5, 0, 10); Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 18

19 Exemplos Degrau x[n] = n[u[n] u[n 10]] + 10e -0.3(n 10) [u[n 10] u[n 20]], 0 n 20 >> n = 0:20; >> x1 = n.*(stepseq(0,0,20) - stepseq(10,0,20)); >> x2 = 10*exp(-0.3*(n-10)).*(stepseq(10,0,20) - stepseq(20,0,20)); >> x = x1 + x2; >> stem(n,x); title('sequencia de Degraus'); xlabel('n'); ylabel ('x[n]'); Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 19

20 Exemplos Sequência Exponencial No MatLab: Função Exponencial: >> nn = 0 + [1:21] - 1; >> y = (0.9).^nn; >> stem(nn, y); Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 20

21 Sistemas e Propriedades Sistemas Discretos no Tempo Um sistema discreto no tempo é definido matematicamente como uma transformação que mapeia uma seqüência de entrada x[n] em uma seqüência de saída y[n] y[n] = T{x[n]} Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 21

22 Sistemas e Propriedades Sistemas Discretos no Tempo Exemplos: Atraso ideal: y[n] = x[n n d ], - <n < Média móvel: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 22

23 Sistemas e Propriedades Sistemas Discretos no Tempo Propriedades 1) Sistema sem Memória A saída y[n] a cada valor de n depende apenas da entrada x[n] no mesmo valor de n Ex: Sistema sem memória: y[n] = {x[n]} 2 Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 23

24 Sistemas e Propriedades Sistemas Discretos no Tempo Propriedades 2) Sistema Linear Obedecem ao princípio da Superposição: Ex: T{a.x 1 [n] + b.x 2 [n]} = a.t{x 1 [n]} + b.t{x 2 [n]} Acumulador: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 24

25 Sistemas e Propriedades Sistemas Discretos no Tempo Propriedades 3) Sistema Invariante no Tempo Um deslocamento no tempo da sequência de entrada gera um deslocamento correspondente na sequência de saída T Ou seja: Se x[n] y[n], então x[n + m] y[n + m] Ex: Sistema não invariante no tempo: y[n] = x[m.n] T Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 25

26 Sistemas e Propriedades Sistemas Discretos no Tempo Propriedades 4) Sistema Causal Não depende de valores futuros da sequência Ex: Sistema não causal: y[n] = x[n + 1] 5) Sistema Estável Toda entrada limitada produz uma saída limitada Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 26

27 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) Como vimos, uma sequência qualquer pode ser representada como uma soma de impulsos: Como y[n] = T{x[n]}, temos: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 27

28 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) Assim, um sistema Linear e Invariante no Tempo é completamente descrito por sua resposta ao impulso Essa representação é conhecida também como soma de convolução Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 28

29 Propriedades da Soma de Convolução 1) Comutatividade: x[n]*h[n] = h[n]*x[n] 2) Distributividade: x[n]*(h1[n] + h2[n]) = x[n]*h1[n] + x[n]*h2[n] 3) Conexão em Cascata Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 29

30 Propriedades da Soma de Convolução 4) Conexão em Paralelo Carlos Alexandre Mello 30

31 Propriedades da Soma de Convolução 5) Causalidade Como definido anteriormente, um sistema é dito causal se sua resposta não depende de eventos futuros. Ou seja, para calcular a saída de y[n 0 ], precisamos apenas de x[n], n n 0. Isso implica na condição: h[n] = 0, n < 0 Assim, para testar a causalidade basta testar se h[n] = 0 para n<0 Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 31

32 Propriedades da Soma de Convolução 6) Estabilidade A estabilidade é garantida se: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 32

33 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) Sistemas Inversos Se um sistema linear invariante no tempo tem uma resposta ao impulso h[n], então seus sistema inverso, se existir, tem resposta ao impulso h i [n] definida pela relação: h[n]*h i [n] = h i [n]*h[n] = δ[n] Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 33

34 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) Uma classe importante de sistemas lineares invariantes no tempo consiste daqueles para os quais x[n] e y[n] se relacionam através de uma equação de diferenças de coeficientes constantes lineares de n-ésima ordem da forma: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 34

35 Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) Exemplo: y[n] = y[n 1] + x[n] Na equação anterior teríamos: N = 1 a 0 = 1 a 1 = -1 M = 0 b 0 = 1 Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 35

36 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência O termo filtro é normalmente usado para descrever um dispositivo que discrimina, de acordo com algum atributo do objeto aplicado como entrada, o que passa através dele Como um filtro de ar que deixa o ar passar, mas retém partículas de impureza Um sistema LTI também funciona como um tipo de discriminante, filtrando entre os vários componentes de frequência na sua entrada Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 36

37 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência A forma da filtragem é definida pela resposta de frequência H(ω) que depende da escolha de parâmetros do sistema (como os coeficientes do filtro) Como veremos em projeto de filtros Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 37

38 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência Em geral, um sistema LTI modifica o espectro do sinal de entrada X(ω) de acordo com a resposta em frequência H(ω) que leva a um sinal de saída com espectro Y(ω) = H(ω)X(ω) Assim, um sistema LTI pode ser visto como um filtro embora não bloqueie completamente qualquer componente de frequência do sinal de entrada. Consequentemente, os termos sistema LTI e filtro são sinônimos e são normalmente usados sem distinção. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 38

39 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência Filtros são normalmente classificados de acordo com suas características no domínio da frequência como passa-baixa, passa- alta, passa-faixa e rejeita-faixa Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 39

40 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência Carlos Alexandre Mello 40

41 Sistemas LTI como Filtros Seletores de Frequência Todos os filtros ideais têm características de magnitude constante e fase linear dentro da banda de passagem Em todos os casos, tais filtros não são fisicamente realizáveis, mas servem como idealizações matemáticas para filtros práticos Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 41

42 Representação pela Transformada de Fourier Transformadas Mudança entre domínios de sinais Transformada de Laplace Transformada de Fourier Transformada Discreta do Cosseno Transformada Z Transformada Wavelet Permitem observar propriedades de forma mais simples Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 42

43 Representação pela Transformada de Fourier Transformada de Fourier de uma sequência Transformada Inversa Carlos Alexandre Mello 43

44 Representação pela Transformada de Fourier Em geral, a Transformada de Fourier é uma função complexa em ω Como na resposta à frequência, algumas vezes, pode-se expressar X(e jω ) na forma X(e jω ) = X R (e jω ) + j.x I (e jω ) ou na forma polar: X(e jω ) = X(e jω ) e j X(e^jω) Magnitude Fase Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 44

45 Representação pela Transformada de Fourier Vamos mostrar que a relação entre a Transformada de Fourier e sua Inversa Considere: Se trocarmos a ordem da integral e do somatório: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 45

46 Representação pela Transformada de Fourier Calculando a integral dentro dos parênteses Assim: Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 46

47 Representação pela Transformada de Fourier Exemplo: x[n] = a n u[n] Que converge se a.e -jw < 1 a < 1. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br 47

48 Representação pela Transformada de Fourier Propriedades da Transf. de Fourier Carlos Alexandre Mello 48

49 Bibliografia Complementar Vinay K. Ingle, John G. Proakis, Digital Signal Processing, Thomson Learning, Michael Weeks, Digital Signal Processing Using MatLab and Wavelets, Infinity Science Press, Alan V. Oppenheim, Ronald Schafer, Discrete Time Signal Processing, Prentice Hall, 1989 Carlos Alexandre Mello 49