Tópicos: Análise e Processamento de BioSinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Faculdade de Ciências e Tecnologia. Universidade de Coimbra

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1 Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra Aálise e Processameto de BioSiais Mestrado Itegrado em Egeharia Biomédica Faculdade de Ciêcias e Tecologia Uiversidade de Coimbra Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Tópicos: Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra Itrodução A Trasformada de Z Propriedades da Trasformada de Z Fução de Trasferêcia Causalidade e Estabilidade Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

2 Uiversidade de Coimbra Itrodução : Cap. 5-Trasformada de Z A trasformada de Z permite a caracteriação de siais e SLITs discretos o tempo. A trasformada de Z, em semelhaça à DTFT, possui um cojuto de propriedades que são úteis a aálise de siais e SLITs. Caracteriado um SLIT usado a trasformada de Z, a saída de um sistema resulta da multiplicação da trasformada de Z do sial de etrada pela trasformada de Z da resposta a impulso do sistema. A trasformada de Z é epressa de duas formas: Uilateral adequada para obter soluções de equações de difereças com codições iiciais. Bilateral adequada para aálise de estabilidade, causalidade e resposta em frequêcia de sistemas discretos. A trasformada de Z permite caracteriar fuções próprias de um sistema. As fuções são epoeciais compleas discretas o tempo. Em aálise de SLITs uma fução própria correspode a um sial aplicado à etrada de um sistema que gera um sial de saída correspodete à etrada, mas modificado por um escalar. Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Se Cap. 5-Trasformada de Z é um compleo que pode caracteriar um sial com uma epoecial complea através de A re Re{ } [ ] r cos( Ω jr si( Ω é um co-seo epoecialmete amortecido [ ] A Im { } é um seo epoecialmete amortecido Em ambos os casos um valor de determia o factor de amortecimeto. Com o sial é uma siusóide. r r Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias [ ]

3 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : A fução própria Cosiderado um SLIT com resposta a impulso aplicado um sial de etrada Defiido a fução de trasferêcia [ ] [ ] H{ [ ] } h[ ] [ ] h[ ] [ ] h [ ] [ ] h[ ] h[ ] [ ] H{ r } H H h[ ] Cap. 5-Trasformada de Z e ao qual é Podedo ser epresso por Valor Próprio jφ ( [ ] H e Fução Própria Slide 5 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Sedo Como re jφ ( [ ] H e podemos reescrever a equação Cap. 5-Trasformada de Z j [ ] H ( re r { cos( Ω φ( re j si( Ω φ( re Ω } O sial de saída correspode ao sial de etrada - Alterado em amplitude e fase - Não é alterada a frequêcia Ω do sial, em o factor de amortecimeto r Slide 6 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

4 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Represetação da Trasformada: H h[ ] H ( re h[ ]( re h[ ] A fução correspode à DTFT do sial. A DTFT iversa é h H ( re π [ ] r H ( re π π e dω Ω d jre Ω dω dω π π h[ ] H d πj [ ] r Cap. 5-Trasformada de Z Sedo a itegração só em, o valor de pode ser cosiderado j costate e pois Ω Como varia de a, o valor de descreve um círculo h h ( r π [ ] H ( re ( re j π r d π re e dω Slide 7 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Represetação da Trasformada: Cosiderado um sial geérico H h[ ] [ ] Cap. 5-Trasformada de Z a trasformada de Z vem [ ] Sedo a sua iversa dada por h [ ] H d π j [ ] d πj Podedo ser este par epresso por Par da Trasformada [ ] Slide 8 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

5 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Covergêcia: Cap. 5-Trasformada de Z A codição ecessária para a covergêcia da trasformada de Z é a covergêcia do somatório Sedo [ ] [ ] r etão a codição vem epressa por A gama de valores de r para a qual a trasformada-z coverge desiga-se região de covergêcia (ROC. DTFS ão covergete [ ] [ ] r < Trasformada-Z é covergete Vatagem! Slide 9 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Plao compleo (plao-z: Cap. 5-Trasformada de Z j ( e Ω Se a trasformada-z é covergete etão a trasformada de Fourier discreta DTFT correspode à trasformada-z com r (o plao-z correspode ao círculo uitário. O círculo uitário segmeta o plao-z em duas partes (iterior ao círculo e eterior ao círculo. A eistêcia de pólos ou eros uma destas partes é importate para a aálise do comportameto do sistema e Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

6 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Pólos e Zeros o plao-z: Zero A raão etre dois poliómios em é a forma mais comum da trasformada-z. b Cap. 5-Trasformada de Z L b M M N an L a ( c ( M M bm L b b b N N a N L a a d Pólo % eros com Zeros Pólos b a b a pólos α Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Eemplo: Trasformada-Z e um DTFT Determie a trasformada-z do sial Use a trasformada-z para determiar a DTFT [ ] Substituido os valores [ ] [ ],,,,, outros obtemos Cap. 5-Trasformada de Z A DTFT é obtida pela substituição re re, com r ( e e e e Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

7 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Eemplo: Trasformada-Z e um Sial Epoecial Determie a trasformada-z do sial α u e defia a respectiva região de covergêcia (ROC. [ ] Esta série coverge se [ ] [ ] Substituido os valores α α u[ ] α < >,ou α [ ] α u[ ] Cap. 5-Trasformada de Z obtemos, α α > α eros pólos α Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Eemplo: Trasformada-Z e um Sial Determie a trasformada-z do sial α u respectiva região de covergêcia (ROC. [ ] Esta série coverge se Substituido os valores [ ] [ ] α α u[ ] α α <,ou < α α [ ] α u[ ] Cap. 5-Trasformada de Z e defia a obtemos, < α α α Y eros pólos α Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

8 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Eemplo: Trasformada-Z e um Sial Cap. 5-Trasformada de Z Determie a trasformada-z do sial u e defia u a respectiva região de covergêcia (ROC. [ ] obtemos Substituido os valores [ ] [ ] [ ] u[ ] u[ ] [ ] u[ ] u[ ] Esta série coverge se >, 3 ( ( (, < < < 3 eros, pólos, Slide 5 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z : Trasformadas de Z de um Sial Cap. 5-Trasformada de Z Slide 6 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

9 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z: As propriedades da trasformada-z Sedo [ ] ROC R [ ] Y, ROC R, Cap. 5-Trasformada de Z As propriedades são similares às das trasformada DTFT sedo uma das várias propriedades a da liearidade a [ ] b[ ] a by, com a ROC R R e a covolução [ ] [ ] Y Notar que a região de covergêcia (ROC de um sial composto por vários siais pode ser maior que a itercepção das regiões de covergêcia (ROC de cada sial idividual se os pólos e os eros se cacelam a adição. Slide 7 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra Slide 8 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

10 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z: Eemplo: Aplicação de Propriedades Determiar a trasformada-z do sial a Tedo em cota que a é um real positivo. Sedo Reescrevedo a [ ] u[ ] cos Ω [ ] a u[ ] Y, com > a α [ ] α obtemos Y ( e Y ( e ae ae Cap. 5-Trasformada de Z, com ROC > a a cos( Ω a Slide 9 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias [ ] [ ] e a u[ ] e a u[ ] e [ ] e [ ] a cos ( Ω ( ( Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z: Eemplo: Cacelameto de Zeros e Pólos Cap. 5-Trasformada de Z Cosiderado 3 [ ] u[ ] u[ ], ROC 3 < < [ ] u[ ] u[ ] Y, ROC > ( ( Determiar a trasformada-z do sial Os siais têm as seguites ROC a se [ ] b[ ] a [ ] [ ] ( ( b a 3 b a a b ay a ( ( 3 ( ( 5 ( ( 3 a ( ( ( 3 Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

11 Uiversidade de Coimbra Trasformada de Z: Eemplo: Cacelameto de Zeros e Pólos Sedo a O ero em cacela o pólo em Dado origem ao seguite sial a ay a ( ( 3 ( ( ay a 3 ( ( 5 Cap. 5-Trasformada de Z 5 ( a( 3 ( ( Que equivale a um alargameto da oa de covergêcia (ROC Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Trasformada de Z: Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra Trasformada -Z Iversa Sedo a trasformada-z epressa pela raão de dois poliómios em M N B bm L b b A N A an L a a d com M < N podemos iverte-la utiliado A A > d A A d u, ROC < d Ou o par eterior à circuferêcia Ou o par iterior à circuferêcia A ROC associada com eterior ( d u[ ], ROC d ( [ ] d determia a escolha do par iterior ou Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

12 Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Trasformada de Z: Eemplo: Trasformada Iversa Cosiderado o sial calcule a sua iversa da trasformada de Z. Usado a epasão em fracções parciais e cuja região de covergêcia é :, < < com ROC, 3 < < ROC A A A, < < ROC Slide Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Trasformada de Z: Eemplo: Trasformada Iversa e cuja região de covergêcia é Combiado todos os termos, < < ROC [ ] d ROC d A u d A >, [ ] d ROC d A u d A <, [ ] eterior,lado u [ ] iterior,lado u [ ] eterior,lado u [ ] [ ] [ ] [ ] u u u

13 Uiversidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z A Fução de Trasferêcia : A saída de um SLIT está relacioada com o sial à etrada do sistema pela covolução da resposta a impulso com o sial de etrada [ ] [ ] h[ ] Y H A fução de trasferêcia correspode à raão etre a trasformada-z do sial de saída e a trasformada-z do sial de etrada. Y H Esta defiição aplica-se para valores de em que Mas sabemos que sedo Etão [ ] H{ } H [ ] uma fução própria de um SLIT o que permite determiar a fução trasferêcia mais facilmete. Slide 5 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Cap. 5-Trasformada de Z A Fução de Trasferêcia : Uiversidade de Coimbra Eemplo: Idetificação Um Sistema (Desiga-se idetificação ao processo que permite epressar aaliticamete o sial de saída de um sistema em fução de um sial de etrada. Sedo a etrada de um SLIT [ ] ( 3 u[ ] [ ] 3 u[ ] ( 3 u[ ] e a sua saída dada por Determiar a fução de trasferêcia e a resposta a impulso do sistema. A trasformada-z do sial de etrada e do sial de saída são [ ] ( 3 u[ ] [ ] 3 u[ ] ( 3 u[ ] Y 3, ROC > 3 ( 3 ( 3 ( ( ( 3, ROC > Slide 6 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

14 Cap. 5-Trasformada de Z A Fução de Trasferêcia : Uiversidade de Coimbra Eemplo: Idetificação Um Sistema, ROC > 3 3 Y Sedo a fução de trasferêcia dada por H Y ( ( 3, ROC > ( ( ( 3 ( ( ( 3 ( 3 Epasão em fracções parciais A trasformada iversa tem a resposta a impulso dada por h [ ] u[ ] ( 3 u[ ] Slide 7 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra A Fução de Trasferêcia : Cosiderado uma equação de difereças que relacioa a etrada com a saída [ ] N [ ] b [ ] Cap. 5-Trasformada de Z Se etão a saída de um SLIT é. O que permite substituir e. Podedo eprimir a fução de trasferêcia por a H [ ] [ ] H [ ] [ ] H N a H M N b a M M b [ ] Slide 8 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

15 Cap. 5-Trasformada de Z A Fução de Trasferêcia : Uiversidade de Coimbra Eemplo: Fução Trasferêcia de Um Sistema Cosiderado a equação de difereças Determie a sua fução de trasferêcia. Usado a epressão H [ ] ( [ ] ( 3 8 [ ] [ ] [ ] ( ( 3 8 ( ( 3 Aplicado a trasformada-z iversa obtemos a resposta a impulso h [ ] ( u[ ] ( 3 u[ ] Slide 9 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Causalidade e Estabilidade: A localiação dos pólos plao-z permitem aalisar a resposta a impulso de um sistema. Sistema Causal: Se o sistema é causal etão a sua resposta a impulso é ero para. d < Um pólo em do circulo iterior do plao-z cotribui para um decaimeto epoecial da resposta a impulso. < d > Um pólo em do circulo eterior do plao-z cotribui para um crescimeto epoecial da resposta a impulso. Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

16 Uiversidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Causalidade e Estabilidade: A localiação dos pólos plao-z permitem aalisar a resposta a impulso de um sistema. Sistema Estável: Se um sistema é estável etão a resposta a impulso é possível somar e isso implica que eista trasformada de DTFT. Logo o circulo uitário deverá estar icluído a região de covergêcia (ROC. d < > Uma resposta a impulso estável (o somatório é covergete ão poderá coter termos epoeciais absolutamete crescetes. d Termo para u[ ] Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Uiversidade de Coimbra Cap. 5-Trasformada de Z Causalidade e Estabilidade: A localiação dos pólos plao-z permitem aalisar a resposta a impulso de um sistema. Os SLIT discretos são estáveis e causais se todos os seus pólos estão iterior do circulo uitário do plao-z. Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

17 Cap. 5-Trasformada de Z A Fução de Trasferêcia : Uiversidade de Coimbra Eemplo: Causalidade e Estabilidade Cosiderado um sistema SLIT que se epressa pela seguite fução de trasferêcia 3 H π π j j.9e.9e Determie a resposta a impulso assumido que o sistema é estável (a ou causal (b. Este sistema pode ser estável e causal? Pressuposto SISTEMA ESTÁVEL O sistema tem pólos o iterior e eterior do circulo uitário. Para o sistema ser estável deverá icluir o circulo uitário. Assumido que o sistema é estável obtemos a resposta a impulso π π j j h[ ].9 [ ].9 e u e u[ ] 3( u[ ] π < (.9 cos u[ ] 3( u[ ] Slide 33 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias Cap. 5-Trasformada de Z A Fução de Trasferêcia : Uiversidade de Coimbra Eemplo: Causalidade e Estabilidade Pressuposto SISTEMA CAUSAL Neste pressuposto a resposta a impulso obedece à restrição A resposta a impulso é dada por h π [ ] < h j j [ ].9e u[ ].9e u[ ] 3( u[ ] π O SLIT ão pode ser simultaeamete estável e causal porque tem um pólo eterior ao circulo uitário. Slide 3 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias

18 Sumário Cap. 5-Trasformada de Z Uiversidade de Coimbra oitrodução oa Trasformada de Z opropriedades da Trasformada de Z ofução de Trasferêcia ocausalidade e Estabilidade Slide 35 Aálise e Processameto de BioSiais MIEB Adaptado dos slides S&S de Jorge Dias